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Partie I : STABILITE DANS DES CAS PARTICULIERS
X2
Soient a et b deux r´eels. On note P X
On note z1 et z2 deux nombres complexes tels
0
1
X 3 X 2 X 1 et B
Soit Q X
0
I.1. Montrer que a

z1

z2 et b

aX b et Δ a2 4b.
que : P X
X z1 X
1 0
0 1 .
1
0

z2 .

z1 z2 .

I.2. On suppose dans cette question que Δ 0.
I.2.a. V´erifier que si P est stable, alors a 0 et b 0.
I.2.b. Montrer r´eciproquement que si a 0 et b 0, alors P est stable.
I.3. On suppose dans cette question que Δ 0.
Montrer que P est stable si et seulement si a

0 et b

I.4. On suppose dans cette question que Δ 0.
I.4.a. Justifier que z2 z 1 .
I.4.b. Montrer que P est stable si et seulement si a

0.

0 et b

I.5. On suppose dans cette question que n 2 et que A M2 R .
I.5.a. Exprimer χA en fonction de Tr A et det A .
I.5.b. Etablir que A est stable si et seulement si Tr A
0 et
I.6. On suppose dans cette question que n 3.
I.6.a. Trouver les racines complexes de Q.
I.6.b. V´erifier que Tr B
0 et que 1 n det B
I.6.c. Montrer que ni Q ni B ne sont stables.

0.

1 n det A

0.

0.

Partie II : NORME SUBORDONNEE ET MESURE DE LOZINSKII
Soit n un entier naturel non nul. Dans toute cette partie, on note
une certaine norme sur
n
n
x K tel que x
1 .
le K espace vectoriel K . On d´efinit l’ensemble : B
Pour A Mn K , on d´efinit :
A
sup Ax (l’existence de cette borne sup´erieure sera
x B

´etablie dans la question II.1.c.).

On admet que l’application A
A d´efinit ainsi une norme
sur l’espace vectoriel
: en effet, elle d´epend du choix de la norme
Mn K qui s’appelle la norme subordonn´ee `a
.
II.1.
II.1.a. Rappeler la d´efinition d’une norme sur Kn .
II.1.b. V´erifier que l’application x
Ax est continue sur Kn .
II.1.c. Montrer l’existence de x0 B tel que : x B, Ax
Ax0 . Cela justifie
Ax0 .
sup Ax et on a alors A
donc la d´efinition de A
x B

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