HM CT (PDF)

Hubera-Misesa

Coulumba-Tresci

Hipoteza energii odkształcenia postaciowego
Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych
Znajduje zastosowanie w materiałach sprężysto-plastycznych
O wytężeniu materiału w danym punkcie ciała decyduje:
Gęstość energii odkształcenia postaciowego,
niezależnie od rodzaju stanu naprężenia.

Maksymalna bezwzględna wartość ekstremalnych
naprężeń stycznych, niezależnie od rodzaju stanu
naprężenia.

17. Porównanie hipotez Hubera-Misesa oraz Coulomba-Tresci
Porównanie zrobimy dla przypadku płaskiego stanu naprężenia (σ3 = 0) oraz hipotez maksymalnych
naprężeń stycznych (C-T) i energii odkształcenia postaciowego (H-M). Krzywe graniczne dla tych
trzech hipotez zestawione są na rysunku. Widać z niego wyraźnie, że największe rozbieżności miedzy
sześciobokiem C-T i elipsą H-M występują w drugiej i czwartej ćwiartce przestrzeni naprężeń na
prostej σ1 = −σ2 tj. dla przypadku czystego ścinania.
W trójwymiarowej przestrzeni
Haigha – Beckera warunki
bezpiecznego stanu
mechanicznego hipotez H-M
oraz C-T przedstawiają się
odpowiednio, jako walec i
graniastosłup. Wobec tego w
dwuwymiarowej przestrzeni są
to elipsa i sześciokąt.

Jeżeli uporządkujemy naprężenia główne wg relacji σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, to warunek bezpiecznego stanu
mechanicznego możemy zapisać w następujący sposób:
wg. hipotezy Coulomba – Tresci:
𝜎1 − 𝜎3 ≤ 𝑅𝐾
wg hipotezy Hubera – Misesa:
1
√(𝜎𝑥
√2

2

2

− 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑧 ) + (𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 )2 + 6(𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜏𝑦𝑧 2 ) ≤ 𝑅𝐾

Lewe strony powyższych nierówności, obliczone w oparciu o wartości elementów dowolnej macierzy
naprężeń, porównywane są z granicą niebezpieczną przy jednoosiowym stanie naprężenia. Stąd
możemy je interpretować, jako zastąpienie czy redukcję stanu przestrzennego do jednoosiowego i
dlatego nazywane są naprężeniami zredukowanymi lub zastępczymi i zwykle oznaczane przez σ0.
Stąd wzory na naprężenia zredukowane wg odpowiednich hipotez mają postać:
𝜎0𝐶−𝑇 = 𝜎1 − 𝜎3
𝜎0𝐻−𝑀 =

1
√(𝜎𝑥
√2

=

1
√(𝜎1
√2

2

2

− 𝜎𝑦 ) + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑧 ) + (𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 )2 + 6(𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜏𝑦𝑧 2 )
− 𝜎2 )2 + (𝜎2 − 𝜎3 )2 + (𝜎3 − 𝜎1 )2

W przypadku płaskiego stanu naprężenia, w którym macierz naprężeń zawiera jedynie dwa elementy
σx oraz τxz, wzory na naprężenia zredukowane przyjmują formę:
2
𝜎0𝐶−𝑇 = √𝜎𝑥2 + 4𝜏𝑥𝑧
2
𝜎0𝐻−𝑀 = √𝜎𝑥2 + 3𝜏𝑥𝑧