Vector Spaces (PDF)
File information
This PDF 1.5 document has been generated by TeX / MiKTeX pdfTeX-1.40.13, and has been sent on pdf-archive.com on 18/03/2014 at 04:34, from IP address 95.35.x.x.
The current document download page has been viewed 549 times.
File size: 120.22 KB (3 pages).
Privacy: public file
File preview
הוכחת הנוסחא למימד הסכום של מרחבי
וקטורים /צחי.
יהיו Uו־ Vשני מרחבים ליניאריים סוף־מימדים ,מעל שדה .Fאזי:
) dim(U + V ) = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ V
הוכחה
נסמןdim(U ∩ V ) = k :
dim(U ) = n,
} A = {w1 , w2 , . . . , wk
dim(V ) = m,ויהיו:
B2 = {u1 , u2 , . . . , un },
B1 = {v1 , v2 , . . . , vm },
בסיסים של המרחבים V, Uו־ U ∩ Vבהתאמה.
מאחר ֹו־ ,A ⊆ U ∩V ⊆ U, Vנובע שהקבוצה Aניתנת להשלמה לבסיסים של המרחבים
U, Vבצורה הבאה:
} B3 = {w1 , w2 , . . . , wk , uk+1 , uk+2 , . . . , un
} B4 = {w1 , w2 , . . . , wk , vk+1 , vk+2 , . . . , vm
נאחד את הבסיסים B3 , B4לבסיס:
} B = {w1 , w2 , . . . , wk , uk+1 , uk2 , . . . , un , vk+1 , vk+2 , . . . , vm
ונוכיח שקבוצה זו מהווה בסיס ל־ .U + V
יהי .w ∈ U + Vאזי קיימים שני וקטוריםֹ u ∈ U ,ו־ v ∈ Vכך ש .w = v + u
βj uj
n
X
αi wi +
i=1
j=k+1
δ j vj
m
X
j=k+1
k
X
=u∈U ⇒u
γi wi +
k
X
i=1
1
=v∈V ⇒v
לפיכך:
δ i 4 vi 4
m
X
γi3 wi3 +
βi2 ui2 +
i3 =1
i4 =k+1
δi3 vi3 ⇒ w ∈ spanB
k
X
m
X
n
X
αi1 wi1 +
i1 =1
i2 =k+1
n
X
βi2 ui2 +
k
X
(αi1 + γi1 )wi1 +
=
i1 =1
i2 =k+1
i3 =k+1
k
X
= u+v
ועל כן הקבוצה Bפורשת את המרחב .U + V
בשלב הבא נוכיח שהקבוצה Bבת"ל.
נניח בשלילה שקבוצה זו תלויה ליניארית .הנחה זו מובילה למסקנה כי
m
X
γ i 3 vi 3 = 0
n
X
βi2 ui2 +
αi1 wi1 +
)(1
i1 =1
i2 =k+1
i3 =k+1
k
X
כאשר הצירוף ) (1אינו טריוויאלי .אם נעביר אגפים ,נקבל:
)(2
αi1 wi1
k
X
m
X
γi3 vi3 = −
i1 =1
n
X
βi2 ui2 +
i2 =k+1
i3 =k+1
Pk
אם , i1 =1 αi1 wi1 6= 0נקבל שהאגף השמאלי של ) (2הוא צירוף ליניארי של איברי
הבסיס של ,U ∩ Vלכן
γ i 3 vi 3 ∈ U ∩ V
m
X
βi2 ui2 +
i3 =k+1
n
X
i2 =k+1
ובפרט
γi3 vi3 ∈ U
m
X
βi2 ui2 +
i3 =k+1
מאחר ו־ βi2 ui2 ∈ U
)(3
Pn
i2 =k+1
n
X
i2 =k+1
נובע ש γi3 vi3 ∈ U
γi3 vi3 ∈ U ∩ V
i3 =k+1
m
X
i3 =k+1
2
Pm
ולכן
נציין שהצירֹוף הליניארי γi3 vi3
שמתקיים
Pm
i3 =k+1
אינו אפסי ,שכן אחרת ,נקבל ממשוואה )(1
n
X
βi2 ui2 = 0
αi1 wi1 +
k
X
i1 =1
i2 =k+1
כלומר הקבוצה B3תלויה ליניארית ,בסתירה לכך שהיא בסיס .על כן (3) ,מניבה שקיים
צירוף ליניארי של איברי הבסיס ,Aהמקיים
)(4
δI wI
k
X
= γ i 3 vi 3
I=1
m
X
i3 =k+1
אם נעביר אגפים ממשוואה זו ,נקבל:
δI wI = 0
)(5
k
X
m
X
γ i 3 vi 3 −
I=1
i3 =k+1
במילים אחרות ,קיבלנו צירוף ליניארי לא טריוויאלי של איברי הקבוצה ,B4ולכן קבוצה
זו תלויה ליניארית ,בסתירה לעובדה שהיא בסיס.
אם αi1 wi1 = 0
Pk
i1 =1
,נקבל ממשוואה )(2
m
X
γi3 vi3 = 0
βi2 ui2 +
i3 =k+1
n
X
i2 =k+1
נעביר אגפים ונקבל
γ i 3 vi 3
m
X
βi2 ui2 = −
i3 =k+1
n
X
i2 =k+1
Pn
Pn
על כן i2 =k+1 βi2 ui2 ∈ Vולכן , i2 =k+1 βi2 ui2 ∈ U ∩ Vובדומה ל ) (4ו־),(5
נקבל שהקבוצה B3תלויה ליניארית ,בסתירה לכך שהיא בסיס.
לסיכום ,ההנחה כי הקבוצה Bתלויה ליניארית מובילה לסתירה ,ועל כן היא בלתי תלויה
ליניארית .לפיכך Bהיא בסיס למרחב U + Vומתקיים:
) dim(U + V ) = card(B) = k + n − k + m − k = n + m − k = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ V
3
Download Vector Spaces
Vector_Spaces.pdf (PDF, 120.22 KB)
Download PDF
Share this file on social networks
Link to this page
Permanent link
Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..
Short link
Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)
HTML Code
Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog
QR Code to this page
This file has been shared publicly by a user of PDF Archive.
Document ID: 0000152494.