Tutorial E.D.3 (PDF)

Ecuaciones diferenciales ordinarias
1.00
´
Alvaro
Tejero Cantero(*)

Pablo Ruiz M´
uzquiz(**)

13 de mayo de 2002

alqua.com, la red en estudio

*
**

alvaro@alqua.com
pablo@alqua.com

Ayuda a mantener el proyecto alqua (http://alqua.com)

´Indice general

1. Ecuaciones diferenciales de orden 1
1.1. Introducci´on. Generalidades. Ejemplos. . . . . . . . . .
1.1.1. Definici´on y tipos de eds . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Existencia y unicidad. Condiciones impuestas. .
1.1.3. Notaci´on diferencial . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ecuaciones ordinarias de primer orden . . . . . . . . .
1.2.1. Diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Ejemplos varios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. edos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7. Ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . .
1.2.8. Ecuaci´on de Ricatti . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9. Reducci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Sistemas de edos lineales
2.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Relaci´on entre un sistema y una ecuaci´on . . . . . .
2.2.1. De ecuaci´on a sistema . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. De sistema a ecuaci´on . . . . . . . . . . . . .
2.3. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Sistemas homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Exponencial de una matriz . . . . . . . . . .
2.4.2. Casos sencillos de exponenciales. Ejemplos . .
2.4.3. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Soluci´on exponencial del sistema homog´eneo
2.4.5. M´etodo Jordan directo . . . . . . . . . . . .
2.4.6. M´etodo del polinomio interpolador . . . . . .
2.4.7. El tercer m´etodo, o RFJ . . . . . . . . . . .
2.5. Sistemas lineales inhomog´eneos . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . .
2.5.2. M´etodo de variaci´on de las constantes . . . .
2.6. Ecuaciones de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Planteamiento y notaci´on . . . . . . . . . . .

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´Indice general
2.6.2.
2.6.3.
2.6.4.
2.6.5.
2.6.6.

Ecuaciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . .
Coeficientes variables: m´etodo de reducci´on de orden
Coeficientes variables: ecuaciones de Euler . . . . .
Coeficientes constantes, ecuaci´on homog´enea . . . .
Coeficientes constantes, ecuaci´on inhomog´enea . . .

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3. Sistemas din´
amicos
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Justificaci´on y plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Sistemas din´amicos 1D y 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Sistemas din´
amicos en una dimensi´on . . . . . . . .
3.3.2. Sistemas de dimensi´on dos . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Caracter´ısticas generales de los sistemas din´amicos . . . . .
3.4.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Propiedades de las ´orbitas y soluciones . . . . . . . .
3.5. Puntos cr´ıticos en sistemas aut´onomos lineales . . . . . . .
3.5.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Generalidades sobre los puntos cr´ıticos . . . . . . . .
3.5.3. Cat´alogo de puntos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4. Intuici´on: clasificaci´on provisional . . . . . . . . . . .
3.5.5. Clasificaci´on final para puntos cr´ıticos . . . . . . . .
3.5.6. Ejemplos de diferentes tipos de puntos cr´ıticos . . .
3.5.7. El oscilador arm´onico como sistema aut´onomo lineal
3.6. Puntos cr´ıticos de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Algunas definiciones y un teorema . . . . . . . . . .
3.6.2. Puntos no simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Soluciones por medio de series
4.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. M´etodos de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Dos ecuaciones importantes . . . . . . . . . . . .
4.6.1. La ecuaci´on de Hermite . . . . . . . . .
4.6.2. La ecuaci´on de Legendre . . . . . . . .
4.7. Puntos singulares regulares. Caso (r1 − r2 ) 6∈ Z ∗
4.8. Puntos singulares regulares caso (r1 − r2 ) ∈ Z ∗ .
4.8.1. El teorema de Frobenius . . . . . . . . .
4.8.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 1.00 (05/13/2002)

´Indice general
A. Manifiesto de alqua
B. GNU Free Documentation License
B.1. Applicability and Definitions . . . . .
B.2. Verbatim Copying . . . . . . . . . . .
B.3. Copying in Quantity . . . . . . . . . .
B.4. Modifications . . . . . . . . . . . . . .
B.5. Combining Documents . . . . . . . . .
B.6. Collections of Documents . . . . . . .
B.7. Aggregation With Independent Works
B.8. Translation . . . . . . . . . . . . . . .
B.9. Termination . . . . . . . . . . . . . . .
B.10.Future Revisions of This License . . .
Bibliograf´ıa

http://alqua.com/EDO

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´Indice general

6

Ecuaciones diferenciales ordinarias 1.00 (05/13/2002)

Descripci´
on del documento
Este libro se rige por la licencia GNU GFDL 1.1. Dado que alqua mantiene actualizado
este documento en http://alqua.com/EDO puedes visitar peri´odicamente esa direcci´on
con objeto de disponer de la versi´on m´as actual. Un equipo de editores se encarga del
´
mantenimiento del documento: Alvaro
Tejero Cantero (alvaro@alqua.com), Pablo Ruiz
M´
uzquiz (pablo@alqua.com).
Gracias a Lorenzo Abellanas Rap´
un, por intentarlo todo para ense˜
nar a sus alumnos.

Copyright
´
c 2000, 2002. Alvaro
Copyright (°)
Tejero Cantero, Pablo Ruiz M´
uzquiz.
Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of
the GNU Free Documentation License, Version 1.1 or any later version published by the Free
Software Foundation; with the Invariant Sections being ”Manifiesto de alqua”, with the FrontCover texts being ”Ayuda a mantener el proyecto alqua (http://alqua.com)”, and with no BackCover Texts. A copy of the license is included in the section entitled ”GNU Free Documentation
License”.

Ficha bibliogr´
afica
Descripci´
on Curso introductorio a las ecuaciones diferenciales, operacional y con numerosos ejemplos y figuras. Trata sistemas lineales, sistemas aut´onomos y soluciones por
medio de series de potencias.
Requisitos
´
Algebra
y c´alculo de primero de carrera..
Palabras clave
Ecuaciones diferenciales, sistemas de ecuaciones lineales, ricatti, bernoulli, aplicaci´on exponencial, series de potencias, mapas de fases, sistemas aut´onomos,
teorema de fr¨obenius, sistemas no lineales, puntos cr´ıticos, sistemas din´amicos, funciones
especiales, polinomios de legendre, polinomios de hermite.
Clasificaci´
on

udc:517.91.

7

´Indice general
Ubicaci´
on en la red En la direcci´on http://alqua.com/EDO podr´as encontrar la versi´on
m´as reciente de este documento y, si lo deseas, apuntarte para recibir notificaciones de
nuevas versiones.
Caracter´ısticas
contenido ejemplos, bibliograf´ıa, intro. cap´ıtulos, por hacer.
figuras descritas.
indexado normal.
colaboraci´
on cvs.
estructura micro, secciones.
referencias intratextuales, bibliogr´aficas, figuras, ecuaciones.

Historia
Las siguientes tareas merecen atenci´on, a juicio de los editores y autores:
Mejorar las figuras.
Escribir p´arrafos introductorios en los cap´ıtulos y en los apartados de primer nivel.
En ellos deber´ıa hablarse de la importancia de lo que se va a explicar seguidamente,
de cu´al es su papel en la disciplina y su rango de aplicabilidad en las Matem´aticas y
la F´ısica.
A˜
nadir un ap´endice con ejercicios resueltos.
A˜
nadir un cap´ıtulo de m´etodos num´ericos.
Verificar que se cumplen los convenios notacionales
Comentar la bibliograf´ıa
He aqu´ı los cambios m´as importantes sufridos por el documento. La versi´on indica cambios
de contenido, mientras que la generaci´on alude al grado de terminaci´on del documento.
Para saber m´as sobre las terminaciones, visita la ubicaci´on en la red del documento.
ver. 1.00

13 de mayo de 2002

Numerosas correcciones de presentaci´on (pies de las figuras, ejemplos) –ATC.
Revisiones menores (expresiones err´oneas, aclaraciones, etc.) en los cap´ıtulos de ecuaciones de orden 1, sistemas lineales y soluciones en forma de series –PRM.
Correcci´on de errores tipogr´aficos, ejercicios mal resueltos y a˜
nadidura de notas explicativas en todo el documento –PRM.

8

Ecuaciones diferenciales ordinarias 1.00 (05/13/2002)

´Indice general
ver. 0.01

10 de abril de 2000

Primera versi´on del documento, con la estructura del curso de ecuaciones diferenciales
I impartido por Lorenzo Abellanas Rap´
un entre octubre de 1999 y febrero de 2000

http://alqua.com/EDO

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