be (PDF)




File information


Title: index.dvi

This PDF 1.4 document has been generated by dvips(k) 5.991 Copyright 2011 Radical Eye Software / MiKTeX GPL Ghostscript 9.0, and has been sent on pdf-archive.com on 26/02/2012 at 01:17, from IP address 91.150.x.x. The current document download page has been viewed 1555 times.
File size: 42.1 KB (2 pages).
Privacy: public file










File preview


Zadanie 212. Wyznaczyć wszystkie takie liczby pierwsze p, że liczba 7p2 +8 też jest pierwsza.
Rozwiązanie:
Dla p = 3 wyrażenie 7p2 + 8 przyjmuje wartość 71 (liczba pierwsza). Wykażemy, że 3 jest
jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunki.
Istotnie dla p = 2 wyrażenie 7p2 +8 jest liczbą parzystą. Z drugiej strony każda liczba pierwsza
większa niż 3 ma postać 6k ± 1 dla pewnego k ∈ N. Stąd mamy:
7p2 + 8 = 7(6k ± 1)2 + 8 = 7(36k2 ± 12k + 1) + 8 = 252k2 ± 84k + 15 = 3(84k2 ± 28k + 5)
Zatem żadna liczba pierwsza większa niż 3 nie może spełniać warunków.
Zadanie 213. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego an o wyrazach dodatnich, że suma
P
P
an jest liczbą wymierną, a suma a2n jest liczbą niewymierną.
P

Rozwiązanie: 
n
Niech an = 1e 1 − 1e . Mamy wówczas:

X

n=1

X

an =
a2n

=

n=1



X
1

e
n=1

1−



X
1

n=1

e2

1
·
e2

2
e

=

1
e

n

1
e2


1
1X
1−
e n=1
e



n

=

1
1
1
·
= ·e = 1
e 1 − (1 − 1e )
e


 !n

1 X
1
1
1 2
=
= 2
= 2·
1−
e n=1
e
e 1 − (1 − 1e )2
1
=
2e − 1

1
1−
e

1


=

2n

Zadanie 214. Obliczyć granicę
lim

n→∞

1
8
27
64
125
k3
n3
+
+
+
+
+
.
.
.
+
+
.
.
.
+
n8 + 1 n8 + 8 n8 + 27 n8 + 64 n8 + 125
n8 + k 3
n8 + n3

Rozwiązanie:
P
Za pomocą indukcji można udowodnić prawdziwość wzoru nk=1 k3 =
prawdziwe jest następujące oszacowanie:

n2 (n+1)2
.
4

!

.

Wobec czego

n
n
X
X
1
n2 + 2n + 1 n→∞
n2 (n + 1)2
k3
k3
3

=
=
k
=
−−−→ 0
n8 + k3 k=1 n8 + n3
n8 + n3 k=1
4n2 (n6 + n)
4n6 + 4n
k=1
n
X

Z drugiej strony mamy natomiast
n
n
n
X
X
X
1 n→∞
n3
n3
1
k3


=
= 4 −−−→ 0
8 + k3
8 + k3
8
5
n
n
n
n
n
k=1
k=1
k=1
k=1
n
X

Zatem
z obu powyższych nierówności oraz z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że ciąg
P
n
k3
jest zbieżny i jego granica wynosi 0.
k=1 n8 +k 3
n∈N

Zadanie 215. Wyznaczyć kres górny zbioru wszystkich liczb postaci ab + bc + ca, gdzie a, b, c
przebiegają wszystkie trójki liczb rzeczywistych spełniających warunek a + b + c = 3.

1

Rozwiązanie:
Z warunków zadania a + b + c = 3. Stosując nierówność Cauchy’ego-Schwartza otrzymujemy
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 )

a2 + b2 + c2 ≥



9
(a + b + c)2
= =3
3
3

Skąd w prosty sposób dostajemy oszacowanie z góry wartości wyrażenia ab + bc + ca:
ab + bc + ca =

(a + b + c)2 − (a2 + b2 + c2 )
9 − (a2 + b2 + c2 )
9−3
=

=3
2
2
2

W ten sposób dowiedliśmy, że liczba 3 jest ograniczeniem górnym zbioru wartości wyrażenia
ab + bc + ca. Jednak dla a = b = c = 1 mamy ab + bc + ca = 3, a więc 3 jest poszukiwanym
kresem górnym.
Zadanie 216. Wskazać liczby naturalne m < n ≤ 97, dla których prawdziwy jest następujący wzór na sumę kwadratów wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego 97-wyrazowego
a1 , a2 , a3 , . . . , a97 :
97
X
a2 + a2n
.
a2i = 97 · m
2
i=1
Rozwiązanie:
Zapiszmy wyraz ogólny ciągu arytmetycznego (ai ) w postaci a1 + (i − 1)r, gdzie r jest różnicą
ciągu. Rozpisując lewą stronę wzoru mamy:
97
X

a2i =

i=1

=

97
X

(a1 + (i − 1)r)2 =

i=1
97
X
a21
1
i=1

97 
X

a21 + a1 (i − 1)r + (i − 1)2 r 2

i=1

+ a1 r

97
X

(i − 1) + r 2

i=1

97
X

(i − 1)2 = a21

i=1

97
X
i=1



1 + a1 r

=
96
X
i=1

i + r2

96
X

i2 =

i=1

96 · 97 · 193 2
96 · 97
· a1 r +
· r = 97 · a21 + 97 · 96 · a1 r + 97 · 3088 · r 2
= 97 · a21 +
2
6
Podobnie, rozpiszmy prawą stronę wzoru:
97 ·


97 
a2m + a2n
=
(a1 + (m − 1)r)2 + (a1 + (n − 1)r)2 =
2
2

97  2
a1 + 2a1 (m − 1)r + (m − 1)2 r 2 + a21 + 2a1 (n − 1)r + (n − 1)2 r 2 =
=
2

97  2
2a1 + 2a1 r(m + n − 2) + r 2 ((m − 1)2 + (n − 1)2 )
=
2

Po przyrównaniu obu stron
97



a21

+ 96 · a1 r + 3088 · r

2



97 2a21 + 2a1 r(m + n − 2) + r 2 ((m − 1)2 + (n − 1)2 )
=
2



Otrzymujemy układ równań
(

m + n = 98
(m − 1)2 + (n − 1)2 = 6167

który ma wyłącznie jedno rozwiązanie zgodne z warunkami zadania m = 21, n = 77.

2






Download be



be.pdf (PDF, 42.1 KB)


Download PDF







Share this file on social networks



     





Link to this page



Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..




Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)




HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog




QR Code to this page


QR Code link to PDF file be.pdf






This file has been shared publicly by a user of PDF Archive.
Document ID: 0000037189.
Report illicit content