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II.1.d. Montrer que In
1.
II.1.e. Etablir que pour tout x

Kn et A Mn K , on a : Ax
II.1.f. Montrer que, pour tout A Mn K et B Mn K , on a :
A

B

A

II.2. Montrer que, pour tout λ
II.3. Soit A

B

AB

et

C, on a :

e λ

A
1

lim

u

0

A

x .

B .


u

1

.

Mn K . On se propose dans cette question de montrer l’existence du r´eel :
μA

In

lim

u

0

uA
u

1

.

Ce r´eel est appel´e mesure de Lozinski˘ı de A (il d´epend du choix de la norme initiale).
In uA
1
.
Pour u 0, on note μ A, u
u
II.3.a. Montrer que pour tout u et v ´el´ements de R :
μ A, u

μ A, v

u

1

In

II.3.b. En d´eduire que si 0 u
II.3.c. V´erifier que pour tout u

A

v

1

In

v, alors : μ A, u

0, on a :
II.3.d. En d´eduire l’existence du r´eel μ A

II.4. On suppose dans cette question que K

A

A

u

μ A, v
μ A, u

1

v

1

.

0.
A .

lim μ A, u .

u

0

C. Soit λ

SpC A .

II.4.a. Montrer qu’il existe x Cn tel que Ax λx, x
1 et puis que, pour tout
1 uλ .
r´eel u strictement positif, on a : In uA x
II.4.b. En d´eduire que : e λ
μA.
II.4.c. Donner une condition suffisante sur μ A pour que A soit stable.

Le r´
esultat principal de cette partie II est que :

SpC A , e λ

pour tout λ

μA

o`
u

μA

lim

u

In

0

4/7

uA
u

1

.