alg2010 (PDF)

Nazwisko:XXXXXXXXXXXXXX Indeks:XXXXX

Nr testu: 37-000
Kod testu

Kurs: Algebra Liniowa
Test: egzamin ko«cowy
Termin: 2011.02.04

x, y ∈ Q.
√
√
3
3
E) zbiór liczb rzeczywistych postaci x + y 2 + z 4,
gdzie x, y, z ∈ Q

7. Dla pierwiastka c ∈ C wielomianu w(z) ∈ C[z]
zachodzi:
Seria: 115:2010.02.05:309
A) w(c) = 0.
***** Nim rozpoczniesz, przepisz numer testu B) w(c) = 0.
***** i kod testu na formularz odpowiedzi
C) wielomian z − c dzieli w(z).
***
D) wielomian z − c dzieli w(z).
E)
wielomian (z − c)(z − c) dzieli w(z).
1. Znak P
permutacji σ ∈ Sn wynosi:
m
A) (−1) k=1 (lk −1) , gdzie l1 , . . . , lm to dªugo±ci cykli,
8. Dla a, b ∈ Rn zachodzi:
na które P
rozkªada si¦ σ .
A) k a + b k 6 k a k + k b k.
m
B) (−1) k=1 lk , gdzie l1 , . . . , lm to dªugo±ci cykli, na B) k a + b k = k a k + k b k.
które rozkªada si¦ σ .
C) |ha, bi| 6 k a k · k b k.
C) (−1)m , gdzie m to liczba cykli, na które rozkªada
D) |ha, bi| = k a k · k b k.
si¦ σ .
Q
E)
|ha, bi| = k a k · k b k, je±li istnieje λ ∈ R taka »e
σ(j)−σ(i)
D) 1≤i<j≤n j−i .
a
=
λ · b.
Q
σ(j)−σ(i)
.
E) 1≤i,j≤n,i6=j
j−i
9. Dla macierzy A ∈ Rn×n o wszystkich wspóªczynnikach równych co najmniej 2 zachodzi:
2. Dla grup cyklicznych G, H rz¦du odpowiednio m i A) det A 6 per A.
n grupa G × H
B) per A 6 det A.
A) jest cykliczna wtw N W D(m, n) = 1.
C) Tr A 6 det A.
B) jest zawsze cykliczna rz¦du mn.
D) Tr A 6 per A.
C) jest zawsze cykliczna rz¦du N W W (m, n).
E) per A 6 Tr A.
D) jest zawsze cykliczna rz¦du N W D(m, n).
E) ma zbiór generatorów co najwy»ej dwuelemen- 10. Macierz P (σ) ∈ Rn×n permutacji σ ∈ S zadana
n
towy.
przez:
n
je±li j = σ(i),
3. Grupa wszystkich symetrii trójk¡ta równoboczP (σ)ij = 1,
0, w przeciwnym wypadku.
nego
A) ma 6 elementów.
speªnia:
B) ma 3 elementy.
A) det P (σ) = sgn (σ).
C) jest cykliczna.
B) det P (σ) = 1.
D) jest izomorczna z grup¡ permutacji trzech ele- C) per P (σ) = 1.
mentów.
D) | det P (σ)| = |per P (σ)|.
E) ma wyª¡cznie elementy rz¦du 2.
E) Tr P (σ) = n.
4. Je±li Zn z dodawaniem i mno»eniem modulo n jest
11. Obj¦to±¢ bryªy rozpi¦tej na punktach (0, 0, 0),
ciaªem, to:
(0,
0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1),
A) n musi by¢ liczb¡ pierwsz¡.
(1, 2, 2) ∈ R3 to:
B) n musi by¢ pot¦g¡ liczby pierwszej.
A) 1.
C) n mo»e by¢ dowoln¡ pot¦g¡ liczby pierwszej.
B) 2.
D) n mo»e by¢ dowoln¡ liczb¡ naturaln¡.
E) n mo»e by¢ iloczynem dwu ró»nych liczb pierw- C) 3.
D) 6.
szych.
E) 12 .
5. Ciaªami s¡:
A) (N, +, ·)  zbiór liczb naturalnych
12. Podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni RR
B) (Z, +, ·)  zbiór liczb caªkowitych
nad R s¡:
C) (Q, +, ·)  zbiór liczb wymiernych
A) {f ∈ RR : f (0) = 0}.
D) (R, +, ·)  zbiór liczb rzeczywistych
B) {f ∈ RR : f (0) = 1}.
E) (C, +, ·)  zbiór liczb zespolonych
C) {f ∈ RR : f (0) 6 1}.
D) {f ∈ RR : |f −1 (R − {0})| < ℵ0 }.
6. Ciaªa tworz¡ nast¦puj¡ce podzbiory ciaªa
R
:
√
E) zbiór funkcji ci¡gªych.
A) zbiór liczb rzeczywistych postaci x + y 2, gdzie
x, y ∈ Q.
13. Dla X, Y ⊆ V zachodzi:
√
B) zbiór liczb rzeczywistych postaci x + y 4, gdzie A) je±li X ⊆ Y , to Lin(X) 6 Lin(Y ).
x, y ∈ Q.
B) Lin(X ∩ Y ) = Lin(X) ∩ Lin(Y ).
√
3
C) zbiór liczb rzeczywistych postaci x + y 2, gdzie C) Lin(X ∪ Y ) = Lin(X) + Lin(Y ).
x, y ∈ Q.
D) Lin(X ∪ Y ) 6 Lin(X) + Lin(Y ).
√
3
D) zbiór liczb rzeczywistych postaci x + y 4, gdzie E) Lin(X ∪ Y ) = Lin(X) ⊕ Lin(Y ).
Sala: 1094

1

14. Wymiar przestrzeni wektorowej (Km×n : +, ·) nad D) wymiar j¡dra odwzorowania Kn → Kn wyznaczo-

K to:
A) mn.
B) m2 + n2 .
C) (m + n)2 .
D) m + n.
E) |m − n|.

15. Zaznacz przeksztaªcenia liniowe.
A) f : Rn → Rm takie, »e f (x) = Ax, gdzie A ∈

nego przez A wynosi k .
E) wymiar j¡dra odwzorowania Kn → Kn wyznaczonego przez A wynosi n − k .

22. Przy α ∈ R warto±ci wªasne macierzy A ∈ Cn×n

zadanej wzorem

A=

h

cos α sin α
− sin α cos α

i

,

A) 1, dla dowolnego α ∈ R.
Rm×n .
n
m
B) f : R → R takie, »e f (x) = Ax + b, gdzie B) 1, dla α = 2π .
C) −1, dla α = π .
A ∈ Rm×n oraz b ∈ Rm .
D) cos α − i sin α, dla dowolnego α ∈ R.
C) f : RR → R takie, »e f (α) = α(0).
R
E) cos α + i sin α, dla dowolnego α ∈ R.
D) f : R → R takie, »e f (α) = α(1).
R
E) f : R → R takie, »e f (α) = α(0) + α(1).
23. Liczba liniowo niezale»nych wektorów wªasnych
macierzy
A ∈ Cn×n jest równa
16. Dla przeksztaªcenia liniowego f : V → W zachoA) liczbie klatek Jordana w macierzy Jordana J =
dzi:
U −1 AU macierzy A.
A) im f 6 W.
B) liczbie ró»nych warto±ci wªasnych macierzy A.
B) ker f 6 V.
C) n2 .
C) ker f 6 im f .
D) n.
D) dim ker f + dim im f = dim V.
E) rz¦dowi macierzy A.
E) dim ker f + dim im f = dim W.
2
2
17. Dla rodziny {Vt }t∈T przestrzeni wektorowych za- 24. Gdy f : R −→ R jest izometri¡ liniow¡, to f

chodzi:
L
Q
A) L t∈T Vt 6 Q t∈T Vt .
B) Lt∈T Vt ' Qt∈T Vt , o ile T jest sko«czony.
C) Lt∈T Vt ' S t∈T Vt .
D) L t∈T Vt ' S t∈T Vt .
E)
t∈T Vt 6
t∈T Vt .
18. Dla V 6 W zachodzi:
A) dim W + dim V/W = dim V.
B) dim V + dim V/W = dim W.
C) dim V 6 dim W.
D) dim V = dim W.
E) dim V + dim V/W = dim W.

ma hmacierz postaci
i
h (w pewnej baziei ortonormalnej):
1
0
cos γ sin γ
A) 0 −1 lub − sin γ cos γ .
h
i
h
i
0 1
cos γ sin γ
B) 1 0 lub − sin γ cos γ .
h
i
h
i
h
i
1 0
1
0
cos γ sin γ
C) 0 1 lub 0 −1 lub − sin γ cos γ .
h
i
h
i
1
0
0 1
D) 0 −1 lub 1 0 .
h
i
h
i
1 0
1
0
E) 0 1 lub 0 −1 .

25. Je±li A ∈ Rn×n jest macierz¡ ortogonaln¡, to:
A) AT = A−1 .
B) AT = A.
19. W przestrzeni wielomianów Rn [x] stopnia co naj- C) | det A| = 1.
wy»ej n, wielomian xn w bazie (1, 1+x, 1+x+x2 , . . . , 1+ D) det A = 1.
E) A jest macierz¡ pewnej izometrii liniowej.
. . . + xn ) ma posta¢:

A) [0, 0, . . . , 0, 0, −1, 1].
B) [1, 1, . . . , 1, 1].
C) [1, 0, 0, . . . , 0, 0].
D) [1, 1, 0, 0, . . . , 0, 0].
E) [−1, 1, 0, 0, . . . , 0, 0].

20. Dla przestrzeni wektorowej V zachodzi:
A) V ' V∗ je±li dim V < ∞.
B) V ' V∗∗ je±li dim V < ∞.
C) V ' V∗ .
D) V ' V∗∗ .
E) V jest izomorczna z podprzestrzeni¡ przestrzeni

V∗ .

21. Macierz A ∈ Kn×n ma rz¡d k wtedy i tylko wtedy

gdy:
A) A ma dokªadnie k liniowo niezale»nych kolumn.
B) A ma dokªadnie k liniowo niezale»nych wierszy.
C) wymiar obrazu odwzorowania Kn → Kn wyznaczonego przez A wynosi k .