be .pdf

Zadanie 212. Wyznaczyć wszystkie takie liczby pierwsze p, że liczba 7p2 +8 też jest pierwsza.
Rozwiązanie:
Dla p = 3 wyrażenie 7p2 + 8 przyjmuje wartość 71 (liczba pierwsza). Wykażemy, że 3 jest
jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunki.
Istotnie dla p = 2 wyrażenie 7p2 +8 jest liczbą parzystą. Z drugiej strony każda liczba pierwsza
większa niż 3 ma postać 6k ± 1 dla pewnego k ∈ N. Stąd mamy:
7p2 + 8 = 7(6k ± 1)2 + 8 = 7(36k2 ± 12k + 1) + 8 = 252k2 ± 84k + 15 = 3(84k2 ± 28k + 5)
Zatem żadna liczba pierwsza większa niż 3 nie może spełniać warunków.
Zadanie 213. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego an o wyrazach dodatnich, że suma
P
P
an jest liczbą wymierną, a suma a2n jest liczbą niewymierną.
P

Rozwiązanie: 
n
Niech an = 1e 1 − 1e . Mamy wówczas:
∞
X

n=1
∞
X

an =
a2n

=

n=1


∞
X
1

e
n=1

1−


∞
X
1

n=1

e2

1
·
e2

2
e

=

1
e

n

1
e2

∞
1
1X
1−
e n=1
e



n

=

1
1
1
·
= ·e = 1
e 1 − (1 − 1e )
e


 !n
∞
1 X
1
1
1 2
=
= 2
= 2·
1−
e n=1
e
e 1 − (1 − 1e )2
1
=
2e − 1

1
1−
e

1
−

=

2n

Zadanie 214. Obliczyć granicę
lim

n→∞

1
8
27
64
125
k3
n3
+
+
+
+
+
.
.
.
+
+
.
.
.
+
n8 + 1 n8 + 8 n8 + 27 n8 + 64 n8 + 125
n8 + k 3
n8 + n3

Rozwiązanie:
P
Za pomocą indukcji można udowodnić prawdziwość wzoru nk=1 k3 =
prawdziwe jest następujące oszacowanie:

n2 (n+1)2
.
4

!

.

Wobec czego

n
n
X
X
1
n2 + 2n + 1 n→∞
n2 (n + 1)2
k3
k3
3
≥
=
=
k
=
−−−→ 0
n8 + k3 k=1 n8 + n3
n8 + n3 k=1
4n2 (n6 + n)
4n6 + 4n
k=1
n
X

Z drugiej strony mamy natomiast
n
n
n
X
X
X
1 n→∞
n3
n3
1
k3
≤
≤
=
= 4 −−−→ 0
8 + k3
8 + k3
8
5
n
n
n
n
n
k=1
k=1
k=1
k=1
n
X

Zatem
z obu powyższych nierówności oraz z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że ciąg
P
n
k3
jest zbieżny i jego granica wynosi 0.
k=1 n8 +k 3
n∈N

Zadanie 215. Wyznaczyć kres górny zbioru wszystkich liczb postaci ab + bc + ca, gdzie a, b, c
przebiegają wszystkie trójki liczb rzeczywistych spełniających warunek a + b + c = 3.

1

Rozwiązanie:
Z warunków zadania a + b + c = 3. Stosując nierówność Cauchy’ego-Schwartza otrzymujemy
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 )

a2 + b2 + c2 ≥

⇒

9
(a + b + c)2
= =3
3
3

Skąd w prosty sposób dostajemy oszacowanie z góry wartości wyrażenia ab + bc + ca:
ab + bc + ca =

(a + b + c)2 − (a2 + b2 + c2 )
9 − (a2 + b2 + c2 )
9−3
=
≤
=3
2
2
2

W ten sposób dowiedliśmy, że liczba 3 jest ograniczeniem górnym zbioru wartości wyrażenia
ab + bc + ca. Jednak dla a = b = c = 1 mamy ab + bc + ca = 3, a więc 3 jest poszukiwanym
kresem górnym.
Zadanie 216. Wskazać liczby naturalne m < n ≤ 97, dla których prawdziwy jest następujący wzór na sumę kwadratów wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego 97-wyrazowego
a1 , a2 , a3 , . . . , a97 :
97
X
a2 + a2n
.
a2i = 97 · m
2
i=1
Rozwiązanie:
Zapiszmy wyraz ogólny ciągu arytmetycznego (ai ) w postaci a1 + (i − 1)r, gdzie r jest różnicą
ciągu. Rozpisując lewą stronę wzoru mamy:
97
X

a2i =

i=1

=

97
X

(a1 + (i − 1)r)2 =

i=1
97
X
a21
1
i=1

97 
X

a21 + a1 (i − 1)r + (i − 1)2 r 2

i=1

+ a1 r

97
X

(i − 1) + r 2

i=1

97
X

(i − 1)2 = a21

i=1

97
X
i=1



1 + a1 r

=
96
X
i=1

i + r2

96
X

i2 =

i=1

96 · 97 · 193 2
96 · 97
· a1 r +
· r = 97 · a21 + 97 · 96 · a1 r + 97 · 3088 · r 2
= 97 · a21 +
2
6
Podobnie, rozpiszmy prawą stronę wzoru:
97 ·


97 
a2m + a2n
=
(a1 + (m − 1)r)2 + (a1 + (n − 1)r)2 =
2
2

97  2
a1 + 2a1 (m − 1)r + (m − 1)2 r 2 + a21 + 2a1 (n − 1)r + (n − 1)2 r 2 =
=
2

97  2
2a1 + 2a1 r(m + n − 2) + r 2 ((m − 1)2 + (n − 1)2 )
=
2

Po przyrównaniu obu stron
97



a21

+ 96 · a1 r + 3088 · r

2



97 2a21 + 2a1 r(m + n − 2) + r 2 ((m − 1)2 + (n − 1)2 )
=
2




Otrzymujemy układ równań
(

m + n = 98
(m − 1)2 + (n − 1)2 = 6167

który ma wyłącznie jedno rozwiązanie zgodne z warunkami zadania m = 21, n = 77.

2