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tiragem em 7-outubro-2005 00076

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Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROVA FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
• Está proibido o uso de aparelhos eletrônicos, durante a realização da prova. A transgressão dessa regra
implicará a anulação do teste.
• Esta prova tem a duração de 3h.
• Deixe todo o desenvolvimento das questões na folha destinada para tal, com a devida identificação.
• BOA PROVA!

1. Calcule as integrais indefinidas a seguir:
Z

dx
sen2 x cos4 x
Z √
(b)
tan x dx
(a)

Z
(c)
Z
(d)

√
x32+x
√
dx
x+ 32+x
ln (cos x)
tan x dx
cos3 x

2. O gráfico de y = f (x) tem esta propriedade: para cada ponto (x, y) no gráfico, a reta normal a esse ponto passa
pelo ponto fixo (1, 0).
(a) Encontre a equação diferencial que modela o problema.
(b) Encontre a solução geral para essa equação.
(c) Utilizando artifícios algébricos, esboce o gráfico dessa curva, considerando que y (0) = 1.
3. Considere o sólido delimitado superiormente pela calota de uma esfera cujo raio vale r, com altura igual a h, e
inferiormente por um plano horizontal.
(a) Mostre que o seu volume, V , é dado pela expressão
h3
V = π rh −
3

!

2

Faça uma figura do sólido. Cheque sua resposta nestes três casos: não há sólido (h = 0); há um hemisfério
(h = r); há toda a esfera (h = 2r). Assumiremos sempre que 0 6 h 6 2r. Explique por quê.
(b) Calcule a área superficial do segmento esférico. Reveja sua resposta, utilizando-se dos três casos citados no
item (a).
(c) Encontraremos a forma de uma bolha de sabão que repousa sobre uma mesa. Suponha que a bolha é uma
porção da esfera (como anteriormente), que sua capacidade é fixa e igual a V e sua área superficial é a
menor possível (a área da superfície curva, isto é, sem a base). Encontre as dimensões da bolha.
4. Encontre a família de curvas que são normais à parábola y = ax2 .

2

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y

y = ax2

y
x

5. Calcule a integral
Z
(1 + ln x)

p

1 + x2 ln2 x dx

6. A função erro de Gauss, utilizada em Teoria Probabilística, é definida como sendo
Z x
2
2
erf (x) = √
e−t dt
π 0
(a) A função erf (x) é par ou é ímpar?
(b) Esboce o seu gráfico
Calcule:
Z
2
(c)
e−nx dx, n > 0
Z √
ln x
(d)
dx
x2