zbior zadan AM II odpowiedzi .pdf

Rozdział 1
Odpowiedzi do zadań

Zadanie 1.1.1
a) 13 abc(a2 + b2 + c2 )

b) 3 ln 2

Zadanie 1.1.2
a)

1
48

b)

π 2 −8
16

c) 11

d) 0, 01

e)

40
3

f ) − 18 + ln

√

g)

2

7
192

Zadanie 1.1.3
πR
2

a)

4π 5
R
15

b)

4π 5
a
15

c)

h)

4π 3
a bc
15

i)

3π
8

j) 32π

d)

π
10

e)

π
6

f ) 89 a2

k)

16
π
3

l)

1
π
10

m)

2π
(
3

g) π4 h2 R2
√
2 − 1)

n)

√
8 2π
35

Zadanie 1.1.4
a) 3

b)

55
6

c)

πa3
6

d) 2πa3

g) 4πa

h)

R3 −r3
π
3

i)

16
πR6
3

j)

m)

8π
3

n) 4π

o) 45

Zadanie 1.2.1
√
a) 5 ln 2

b) arctg

√
2 2 3
(b
3

g) 2πa3

f)

− a3 )

√

10

1
(5a3
12

+ a)

e)

16π
3

f)

k)

4π
3

l)

38
π(2
3

−

√
2)

32
3

r) 43 π

p) π

√
√
c) 23 (5 5 − 2 2)

d) 24

h) 2π + 2

i)

1

1
(π 2
16

e) 0
+ 12π − 8 ln 2)

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

2

Zadanie 1.2.2
a)

√
b) 13 a3 (3π + 2 2)

√
a2 + b2 (2πa2 + 38 π 3 b2 )

c)

Zadanie 1.2.3
a)

21
π
4

b) 8

c) 5

d)

√
3

√

e)

2a2 + b2

Zadanie 1.2.4
√

a)

3π
2
(e 4
3

π

+ 3e 4 − 4)

b) 2π

Zadanie 1.2.5
a) 0

b) 0

e) 0

f) −

c) −
4
3

17
24

d)

π
4

−

2
3

h) − π

g) 2

Zadanie 1.2.6
b) − πa2

a) 1

c)

1
35

d) 13

e) 4

f) 0

Zadanie 1.2.7
a) 10
d) −

4
3

b)

πR4
2

e)

π
2

−

4
3

c) −

1
3

f) −

1 5
e
15

+ 61 e2 − 2e +

Zadanie 1.2.8
a) −
d)

3
2

3
2

b) 63

c) −

e) 1

f)

√

1
2

2+1

Zadanie 1.3.1
√

a)

3 3
a
2

b) 16

√
c) 54 14

d)

28
3

Zadanie 1.3.2
a) 0

b) 43 πR4

c) ah(4a + πh)

d) 30π

2
5

√

3−

2
3

√

2

d)

16
143

√
2

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

3

Zadanie 1.3.3
√
a) 2 2πp2

b)

√

2π
(
3

c) 2R2

8 − 1)



π
2



−1

√
d) 83 π(2 2 − 1)

Zadanie 1.3.4
1
60

+

d) −

π
4

a)

π
3·28

b)

70
3

− 32 π

e)

38
π
15

c) 0
f) −

94
15

Zadanie 1.3.5
a)

1
kR2 (16R
24

+ 3πk)

b)

12
πa5
5

c) 1

Zadanie 1.3.6
a) − 18 πR6

b) − πa2

c) 0

Zadanie 1.4.1
a) grad F = [x2 − 2yz, y 2 − 2xz, z 2 − 2xy]
h

c) grad F = 1 −

1
y

+ yz , yx2 + xz , − xy
z2

i

b) grad F = [x, y, z]
d) grad F =

h

i

y
, −x , 1
x2 +y 2 x2 +y 2

e) grad F = [yz, xz, xy]

Zadanie 1.4.2
~ = −1, rot W
~ = ~k
a) div W
~ = 2z, rot W
~ = −2(x + y)~k
b) div W
~ = 0, rot W
~ =0
c) div W
~ = 2 , rot W
~ =0
d) div W
r
~ = − 1 y 2 − 2zy − 2xz, rot W
~ = y 2~i + z 2~j + xy~k
e) div W
2
~ = 2x + y + xz + 1, rot W
~ = −xy~i + ~j + (yz − x)~k
f ) div W

Zadanie 1.4.3
a) u(x, y) = xey − 2y 2 + C, C ∈ R
c) nie
e) nie
√
g) u(x, y) = x2 + y 2 + C, C ∈ R
i) nie
k) u(x, y, z) = x2 y + xz 2 + sin πz + C, C ∈ R

b) u(x, y) = xexy + C, C ∈ R
d) nie
f ) u(x, y) = x2 + 2xy + y 3 + C, C ∈ R
h) u(x, y, z) = x3 + x2 yz + y 2 + z 2 + 2z + C, C ∈ R
j) u(x, y, z) = 14 (x4 + y 4 + z 4 ) − 5xyz + C, C ∈ R
l) u(x, y, z) = xy + xz + yz + C, C ∈ R

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
Zadanie 1.4.4
a) 96π +

256
3

b) 0

c) 5π

e) − 2π f ) 4π

d) 48π

Zadanie 1.4.5
a) 4πR2 H
b) − 4π

Zadanie 1.4.6
a) − 74
b) − π

c) 24a3

c) πR2

Zadanie 2.1.1
a) zbieżny
d) zbieżny
g) zbieżny

b) zbieżny
e) rozbieżny
h) zbieżny

c) zbieżny
f ) zbieżny
i) rozbieżny

Zadanie 2.1.2
a)

1
e2 −1

b) −

2
3

d)

23
4

g)

1
2

e) − ln 3
√
h) 1 − 2

c)

1
4

f)

1
2

sin 1

i) 1

Zadanie 2.1.3
a) spełnia
d) spełnia
g) spełnia

b) spełnia
e) spełnia
h) nie spełnia

c) spełnia
f ) spełnia
i) spełnia

Zadanie 2.1.5
a) rozbieżny
d) zbieżny
g) rozbieżny
j) zbieżny
m) rozbieżny
p) rozbieżny
s) zbieżny
v) zbieżny

b) zbieżny
e) zbieżny
h) rozbieżny
k) rozbieżny
n) zbieżny
q) zbieżny
t) zbieżny

c) rozbieżny
f ) zbieżny
i) rozbieżny
l) rozbieżny
o) rozbieżny
r) rozbieżny
u) rozbieżny

4

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

5

Zadanie 2.1.6
a) rozbieżny
d) rozbieżny
g) zbieżny
j) zbieżny
m) zbieżny
p) zbieżny

b) zbieżny
e) zbieżny
h) zbieżny
k) zbieżny
n) rozbieżny
q) zbieżny

c) rozbieżny
f ) zbieżny
i) rozbieżny
l) zbieżny
o) rozbieżny
r) zbieżny

b) zbieżny
e) zbieżny
h) rozbieżny
k) rozbieżny
n) rozbieżny
r) zbieżny
u) zbieżny

c) zbieżny
f ) zbieżny
i) zbieżny
l) zbieżny
o) rozbieżny
s) zbieżny
v) zbieżny

Zadanie 2.1.7
a) rozbieżny
d) zbieżny
g) rozbieżny
j) zbieżny
m) zbieżny
p) zbieżny
t) zbieżny

Zadanie 2.1.8
a) zbieżny
d) zbieżny

b) zbieżny
e) zbieżny

c) zbieżny
f ) zbieżny

Zadanie 2.1.9
a) zbieżny bezwzględnie
d) zbieżny bezwzględnie
g) zbieżny bezwzględnie
j) zbieżny warunkowo
m) zbieżny warunkowo
p) zbieżny bezwzględnie
t) zbieżny bezwzględnie

b) zbieżny warunkowo
e) zbieżny warunkowo
h) zbieżny bezwzględnie
k) zbieżny bezwzględnie
n) rozbieżny
r) zbieżny bezwzględnie
u) rozbieżny

c) zbieżny warunkowo
f ) zbieżny warunkowo
i) zbieżny bezwzględnie
l) rozbieżny
o) zbieżny bezwzględnie
s) zbieżny warunkowo
v) zbieżny bezwzględnie

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

6

Zadanie 2.2.1
√
√
b) (−2, − 2) ∪ ( 2, 2)

a) (0, +∞)



e) <

d)

c) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
f)

9 11
,
2 2



Zadanie 2.2.2
a) <

b) <

c) <

d) <

e) <

f) <

Zadanie 2.2.3
√
3
2
e
b)
a)
5
3
1
d) + ∞
e)
e
1
g) 1
h)
4

c) 0
f) 0
i) 2

Zadanie 2.2.4
a) R = 2,

x ∈ (−2, 2)

c) R = 5,

x ∈ h−5, 5)

1
b) R = ,
2
d) R = 3,

1 1
x∈ − ,
2 2
x ∈ (2, 8i

1
f) R = ,
5

1 1
x∈ − ,
5 5









e) R = 3, x ∈ (−3, 3i
√
* √ √ +
3
3 3
g) R =
, x∈ −
,
2
2 2

√
√ √ 
i) R = 3, x ∈ − 3, 3

h) + ∞
j) R = 1,

x ∈ h−1 − e, 1 − e)

k) R = 0

l) R = 1,

x ∈ h4, 6)

ł) R = 2,

x ∈ (−1, 3)

m) R = 3,

n) R = 3,

x ∈ (−3, 3i

o) R =

p) R = 2,

x ∈ (−4, 0)

s) R = 1,

x ∈ h−3, −1i

r) R = +∞
 √

√
√
t) R = 5, x ∈ − 5 − 1, 5 − 1

2
u) R = ,
3

x∈

w) R = 23 ,

x ∈ h−1, 2i



1 5
,
3 3

1
,
20



x ∈ h−3, 3i
x∈



29 31
,
20 20

v) R = 2,

x ∈ (0, 4i

x) R = 72 ,

x ∈ − 72 , 72





E

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

7

Zadanie 2.4.1
∞
P
(−1)n

f (x) = 2

a)

n=2

f (x) = −1 +

b)
c)

f (x) =

1
2

−

d)

f (x) =

π
2

−

f (x) =

4
π

sin nx

n2 −1



e2π −1
π

1
2

+

∞
P
cos nx
n=1

n2 +1

−

n sin nx
n2 +1



∞
P
cos(2n−1)x

4
π2

(2n−1)2
n=1
∞
4 P cos(2n−1)x
π
(2n−1)2
n=1

e)
f)

f (x) =

g)

f (x) =

h)

f (x) =

i)

f (x) =

j)
k)

f (x) =

l)

f (x) =

m) f (x) =
n)

f (x) =

o)

f (x) =

p)

f (x) =

∞
P
sin(2n−1)x
(2n−1)2

n=1

2
π

−

24
π2

∞
P
cos 2nx

π
4

4n2 −1

n=1

∞ cos (2n−1)πx
P
6
(2n−1)2

n=1
16
π2

∞ (−1)n cos nπx
P
2

1
3

+

2
π

sinh π

n2

n=1



1
2

+

∞
P
(−1)n
n2 +1

(cos nx − n sin nx)

n=1

√ P
∞ 
cos(2n−1)πx
1
3 2
2πnx
1
1
−
cos
+
3
π2
4n2
3
(2n−1)2
3
n=1
∞
n
n
P
π
+
( (−1)
cos nx − 3(−1)
sin nx)
4
πn2
n
n=1

∞ 
(−1)n −1
(−1)n (2π−1)−1
π+1
1 P
+
2
cos
nx
−
sin
nx
2
2
π
n
n
n=1
∞
2 P n(1−(−1)n )
sin nx
π
n2 −1
n=1

∞ 
3 P
4
nπx
1
8
nπx
n
n
−
((−1)
+
1)
cos
+
(
−
(−1)
)
sin
8
(nπ)2
4
nπ
nπ 2
4
n=1

∞ 
1
1 P (−1)n−1
1
+
cos
nx
+
sin
nx
4
π
n
n
n=1

Zadanie 2.4.2
8
π2

a) f (x) =

∞ (−1)n sin π(2n−1)x
P
2
n=1

(2n−1)2

n=1

n=1

d) f (x) =

n

Zadanie 2.4.3
∞
P
sin(2n−1)x
f (x) = π8
,
(2n−1)3

b) f (x) =

∞
P
(−1)n−1
n=1

∞
P
sin 2nx
n=1

∞
P
sin nx

c) f (x) =



(2n−1)3

=

π3
8

2n

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II

8

Zadanie 2.4.4
a) f (x) =

π
2

b) f (x) =

1
2

−

4
π

+

4
π

∞
P
cos(2n−1)x
n=1
∞
P
n=1

n=1
1
2

+

4
π

n2 −1

∞
P
n=1
∞
P
n=1

1
(2n−1)2
(−1)n
2n−1

2n−1

,

Zadanie 3.1.1
a) y = C · x3

i y≡0

y
2
=− +C
2
x
x
c) y 2 =
2 + Cx
1√ 3
√
d)
y=
x +C i y ≡0
3

b) arctg

e) tg y = x ln x − x + C
f)

1
2
− − 3 ln |y| = ln |x| − + C
y
x

Zadanie 3.1.2

e)

3
x3
1
2
ey = e3x +
3
3
1
y=
x+1
ln | sin y| = −x2
√
y = x ln x − x + 1

f)

y = 1 + ex

a) y = −
b)
c)
d)

i y=

π
+ kπ, k ∈ Z
2
i y≡0

= − 3π8

= − π8

sin nx,

∞
P
sin(2n−1)x
n=1

,

sin nx
,
2n−1

∞
P
(−1)n+1 n

c) f (x) = −2
d) f (x) =

(2n−1)2

2

Zbiór zadań - Analiza matematyczna II
Zadanie 3.1.3
a) ln | xy − 1| −
b)

= − ln |x| + C

√
−x
= ln |C x|
y−x

c) sin

 
y
x

= ln | Cx |

d) − 12 ln |1 +

 2

 
y
x

e) arcsin
f)

x
y−x

y
x

| + arctg

 
y
x

= ln |Cx|

= ln |Cx|

y

e− x = − ln |Cx|

Zadanie 3.1.4
a) y 2 = 2x2 ln |xe|
b) y = x ln |ex|
 2

y
y
y
1
arctg
− ln
x
x
2
x
2
y
d) 2 − 2y = 2x − 1
x
x
1
e) √ 2
= x
2
2
x +y
 
y
f) ln
=x
x
 

c)

Zadanie 3.1.5
a) y =

C
x2
q

b) y = C |1 − x2 |
s

c) y =

C 2 (1 − cos x)
1 + cos x
1 2

d) y = Ce− 2 x
e) y = Cx
f)

y=C

x−1
x−2

+ 1 = ln |x|

9