Formelsammlung TM (PDF)

Fachhochschule Kempten

Formelsammlung Technische Mechanik

Statik
Kräfte
 = Fx  F y  F z =F x⋅
F
e x F y⋅
e y F z⋅
ez
∣F∣=F =  F 2x F 2y F 2z
Fx
F
Fy
cos =
F
F
cos = z
F

F:
Fx:
Fy:
Fz:

cos =

Kraft
Komponente in x-Richtung
Komponente in y-Richtung
Komponente in z-Richtung

y

(S. 4)

Fy
β F
γ

Fx

α

x

Fz
z

Ebene Kräftesysteme
FR=∑ F i =∑ F ix⋅
e x ∑ F iy⋅
ey
MRz =∑ M iz⋅
e z =∑  F iy⋅r ix−F ix⋅r y 
M
x R= Rz
FR
Seileckverfahren
M C =H⋅y C (S. 28)

FR: resultierende Kraft
MRz: resultierendes Moment
x R: Lage der resultierenden Kraft
(Angriffspunkt auf x-Achse)

(S. 25)

F1

Kräfteplan

0
F1

Moment bezüglich Punkt C

F2

F3

F2

1
2

F3

Pol

3
FR
H

Maßstäbe beachten bei H und yC!
1
Lageplan

0
2

2
1

3

0

yc

C
3

FR

H:
C:
yC:

Polweite
beliebiger Punkt
Abstand von 0 bis 3

1.

alle Kräfte im Kräfteplan
zusammenfassen
beliebige Pol wählen und mit
Kraftvektoren verbinden
Richtung der Polstrahlen in Lageplan
übertragen; beginnend mit 0
FR liegt zwischen 0 und letzem
Polstrahl; Richtung aus Kräfteplan

2.
a

3.
Voraussetzung: Alle Wirkungslinien bekannt!

1 von 20

4.

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Formelsammlung Technische Mechanik

Cullmannverfahren (S. 47)
F1

A

1.
2.
3.

FA
Lageplan

FB

F1

C

C
F2

4.

Kräfteplan

Je zwei Kräfte schneiden
Schnittpunkte verbinden
Cullmanngerade in Kräfteplan
übertragen
Wirkungslinien in Kräfteplan
übertragen und zu Krafteck verbinden

Alle vier Wirkungslinien müssen bekannt sein!
B

Zerlegung einer Kraft (nach drei Richtungen; max. zwei parallel)
F x =∑ F ix
(S. 35)
F y =∑ F iy
M z =∑ F i⋅hi =F⋅h
y

1

Lageplan
F

F

3

Kräfteplan
F3
2

4.

C
x

h

1.
2.
3.

je zwei Wirkungslinien schneiden
Schnittpunkte verbinden
Cullmanngerade und Wirkungslinien in
Kräfteplan übertragen
Krafteck schließen

C
F1
F2

h2

Räumliche Kräftesysteme
Zusammensetzung von Kräften
F Rx
e x ∑ F y⋅
e y ∑ F z⋅
ez
F Ry = FR =∑ F i =∑ F x⋅
F Rz



∣FR∣=F R= F 2RxF 2RyF 2Rz
cos =

F Rx
FR

cos =

F Ry
FR

cos =

(S. 36)

F Rz
FR

Kräfte

 

∣

∣

ex ey ez
M Rx
 i =∑ ri × F i =∑ r
r iy r iz
M Ry = M R = rR × FR =∑ M
ix
F ix F iy F iz
M Rz

∣M R∣=M R= M 2RxM 2Ry M 2Rz
M
M
M
cos = Rx cos = Ry cos = Rz
MR
MR
MR
Momente

2 von 20

(S. 36)

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Zerlegung einer Kraft (nach sechs gegebenen Richtungen)
F
F
F
∑ F i = FR
(S. 40)
cos i = xi cos i = yi cos i = zi
Fi
Fi
Fi
∑  ri × Fi = M R

(S. 40)

jeweils für x-, y- und z-Richtung (6 Gleichungen)

y
MR

Kraftschraube / Dyname
F × M
a =a⋅
e a R 2 R (S. 38)

FR

FR

MRS

Zentralachse

φ
ea

MRF

FR

x

a
z

MRF

Freie Momente

F1

FR=∑ F i
M R=∑ ri × F i ∑ M k

Mk

(S. 40)

FMk
F2

FMk
F3

Freiheitsgrade
In der Ebene drei Freiheitsgrade:

Translation x, y
Rotation z

Im Raum sechs Freiheitsgrade:

Translation x, y, z
Rotation x, y, z

Gleichgewicht
Ebene Kräftesysteme (3 Gleichungen für 3 Unbekannte)
∑ Miz  A=0
∑ Fix=0
∑ Fiy=0 oder ∑ Miz  B=0 (S. 42)
∑ M iz =0
∑ Miz C =0
A, B, C dürfen nicht auf einer Geraden liegen

{

=3 statisch bestimmt
Anzahl Unbekannte 3 statisch unbestimmt
3 statisch unterbestimmt
Drei Kräfte im Gleichgewicht:

Krafteck geschlossen
Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt

Vier Kräfte im Gleichgewicht:

Krafteck und Seileck geschlossen
es müssen sich je zwei Wirkungslinien schneiden

3 von 20

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Räumliche Kräftesysteme (6 Gleichunen für 6 Unbekannte)
∑ Fix=0 ∑ M ix=0
=6 statisch bestimmt


Anzahl
Unbekannte
F
=0
M
=0
6 statisch unbestimmt
∑ iy
∑ iy
6 statisch unterbestimmt
∑ Fiz =0 ∑ M iz=0

{

Freischneiden eines Körpers

F1

F1
1
5
F5

4

F2

F12
F2

1

2

F21 2

3

Gegenwirkungsprinzip

F3

F4

Kräfte auf 'freigeschnittene' Körper sind Kräfte von der Umgebung auf den Körper!

Lagerungen und Lagerreaktionen
(S. 63)

Bauart

Ausprägung

Symbol

Reaktionen
Wertigkeit
Ebene Raum Ebene Raum

Querlager





1

2

Gleitlager





1

1

Rollenlager



()

1

1 (2)

Stablager





1

1

Quer- und
Längslager





2

3

festes Gelenk





2

3

feste
Einspannung





3

6

Feste Einspannungen nehmen auch Momente auf! Ebene=1; Raum=3
4 von 20

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Prinzip der virtuellen Arbeit
Virtuelle Verschiebung
F K⋅a⋅ =F Q⋅b⋅ 

b

a·δφ

a

FK:
FQ:
a:
b:

b·δφ

(S. 73)

δφ

Kraft
Last
Kaftweg
Lastweg

Q

FK

Virtuelle Arbeit
⋅ r
W =F
 W =∑ F is⋅ si ∑ M i ⋅ i

FQ

W: virtuelle Arbeit
Fis: Kraftkomponente in Richtung des
Weges
si: Wegelement
Miφ: Momente um Drehachse
φi: Drehwinkel

(S. 74)

Gleichgewichtsarten
(S. 84)

stabil

labil

indifferent

2

1

1

2

2

1

Gleichgewicht: δW = 0
FS

FS
2

1
0

FS

M S =G⋅r
M K =F⋅h

1

0

δs

δs

FS = 0

2

1

δW02 < 0

Standsicherheit

δW10 < 0

δW02 > 0

δW10 = δW02 = 0

r
F

(S. 85)

G

S: Standsicherheit
MS: Standmoment
MK: Kippmoment

h

∑MS
∑MK

δs

0

FS

δW10 > 0

S=

δs

δs

Kippkante

δs

S 1

Einflußlinie / Wanderlast
F Ay =F⋅ x
x
 x=1−
l

x
η:

F

FAx

A
FAy

B

l

FBy

5 von 20

Einflußfunktion

2

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Formelsammlung Technische Mechanik

Systeme starrer Körper
Tragwerke
f =3⋅n2⋅k −s−z t

(S. 86)

f:
s:
n:
k:
zt:
r:

eben

f =6⋅n−3⋅k −s−z t

(S. 92)

räumlich

f

{

0 statisch unbestimmt
=0 statisch bestimmt
0 nicht tragfähig

Fachwerke
s=2⋅k −r

s=3⋅k −r

(S. 99)

eben

Freiheitsgrad des Tragwerks
Anzahl der Stäbe
Anzahl der restlichen Tragwerkteile
Anzahl der Stabknoten
Anzahl der restl. Zwangsbedingungen
Auflagerreaktionen

(S. 131)

räumlich

Ermittlung von Stabkräften
Knotenpunktverfahren (S. 104)
Knoten freischneiden
Stabkräfte als Zugkräfte einführen
αI

∑ F ix=0
∑ F iy=0

F AxS 1S 2⋅cos  I =0
F Ay S 2⋅sin I =0

Beispiel für Knoten I

III
2
A

3

I

6

S2

V
9
VI

IV

FAx

1

II 4

F

8

a

B

αI

I

S1

FBy

a

S3

S2

FAx

FAy
a

S5
S3

7

5

S6

III

a

•
•

S4

II

S1

FAy

Schnittverfahren nach Ritter (S. 107)
Lagerreaktionen
Fachwerk in zwei Teile teilen
höchstens drei unbekannte Stäbe dürfen geschnitten werden
Wirkungslinien dürfen sich nicht in einem Punkt schneiden

F Ax=0

1
F Ay = ⋅F
3

III

2
F By = ⋅F
3

2

Lagerreaktionen

∑ M III =0
∑ M A=0
∑ F ix=0

A

1

 S2

9

7

5

II 4

VI

F

8

FAy
a

a

III
S6

Ermittlung der Stabkräfte

∑ F ix=0

V

IV

FAx

 S 4=F Ay
 S 6=−S 5⋅ 2
2
 S 5=− ⋅F
3

3

I

6

a

•
•
•
•

S5

I

2
=− ⋅F

II

3

FAy

Gleichgewicht an I

6 von 20

S4

a

B

FBy

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Formelsammlung Technische Mechanik

Cremonaplan (S. 110)
Lageplan
Auflagergrößen
Nullstäbe kennzeichnen
Kraftecke schließen (Beginn bei Knoten mit 2 Unbekannten; mathematisch positiver
Knoten-Umlauf)
jede Kraft kommt nur einmal im Cremonaplan vor

•

10

VI
13

9

11

IIX
A

V

Nullstab
4 II
5

7

12 F VII 8

IV

6

12

1

3

I

III 2

Lageplan

FAx
a

a

a

a

IIX

FAx

a

•
•
•
•

11

13
VI

B

Cremonaplan

FBx

4
FBx

I

1 II 3
2

10
5 V
III
6

9

Schwerpunkt
rs =

1
⋅∫ r⋅dF G
FG

rS:
x S:
yS:
Li:
Lges:
Ai:
Ages:
Vi:
Vges:
x i:

(S.136)

allgemein

xS =

∫ x⋅dL

(S. 140)

∫ x⋅dA

(S. 142)

∫ x⋅dV

(S.141)

∑ Li⋅xi
∑ Li

yS=

∑ Ai⋅xi
∑ Ai

yS=

∑ V i⋅xi
∑Vi

yS=

L ges

Linienschwerpunkt

xS =

A ges

Flächenschwerpunkt

xS =

V ges

Ortsvektor Schwerpunkt
Schwerpunktkoordinate in x-Richtung
Schwerpunktkoordinate in y- Richtung
Einzellängen
Gesamtlänge
Einzelflächen
Gesamtfläche
Einzelvolumen
Gesamtvolumen
Schwerpunktkoordinate in x-Richtung
der Einzelteile

Volumenschwerpunkt

Guldin'sche Regel (rotationssymmetrische Teile)
A=2 ⋅y S⋅s
A: Oberfläche
Oberfläche

V:
yS:
s:

V =2 ⋅y s⋅A
Volumen

7 von 20

Volumen
Schwerpunktkoordinate in y-Richtung
Länge einer Mantellinie

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Reibung
Haftreibung
R H =0⋅N

ρ0
F Fn

(S. 147)

(Coulombsches Gesetz)

tan o=

Ft

RH
=0
N

Gleitreibung
RG =G⋅N

N

G 0

(S. 149)

0

S =S 1⋅e

Rmax

(S. 147)

Seil- und Riemenreibung
 ⋅
R=S 2−S 1=S 1⋅e −1

M =a⋅R

ρ0

S 2S 1

(S. 157)

(S. 157)

0⋅

(S. 157)

RH:
μ0:
ρ0:
F:
N:

Haftreibkraft
Haftreibzahl
Reibungswinkel
Kraft
Normalkraft

RG: Gleitreibkraft
μG: Gleitreibzahl
N: Normalkraft
R:
M:
S:
β:
μ0:
a:

Reibkraft
übertragbares Moment
Seilreibung
Umschlingungswinkel
Haftreibzahl
Radius der Riemenscheibe

H:
V:
η:
q:

Horizontalkraft
Vertikalkraft
Durchhang
Streckenlast

a:
b:
l:
x:
H:
L:
Q:
S:
V:
η:

Seillänge horizontal
Seillänge vertikal
Seillänge ohne Durchhang (gedacht)
Laufvariable
Horizontalkraft
Seillänge
Seilgewicht
Seilkraft
Vertikalkraft
Durchhang

Seile, Ketten, Stabketten
Seile unter kontinuierlicher Belastung
H⋅' ' =−q x (S. 160)
Differentialgleichung des Durchhangs

H⋅y ' ' =V ' =q  x (S. 161)
Differentialgleichung der Seilkurve

Seile mit schwachem Durchhang
Q⋅x
=
⋅a− x (S. 160)
2⋅H⋅a

 

max x=

a
Q⋅a
=
2
H⋅8

(S. 160)




b
Q

a 2⋅H
b
Q
V min  x=0=H⋅ −
a 2⋅H

V max  x=a=H⋅

S =  H V
2

L≈l 

2




(S. 163)

(S. 163)

q * 2a 4
24⋅H 2⋅l

(S. 163)

*

q=

Q Q
≈
L l

8 von 20

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Seile unter Eigengewicht (bei beliebigem Durchhang)
H
q*
a: Seillänge horizontal
y= *⋅cosh
⋅ x− x 0  C 1 (S. 165)
b: Seillänge vertikal
H
q

[
{ [

]
]
[ ]}

H
q*
q*
L= *⋅ sinh ⋅ a−b sinh ⋅x 0
H
H
q
S =  H 2V 2

q *=

(S.166)

(S. 165)

Q Q
≈
L l

l:
q*:
x:
H:
L:
Q:
S:

Seillänge ohne Durchhang (gedacht)
Streckenlast
Laufvariable
Horizontalkraft
Seillänge
Seilgewicht
Seilkraft

Stützlinien von Bogenträgern
Stützlinie des stetig gekrümmten Bogenträgers mit konstanter Vertikallast
q⋅a 2 (S. 166)
H D=
8⋅h

D=  H V
2
D

h

a
V D =q⋅
2

HD

HD
D

a

D
2
D

VD

(S. 166)

VD

Stützlinie des überschütteten Bogenträgers

y' '
⋅h− y=0
HD
h1

h

Differentialgleichung

=⋅g
y=h−C 1⋅cosh

y

HD

HD
x

[

x
⋅ x−C 2 
HD

]

D

D
VD

VD

Hydrostatik
p=

dF
dA

=

dm
dV

A:
F:
V:
m:
p:
ρ:

9 von 20

Fläche
Kraft
Volumen
Masse
Druck
Dichte

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Formelsammlung Technische Mechanik

Kinematik
Bewegung eines Punktes
Im karthesischen Koordinatensystem
e x  y t ⋅
e y z t ⋅
e z (S. 1)
r t = x t ⋅
e x  y˙ ⋅
e y  z˙⋅
ez
v =r˙ = x˙⋅

∣v∣=  x˙ 2 y˙ 2 z˙ 2=  v 2x v 2y v 2z
e x  y¨ ⋅
e y  z¨⋅
ez
a =v˙ = r¨ = x¨ ⋅

∣a∣=  x¨ 2 y¨ 2 z¨ 2=  a 2x a 2y a 2z

(S. 2)

(S. 3)

Im Polarkoordinatensystem
e r (S. 4)
r =r t ⋅
e r r⋅⋅
v =r˙ t = r˙⋅
˙ e
d
==
˙
dt

Beschleunigung
Einheitsvektoren
Ortsvektor
Geschwindigkeit

e:
v:
a:
R:

Einheitsvektoren
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Abstand zum Momentanzentrum

a:
e:
r:
v:
α:
φ:
ω:

Beschleunigung
Einheitsvektoren
Ortsvektor
Geschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Winkel von Ortsvektor
Winkelgeschwindigkeit

(S. 2)

Im Normal-Tangential-System (Ebene)
e t (S. 3)
v =v⋅
v2
e

⋅
e
a = v⋅
˙ t
R n

a:
e:
r:
v:

(S. 4/5)

2
r˙⋅
a =v˙ =r¨ = r¨ −r⋅
˙ ⋅er  r⋅2⋅
˙ ⋅e
¨
2
d 
=
¨ ==
˙
dt

(S. 5)

Umrechnung karthesische, polare Koordinaten
cos  −sin v r
cos  sin v x
vx
vr
=
⋅
=
⋅
sin cos 
−sin cos  v y
vy
v
v

 

gilt analog für Beschleunigung

 

 

Sonderfall: Ebene Kreisbewegung
v=r⋅ (S. 11)


[ ]=
1
s

⋅n

[ ]
1
min

a:
n:
r:
v:
ω:

(S. 11)

30

e r r⋅⋅
a =v˙ =−r⋅
˙ ⋅
¨ e˙
2

(S.13)

10 von 20

 

Beschleunigung
Drehzahl
Kreisradius
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

(S. 7)

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Formelsammlung Technische Mechanik

Bewegung starrer Körper
Translation
Es gelten die Gleichugen für die Punktbewegungen, da sich der Körper nicht dreht!

Rotation
 r
v = r˙ =×

(S. 15)

a =v˙ =r¨ = ×
˙ r  ×
 r˙


(S. 15)

Allgemeine Bewegung
rP= r0r (S. 17)
e
v = v0⋅r⋅


(S. 17)

vT

Euler

×
˙ r  
  ×
 r
¨0  ×
a = r

aT

at

(S. 18)

aZ

Bewegung in der Ebene
e t (S. 20)
v = v0⋅r⋅
2

en
a = a0 ⋅r⋅
˙ e t  ⋅r⋅

(S. 20)

Geschwindigkeitspol (Momentanzentrum)
vA vB
= = (S. 21)
rA rB

a:
r:
v:
ω:

Beschleunigung
Ortsvektor
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

a:
at:
aT:
aZ:
e:
rP:
r0:
r:
v:
v 0:
v T:
ω:

Beschleunigung
Tangentialbeschleunigung
Translationsbeschleunigung
Zentripedalbeschleunigung
Einheitsvektor
Ortsvektor
Vektor der Translation
Vektor der Rotation
Geschwindigkeit
Rotationsgeschwindigkeit
Translationsgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

a:
e:
r:
v:
ω:

Beschleunigung
Einheitsvektoren
Ortsvektor
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

r:
v:
ω:

Ortsvektor
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

Methode der gleichen Winkel (S. 23)
•
•
•
•
•
•

maßstäblich zeichnen
überlegen wie die Geschwindigkeiten orientiert sind
Senkrechte zu Geschwindigkeiten ergeben Pol
Linie von Pol aus auf Geschwindigkeitsspitze
Winkel α übertragen
Pol ist Momentanzentrum

Pol

ω
α
α

vA
B

11 von 20

vB

A

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Formelsammlung Technische Mechanik

Methode der gedrehten Geschwindigkeiten (S. 23)
•
•
•
•
•

maßstäblich zeichnen
überlegen wie die Geschwindigkeiten orientiert sind
Startgeschwindigkeit um 90° drehen
Parallele zu Verbindungsstange zeichnen
resultierende Geschwindigkeit um 90° drehen
(in gegengesetze Richtung)

Relativbewegung
vabs= 
r˙0×
r˙rel
 rrel  
vF

vrel

vA
B

A

vB

aabs=
r¨0 ×
× vrel  
v˙rel
˙ rrel  ×
  ×
 rrel  2⋅

aF

aabs:
aF:
aC:
arel:
r0:

aC

arel

Beschleunigung
Führungsbeschleunigung
Coriolisbeschleunigung
Relativbeschleunigung
Vektor vom raumfesten zum bewegten
Koordinatensystem
rrel: Vektor vom bewegten
Koordinatensystem zu einem Punkt
v abs: Geschwindigkeit
v F: Führungsgeschwindigkeit
v rel: Relativgeschwindigkeit
ω: Winkelgeschwindigkeit

12 von 20

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Formelsammlung Technische Mechanik

Kinetik
Grundbegriffe
Arbeit
⋅d r =∣F
∣⋅∣d r∣⋅cos =F⋅cos ⋅ds=F t⋅ds
dW = F

W =∫ dW =∫ F t⋅ds=∫  F x⋅dxF y⋅dyF z⋅dz 
W =−∫ dU =−U 2−U 1 =U 1−U 2

(S. 2)

für F ist Potentialkraft

W =∫ M t⋅d 

(s. 3)

Arbeit aus Drehmoment

Leistung
dW
P=
dt
P=M t⋅

(S. 3)

(S. 3)

Leistung aus Drehmoment

Wirkungsgrad
P
P P P
 ges= ab = 1 ⋅ 2⋅ ab =1⋅2⋅3
P zu P zu P 1 P 2

(S. 4)

(S. 1)

r:
s:
F:
M:
U:
W:
β:
φ:

Richtungsvektor der Bewegung
Weg
Kraft
Moment
Potential
Arbeit
Winkel zwischen F und r
Drehwinkel

t:
M:
P:
W:
ω:

Zeit
Moment
Leistung
Arbeit
Winkelgeschwindigkeit

P:
η:

Leistung
Wirkungsgrad

a:
m:
t:
v:
F:

Beschleunigung
Masse
Zeit
Geschwindigkeit
Kraft

m:
v:
E:
U:
W:

Masse
Geschwindigkeit
kinetische Energie
Potential
Arbeit

Kinetik des Massepunktes (Newton)
Grundgesetz der Bewegung
d v
FR=∑ F i =m⋅ =m⋅a (S. 5)
dt
quasi statische Gleichung

FR=m⋅a =0

(S. 5)

Trägheitskräfte, d'Alembertsche Hilfskraft

Arbeits- und Energiesatz
1
W 12= ⋅m⋅v 22 −v 12 =E 2−E 1
2
W 12=U 1−U 2=E 2−E 1
U 1E 1=U 2E 2=const.

(S. 5)

(S. 5)

Energieerhaltungssatz

13 von 20

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Formelsammlung Technische Mechanik

Impulssatz
p12=m⋅ v2− v1 = p2− p1

∫ FR⋅dt=0

für

gilt

(S. 5)

m⋅
v 2=m⋅
v 1=const.

m:
p:
t:
v:
F:

(S. 5)

Masse
Impuls
Zeit
Geschwindigkeit
Kraft

Impulsmomenten-, Flächen- und Drehimpulssatz
 =r ×m⋅v =r ×p (S. 11)
D
Drall

 =r ×m⋅d v = d ⋅r ×m⋅v = dD = D
˙
M R =r × F
dt dt
dt

(S. 11)

Impulsmomentensatz

d
d
d2 A
M R= ⋅r ×m⋅v =m⋅ ⋅r ×v =2⋅m⋅ 2
dt
dt
dt
Flächensatz
t2

t2

t1

t1



∫ M R⋅dt=∫ ddtD⋅dt= D2− D1

(S. 12)

Drehimpulssatz

M R =0

für

gilt

1= D 2=const.
D

(S. 12)

(S. 12)

m:
p:
r:
t:
v:
A:
D:
F:
M:

Masse
Impuls
Ortsvektor
Zeit
Geschwindigkeit
Fläche
Drall
Kraft
Moment

a:
m:
F:

Beschleunigung
Masse
Kraft

m:
v:
W:

Masse
Geschwindigkeit
Arbeit

m:
p:
v:
F:

Masse
Impuls
Geschwindigkeit
Kraft

Kinetik des Massepunktesystems
Schwerpunktsatz
n

n

∑ F i =∑ mi⋅ai =m⋅a S
i=1

(S. 12)

i=1

Arbeitssatz
n

W 12=∑
i=1

mi 2
⋅ v i2 −v i12 
2

(S. 13)

Falls kein Potential vorliegt (keine Verluste),
dann gilt der Energieerhaltungssatz!

Impulssatz
n

p2− p1=∑ mi⋅ vi2 − vi1 =m⋅ vS2 − vS1 

(S. 13)

i=1

für

∑ F i =0

gilt

∑ mi⋅v i1=∑ mi⋅vi2=const.
m⋅vS1=m⋅vS2 =const.

14 von 20

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Impulsmomentensatz
 ˙
d
dD

M R= ⋅∑  ri ×m⋅
v i =
=D
dt
dt

D:
MR:
m:
r:
v:

(S. 16)

 =∑  ri ×m⋅
D
vi 
Drehimpulssatz
 D
 2− D
1
∫ M R dt=∫ d D=
für

(S. 16)

Drall
resultierendes Momemt
Masse
Ortsvektor
Geschwindigkeit

D: Drall
MR: resultierendes Momemt

1= D2 =const.
M R=0 folgt D

Kinetik des starren Körpers
Translation
1
rF = ⋅∫ r dm
m

(S. 22)

Definitionsgleichung für Massenmittelpunkt

Rotation (Achse fest)
M Rx=−˙ z⋅I xz 2z⋅I yz
M Ry =−˙ z⋅I yz 2z⋅I xz
M Rz =˙ z⋅I z
W 12=∫ I z

(S: 24)

d z
I
⋅d = z⋅2z −2z 
dt
2
2

m:
r:
rF:

Masse
Ortsvektor
Führungsvektor

D:
I:
MR:
W:
ω:

Drall
Massenträgheitsmomente
resultierendes Momemt
Arbeit
Winkelgeschwindigkeit

(S: 24)

1

Arbeitssatz

d
D 2− D1=∫ I z⋅ ⋅dt= I z⋅ z − z 
dt
2

(S: 24)

1

Drehimpulssatz

für Rotationsachse gleich Hauptträgheitsachse folgt: Zentrifugalmomente = 0!

Massenträgheitsmomente
I z =∫  x 2 y 2  dm=∫ r 2z dm
I x =∫  y  z  dm=∫ r dm
2

2

2
x
2
y

D:
I:

(S: 25)

Drall
Massenträgheitsmomente

I y =∫  x z  dm=∫ r dm
2

2

axiale Massenträgheitsmomente

I xz =∫ x⋅z dm= I zx

I yz =∫ y⋅z dm=I zy

(S: 25)

I xy =∫ x⋅y dm= I yx

Zentrifugal- / Deviationsmomente

1
I p = ⋅ I x I y  I z 
2

 

 

I x −I xy −I xz  x
Dx

D=
=
−I yx I y −I yz ⋅  y
Dy
−I zx −I yz
Iz
Dz
z
Drall; Trägheitstensor

(S: 25)

polares Massenträgheitsmoment

15 von 20

(S. 25)

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Formelsammlung Technische Mechanik

M 

S 

M 

S 

M 

S 

M 

S 

M 

S 

M 

S 

I z = I z m⋅r 2z
I y = I y m⋅r 2y
I x = I x m⋅r 2x

I:
Massenträgheitsmomente
M: Momentanzentrum
S: Schwerpunkt
i:
Trägheitsradius
m: Masse
m red: reduzierte Masse
rred: reduzierter Abstand (theoretisch!)
x S: Schwerpunktkoordinate
yS: Schwerpunktkoordinate

I xy = I xy m⋅x s⋅y s
I xz = I xz m⋅x s⋅z s

(S. 27)

I yz = I yz m⋅y s⋅z s

Steinerscher Satz (Umrechnung auf andere Achsen)

i=



I
m

(S. 28)

Trägheitsradius

m red =

I
r 2red

(S. 28)

reduzierte Masse

Bewegung starrer Körper in der Ebene
I
I
m
m
W 12= ⋅v 2S  S⋅2S − ⋅v 2S  S⋅2S =E 2−E 1
2
2
2
2



2

2

Arbeitssatz



1

1



d
M R= ⋅− z⋅I zx⋅
e x − z⋅I zy⋅
e y  z⋅I z⋅
ez 
dt

(S. 36)

Impulsmomentensatz

d

∣M R∣=M R= dt ⋅S⋅I S 

D:
E:
I:
M:
W:
e:
m:
p:
v:
ω:

(S. 36)

Impulsmomentensatz für z gleich Hauptträgheitsachse

 p=m⋅ v2− v1 = p2 − p1

(S. 36)

Impulssatz

1
 D= I S⋅ 
2− 
1 = D 2− D

(S. 36)

Drehimpulssatz

Allgemeine räumliche Bewegung
∑ M i= D˙ = dtd ⋅∫  r ×v  dm
∑ F i=m⋅a
Schwerpunktsatz

Drall
Energie
Massenträgheitsmomente
Moment
Arbeit
Einheitsvektoren
Masse
Impuls
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

(S. 38)

Momentensatz


 
  



I x −I xy −I xz  x

D = I⋅
= −I yx I y −I yz ⋅  y
−I zx −I zy
Iz
z
I1 0 0
1

D = I⋅
= 0 I 2 0 ⋅ 2
0 0 I 3 3
Drall

(S. 36)

˙ 1⋅I 12⋅3⋅ I 3− I 2 

M R= ˙ 2⋅I 23⋅1⋅ I 1−I 3 
˙ 3⋅I 31⋅2⋅ I 2−I 1 

(S. 38)

D:
F:
I:
I:
M:
a:
m:
r:
v:
ω:

(S. 39)

Eulersche Bewegungsgleichungen für Hauptträgheitsachsen in Schwerpunkt

16 von 20

Drall
Kraft
Massenträgheitsmomente
Trägheitstensor
Moment
Beschleunigung
Masse
Ortsvektor
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

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Formelsammlung Technische Mechanik

m⋅v 2S 1
2
2
2
E=
 ⋅ I 1⋅1  I 2⋅2 I 3⋅3 
2
2

D:
E:
I:
M:
m:
v:
ω:

(S. 39)

kinetische Energie

∫ M R dt=∫ d D = D2− D1

(S. 39)

Drehimpulssatz

 R=0 folgt D
 2= D
1=const. ,
Für M
d. h. Drallvektor behält seine Richtung bei.

Drall
kinetische Energie
Massenträgheitsmomente
Moment
Masse
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit

Relativbewegung
aabs=
r¨0×
× vrel  v
˙ rrel ×
  ×
 rrel  2⋅
˙rel

aC

aF

Beschleunigung

FR=m⋅a =m⋅
a F m⋅
a C m⋅arel

(S. 44)

Grundgesetz

Aufstellen von Bewegungsgleichungen

(S. 44)

arel

aabs:
aF:
aC:
arel:
r0:

Beschleunigung
Führungsbeschleunigung
Coriolisbeschleunigung
Relativbeschleunigung
Vektor vom raumfesten zum bewegten
Koordinatensystem
rrel: Vektor vom bewegten
Koordinatensystem zu einem
Punkt
v rel: Relativgeschwindigkeit
ω: Winkelgeschwindigkeit

Prinzip von d'Alembert (S. 45)
aus FR =m⋅
a folgt FR−m⋅a =0 mit 
a =v˙ = r¨
˙ folgt M − D
˙ =0
aus M R = D
R
Hilfskraft und -moment in negativer Richtung einführen!
•
•
•

geeignetes KOS wählen
freischneiden und Größen antragen
Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Lagrange-Gleichungen
d ∂E
∂E
(S. 54)
Q=
−
dt ∂ q˙
∂q

 

q:
E:
L:
U:

Lagrange-Gleichung 1. Art

 

d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q˙
∂q

(S. 55)

Lagrange-Gleichung 2. Art

L=E −U

Lagrange-Funktion

q=s

q=
˙ s˙ =v

Q=F

q=

q=
˙
˙ =

Q=M

17 von 20

allgemeine Koordinate
kinetische Energie
Lagrange-Funktion
potentielle Energie

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Stoß
Allgemeine Vorbemerkung
v −v
k = e2 e1 (S. 64)
v a1−v a2

k:
v e:
v a:

Stoßzahl, in Normalrichtung

Stoßzahl
Geschwindigkeit nach dem Stoß
Geschwindigkeit vor dem Stoß

0k 1

k

Holz

Glas

Stahl

plastisch

elastisch

0,50

0,95

0,65

0,00

1,00

Zentraler, gerader Stoß
1
v e1=
⋅[ m ⋅v m2⋅v a2 −k⋅m2⋅v a1−v a2  ]
m1m2 1 a1
1
v e2=
⋅[ m2⋅v a2m 2⋅v a2k⋅m 2⋅v a1−v a2  ]
m1 m2

(S. 65)

Geschwindigkeiten im Bereich e

v *=

1
⋅m1⋅v a1m 2⋅v a2 
m1m2

k:
m:
v:
E:

(S. 66)

Geschwindigkeit im Bereich g

1 m ⋅m
 E I = ⋅ 1 2 ⋅v a1−v a2 2
2 m1m 2

Stoßzahl
Masse
Geschwindigkeit
kinetische Energie

(S. 66)

Energieverlust in Phase Ι (Zusammenstoß)

1 m ⋅m
 E I I =− ⋅ 1 2 ⋅v e2 −v e1 2
2 m1m 2

(S. 66)

Energieverlust in Phase ΙΙ (Auseinanderdriften)

1 m ⋅m
 E ges = ⋅ 1 2 ⋅v a1−v a2 2⋅1−k 2
2 m1m2

(S. 66)

Gesamtenergieverlust

Zentraler, schiefer Stoß
v a1=v a1⋅cos 
v a2 =v a2⋅cos 
(S. 68)
v e1=v e1⋅sin '
v e2=v e2⋅sin  '

ve
1

α'
α

t

ve
β

2

β'
n

va
va
Neues v in Formeln vom zentralen, 1geraden Stoß einsetzen
und damit weiterrechnen!
2

18 von 20

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Formelsammlung Technische Mechanik

Allgemeiner, exzentrischer Stoß
I
m 2red = 2A (S. 69)
A
l
ω

l:
m:
v:
IA:
ω:

reduzierte Masse auf B

v 2(B) =⋅l

m

(S. 69)

Geschwindigkeit von B

1

v

l

m 2,
IA

Länge von A bis B
Masse
Geschwindigkeit
Massenträgheitsmoment um A
Winkelgeschwindigkeit

1
B
Desweiteren gelten die Formeln des zentralen, geraden Stoßes!

Allgemeiner Drehstoß
I
m1red = 21 (S. 69)
l1
v 1(B)=1⋅l 1
m 2red =

I2
2

l2

ω1

(S. 69)

v 2(B) =2⋅l 2

ω2

I1

(S. 69)

l:
m:
v:
I:
ω:

Abstand
Masse
Geschwindigkeit
Massenträgheitsmoment
Winkelgeschwindigkeit

I2

B
l2

l1
(S. 69)

Desweiteren gelten die Formeln des zentralen, geraden Stoßes!

Schwingungen
Freie, ungedämpfte Schwingung
m⋅g
(S. 76)
x stat =
c

c:
f:
g:
m:
x:
T:
ω0:

statische Ruhelage

c
x¨  ⋅x=0
m

(S. 76)

Schwingungsdifferentialgleichung

0 =



c
m

(S. 76)

Eigenkreisfrequenz

T=



2⋅
m
=2⋅⋅
c
0

Schwingungsdauer

(S. 76)

f=

1
T

(S. 76)

Frequenz

19 von 20

Federrate
Frequenz
Fallbeschleunigung
Masse
Auslenkung
Schwingungsdauer
Eigenkreisfrequenz

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Bestimmung der Federrate
Elastisches System (Stabmasse wird vernachlässigt)

c=

3⋅E⋅I
l3

c=

(S. 76)

48⋅E⋅I
l3
E,
I

m

l
E,
I
m

c:
l:
E:
I:

Federrate
Abstand
E-Modul
Flächenmoment

m:
m F:
x:
E:

angehängte Masse
Federmasse
Auslenkung
kinetische Energie

c:
l:
G:
I t:
φ:
ω:

Federrate
Federlänge
Schubmodul
Flächenmoment der Torsion
Drehwinkel
Winkelgeschwindigkeit

l/2
l

Federrate bei Federschaltungen
1
1
=∑
c ges =∑ ci
c ges
ci
Reihenschaltung

Parallelschaltung

Berücksichtigung der Federmasse
m
x˙ 2
E kin= ⋅ m F (S. 79)
2
3





Drehschwingung
G⋅I t
(S. 80)
c=
l
Drehfederrate
2


¨
0⋅=0

(S. 80)

Schwingungsdifferentialgleichung

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