WEL Analiza Matematyczna II .pdf

File information


Original filename: WEL Analiza Matematyczna II.pdf
Author: Jerzy

This PDF 1.6 document has been generated by Microsoft® Word 2013, and has been sent on pdf-archive.com on 22/03/2015 at 10:03, from IP address 148.81.x.x. The current document download page has been viewed 556 times.
File size: 574 KB (8 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


WEL Analiza Matematyczna II.pdf (PDF, 574 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


ANALIZA MATEMATYCZNA II (Analiza wektorowa)

A. Całka krzywoliniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego  , po łuku gładkim L o opisie
parametrycznym r  r (t ) dla t  [ ,  ] całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem


  (r )dl    (r (t ))  r (t ) dt

gdzie: r (t ) wektor styczny do łuku w punkcie r (t )  L .

L

Gdy łuk przestrzenny L  R 3 jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t ), z(t )) dla t  [ ,  ] to
wektor styczny do łuku punkcie ( x(t ), y(t ), z(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y(t ), z (t )] i całka


krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem

  ( x, y, z)dl   ( x(t ), y(t ), z(t ))

x 2 (t )  y  2 (t )  z  2 (t )dt

L

Gdy łuk płaski L  R jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t )) dla t  [ ,  ] to wektor styczny
do łuku punkcie ( x(t ), y(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y (t )] i całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża
2



się wzorem:

  ( x, y, z)dl   ( x(t ), y(t ))

x  2 (t )  y  2 (t )dt

L

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji ) y  y(x) dla x  [a, b] to wektor styczny
do łuku w punkcie ( x, y( x))  L ma postać r ( x)  [1, y( x)] i całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża się
b

wzorem:   ( x, y )dl    ( x, y( x)) 1  [ y ( x)]2 dx .
L

a

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej ( wykresu funkcji) x  x( y) dla x [c, d ] to wektor styczny
do łuku w punkcie r ( y)  ( x( y), y)  L ma postać r ( y)  [ x( y),1] i całka krzywoliniowa po tym łuku
d

wyraża się wzorem:   ( x, y)dl    ( x( y), y) [ x( y)]2  1  dy .
L

c

Długość łuku gładkiego L wyraża się wzorem L   dl
L

Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe  ( x, y) na łuku gładkim L  R 2 określa gęstość masy na jednostkę
długości tego łuku. Wtedy: a) Masa łuku L wyraża się wzorem M    ( x, y )dl
L

b)Momenty statyczne łuku względem osi wyrażają się wzorami: S y    ( x, y) xdl S x    ( x, y ) ydl .
L

L

Sy

Sx
.
M
M
Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe  ( x, y, z ) na łuku gładkim L  R 3 określa gęstość masy na

c) Współrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x s 

; ys 

jednostkę długości tego łuku. Wtedy: a) Masa łuku L wyraża się wzorem M    ( x, y, z )dl
L

b)Momenty statyczne łuku względem płaszczyzn układu współrzędnych wyrażają się wzorami: .
S yz    ( x, y, z ) xdl ; S xz    ( x, y, z ) ydl ; S xy    ( x, y, z ) zdl .
L

L

L

c)Współrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x s 

S yz

; ys 

S xy
S xz
; zs 
.
M
M

M
1.Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną po wskazanym łuku:
a)  ( x  y )dl
gdzie L : brzegiem trójkąta o wierzchołkach A  (1,0) , B  (0,1) , C  (0,0) .
L

b)


L

x 2  y 2 dl gdzie L : okrąg o równaniu x 2  y 2  2 x .

c)


L

d)

xy
dl
z



gdzie L odcinek łączący punkty A  (1,1,1) i B  (2,3,2) .

x 2  y 2  z 2 dl gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia walca x 2  y 2  4 i płaszczyzny z  2 .

L

e)  xydl

gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach:. A  (0,2) ; B  (4,2) ; C  (4,0) .

L

f)



gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia walca x 2  y 2  1 i płaszczyzny z  1  y .

1  x 2 dl

L

g*)



2  z 2 dl

gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia stożka z  x 2  y 2 i walca x 2  y 2  y .

L

a) Odp: 1 2 ; b) Odp: 8 ; c) Odp:2; d) Odp: 8 2 ; e) Odp:

3
8 5
; f)Odp: 3 ; g) Odp: 
2
3

2. Obliczyć długość łuku L o opisie parametrycznym:
a) r (t )  (a(t  sin t ), a(1  cos t )) dla t  [0,2 ] i a  0 (wycinek cykloidy) Odp: 8a
b) r (t )  (a cos t , a sin t , at ) dla t  [0,2 ] i
t

t

a  0 (wycinek linii śrubowej) Odp: 2 2a

t

c) r (t )  (e cos t , e sin t , e ) dla t  [0, ) i (wycinek spirali)
Odp: 3
3. Obliczyć masę łuku z zadania 1a),b),c),d),e) o gęstościach liniowych :
xy
a)  ( x, y)  x  y b)  ( x, y)  x 2  y 2 c)  ( x, y ) 
d)  ( x, y)  x 2  y 2  z 2 e)  ( x, y)  xy
z
8 5
a) Odp: 1 2 ; b) Odp: 8 ; c) Odp:2; d) Odp: 8 2 ; e) Odp:
3
4. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego  ( x, y, z )  1 łuku:
a) wycinka linii śrubowej r (t )  (a cos t , a sin t , bt ) dla t  [0,2 ]
Odp: xs  y s  0; z s  b.
b)wycinka linii łańcuchowej y ( x) 

1 x
(e  e  x ) dla x  [1,1]
2

e 4  4e 2  1
.
4e(e 2  1)
2
Odp: x s  y s  z s 
.
3
ciągłego po łuku L gładkim
zgodnym z orientacją łuku L

Odp: x s  0; y s 

c) brzegu trójkąta sferycznego x 2  y 2  z 2  1 dla x, y, z  0 .

B. Całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W
zorientowanym o opisie parametrycznym r  r (t ) dla t  [ ,  ]
  

wyraża się wzorem  W (r )  dl   W (r (t ))  r (t )dt gdzie: r (t ) wektor styczny do łuku w punkcie r (t )  L .
L



Gdy łuk przestrzenny L  R jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t ), z(t )) dla t  [ ,  ] to
wektor styczny do łuku punkcie r (t )  ( x(t ), y(t ), z(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y(t ), z (t )] i całka
krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W  [ P, Q, R] po tym łuku wyraża się wzorem
3



 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz   [P( x(t ), y(t ), z(t )) x(t )  Q( x(t ), y(t ), z(t )) y (t )  R(x(t ), y(t ), z(t )) z (t )]dt

L

Gdy łuk płaski L  R 2 jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t )) dla t  [ ,  ] to wektor styczny
do łuku punkcie r (t )  ( x(t ), y(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y (t )] i całka krzywoliniowa zorientowana z
pola wektorowego W  [ P, Q] po tym łuku wyraża się wzorem


.

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x(t ), y(t )) x (t )  Q( x(t ), y(t )) y (t )]dt

L

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y  y(x) dla x  [a, b] to wektor styczny do
łuku w punkcie r ( x)  ( x, y( x))  L ma postać r ( x)  [1, y( x)] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola
wektorowego W  [ P, Q] po tym łuku wyraża się wzorem

b

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x, y( x))  Q( x, y( x)) y( x)]dx

.

L

a

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) x  x( y) dla y  [c, d ] to wektor styczny do
łuku w punkcie r ( y)  ( x( y), y)  L ma postać r ( y)  [ x( y),1] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola
wektorowego W  [ P, Q] po tym łuku wyraża się wzorem
d

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x( y), y) x( y)  Q( x( y), y)]dy

.

L

c




Praca w polu wektorowym W wykonana wzdłuż łuku zorientowanego L wyraża się wzorem T   W (r )  dl


L



Cyrkulacja pola wektorowego W po łuku zorientowanego zamkniętym L wyraża się wzorem C   W (r )  dl
L


Df. Pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze G  gdy istnieje pole skalarne  klasy C 1 na obszarze


G takie, że grad (r )  W (r ) dla r  G . Wtedy pole skalarne  nazywamy potencjałem pola wektorowego W .



Pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze wypukłym G  gdy rotW (r )  0 dla r  G .

Gdy pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze G , to całka krzywoliniowa zorientowana z tego pola


nie zależy od drogi całkowania i wyraża się wzorem  W (r )  dl   ( B)   ( A) dla łuku L AB  G
LAB

Tw. Greena. Jeśli pole wektorowe W  [ P, Q] jest klasy C 1 w obszarze D  R 2 , którego brzegiem jest łuk
gładki (kawałkami) zamknięty D zorientowany dodatnio względem wnętrza tego obszaru, to wtedy
zachodzi wzór Greena  P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [Q x ( x, y)  Py ( x, y)]dD
D 

D

1.Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach o orientacji zgodnej z parametryzacją

lub zadaną.
a)  xydx  ydy  x 2 dz po łuku zorientowanym L AB powstałym z przecięcia walca parabolicznego y  x 2 i
L AB

1
4
b)  ydx  xdy  dz gdzie L zwój linii śrubowej r (t )  (a cos t , a sin t , at ) dla t  [0,2 ]

płaszczyzny z  y  1 o początku A  (1,1,0) i końcu B  (0,0,1) . Odp: 

Odp: 2a

L

 xydx  zdy  y dz
3

c)

gdzie L AB jest łukiem powstałym z przecięcia walca parabolicznego x  y 2 i

L AB 

płaszczyzny x  z  1

yz
xy
xz
dx  dy  dz
x
y
z
L

d) 
e)

 ydx  zdy  xdz

o początku w punkcie A  (1,1,0) i końcu B  (1,1,0) . Odp:
gdzie L jest łukiem r (t )  (t , t 2 , t 3 ) dla t  [0,1] Odp:

4
3

17
10

gdzie L AB : odcinek o początku A  (1,1,2) i końcu B  (0,2,3) Odp:

L AB

15
2

f)  ( x  z )dx  ( y  x)dy  ( z  y)dz gdzie L jest krzywą powstałą z przecięcia walca x 2  y 2  1 i płaszczyzny
L

z  x  1 zorientowaną zgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z góry Odp: 2 .

g)  (2 x  y)dx  ( x 2  y)dy gdzie L : y( x)  x 2 dla x  [0,1] (wycinek paraboli) Odp:
L

4
3


h)  ( x  y)dx  ( x  y)dy gdzie L : r (t )  (2 cos t ,4 sin t ) dla t  [0, ] (wycinek elipsy) Odp:  1
4
L

 xydx  x

i)

2

dy gdzie L : jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A  (0,0) , B  (1,2) , C  (1,4)

L

zorientowanym dodatnio względem wnętrza. Odp: 0 .
j)  x 2 ydx  xy ( y  1)dy gdzie L jest okręgiem x 2  y 2  2 y zorientowanym dodatnio względem wnętrza.
L

Odp: 0
k)  (3x  5z )dx  ( x  4 y)dy  (6 x  z )dz gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A  (2,0,0) , B  (0,2,0) ,
L

C  (0,0,2) zorientowanym ABCA Odp: 0
2.Obliczyć pracę w podanym polu sił po wskazanym łuku zorientowanym:
a) W ( x, y, z)  [2 xy, x 2 ] gdzie L AB jest odcinkiem o początku A  (1,0) i końcu B  (0,3) . Odp: 0
b) W ( x, y, z)  [ xy, y  z, z] gdzie L AB jest łukiem r (t )  (cos t , sin t , t ) o początku A  (1,0,0) i końcu
B  (1,0,  ) . Odp: 0,5 2

1
c) W ( x, y, z)  [ xy 2 , yz 2 , zx 2 ] gdzie L AB odcinek o początku A  (1,0,1) i końcu B  (2,1,0) Odp: 
4

2
d) W ( x, y, z)  [4 xy, y, x ] gdzie L AB jest łukiem powstałym z przecięcia walca parabolicznego y  x 2 i
płaszczyzny z  y  1 o początku A  (1,1,0) i końcu B  (0,0,1) . Odp:  2
3. Wykazać, że całka nie zależy od drogi całkowania w odpowiednio wybranym obszarze wypukłym a
następnie obliczyć tę całkę:
1
x
a)  (4 xy 3  )dx  (6 x 2 y 2  2 )dy dla
A  (0,1) i B  (3,2) .
y
y
L AB

 ye

e)

x

dx  (2 y  e  x )dy

dla

A  (0,0) i B  (1,2)

LAB

 (2 x  yz )dx  (3 y

b)

2

 xz )dy  (4 z 3  xy )dz

dla

A  (0,0,0) i B  (1,1,1) .

LAB

z

c)

2

dx  2 yzdy  (2 xz  y 2 )dz

dla A  (0,0,0) i B  (1,1,1) . Odp:  ( x, y, z )  xz 2  y 2 z i 2.

LAB

1

f)

y

x

x

 (1  y  z )dx  ( z  y

LAB

2

)dy 

xy
dz
z2

A  (1,1,1) i B  (0,2,3) .

4. Obliczyć całkę krzywoliniową po brzegu D dodatnio zorientowanym względem wnętrza obszaru D ,
ze wzoru Greena i bezpośrednio, gdy:
a)

 (e

x

 y 2 )dx  (e y  x 2 )dy gdzie D brzeg obszaru D ograniczonego krzywymi y  x 2 i y  x .Odp:

D 

b)

 ydx  ( y  x

2

1
30

)dy gdzie D brzeg obszaru D  {( x, y)  R 2 : 0  y  2 x  x 2 } Odp: 4

D 

c)

x

D 

2

1
ydx  xy 2 dy gdzie D brzeg obszaru D  {( x, y)  R 2 : y  0  x 2  y 2  1} Odp:  
4

d)  ( x 2  y)dx  ( x  y 2 )dy gdzie D brzeg trójkąta D o wierzchołkach A  (1,1) , B  (3,2) , C  (2,5) Odp: 0
D 

e)

 xydx  y dy gdzie D brzeg trójkąta D o wierzchołkach A  (0,0) , B  (1,0) , C  (1,1) .
2

D 

C. Całka powierzchniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego  , po płacie regularnym S o opisie
parametrycznym r  r (u, v) dla (u, v)    R 2 wyraża się wzorem:


N
(u, v)  ru (u, v)  rv (u, v) wektor normalny do płata w punkcie r (u, v)  S
gdzie:

(
r
)
ds


(
r
(
u
,
v
))
N
(
u
,
v
)
d



S



Gdy płat S  R 3 jest dany w postaci parametrycznej r (u, v)  ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dla (u, v)   to


wektor normalny do płata w punkcie ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))  P ma postać N (u, v)  ru (u, v)  rv (u, v)
i całka powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))

N x2 (u, v)  N y2 (u, v)  N z2 (u, v)d



S

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) z  z( x, y) dla ( x, y)  D  R 2 to wektor
normalny do płata w punkcie ( x, y, z( x, y))  S ma postać N ( x, y)  [ z x ( x, y), z y ( x, y),1] i całka
3

powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x, y, z( x, y))
S

z x2 ( x, y)  z y2 ( x, y)  1  dD

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y  y( x, z ) dla ( x, z )  D  R 2 to wektor
normalny do płata w punkcie ( x, y( x, z), z)  S ma postać N ( x, z )  [ y x ( x, y),1, y z ( x, z )] i całka
3

powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x, y( x, z), z)
S

y x2 ( x, y)  1  y z2 ( x, z )  dD

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) x  x( y, z ) dla ( y, z )  D  R 2 to wektor
normalny do płata w punkcie ( x( y, z), y, z)  S ma postać N ( y, z )  [1, x y ( y, z ), x z ( y, z )] i całka
3

powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x( y, z), y, z)
S

1  x y2 ( y, z )  x z2 ( y, z )  dD

D

Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe  ( x, y, z ) na płacie gładkim S  R 3 określa gęstość masy na
jednostkę powierzchni tego płata. Wtedy: a) Masa płata S wyraża się wzorem M    ( x, y, z )ds
S

b)Momenty statyczne płata względem płaszczyzn układu współrzędnych wyrażają się wzorami: .
S yz    ( x, y, z ) xds ; S xz    ( x, y, z ) yds ; S xy    ( x, y, z ) zds .
S

S

S

c)Współrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x s 

S yz

; ys 

M
1.Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną po wskazanym płatacie:

a)

 zds

S xy
S xz
; zs 
.
M
M

gdzie S część stożka z  x 2  y 2 wyciętego walcem x 2  y 2  2ax ; a  0 Odp:

S

b)

 z

2

gdzie S część stożka z  x 2  y 2 odciętego płaszczyznami z  1 i z  2 Odp:

ds

S

c)

 (2 x  1)ds

32 2 3
a ;
9
15 2
;
2

gdzie S część walca x  a 2  y 2 odciętego płaszczyznami z  0 i z  h Odp: 4a 2 h  ah ;

S

3
;
120
S
5
e)  ( x  3z )ds gdzie S jest trójkątem o wierzchołkach A  (1,0,0) , B  (0,1,1), C  (0,0,1). Odp: 
2 ;
6
S

d)

 xyzds

f)

 ( x

2

gdzie S część płaszczyzny x  y  z  1 zawartej w pierwszym oktancie.

Odp:

 z 2 )ds gdzie S część sfery x 2  y 2  z 2  4 odciętej płaszczyznami z  1 i z  2 Odp:

S

g)  z 2 ds gdzie S część walca x 2  z 2  4 odciętego płaszczyznami y  0 i y  1 ( z  0) Odp:
S

26
3


2

h)  1  4 x ds gdzie S część powierzchni x  y 2 odciętej płaszczyznami y  1, y  1 i z  0, z  1 Odp:
S

f)

 yds gdzie S część pow. z 

x 2  y 2 wyciętej walcem parab. x  1  y 2 płaszczyzną i x  0 .

S

2. Obliczyć pole powierzchni podanego płata:

14
3

a) S część płaszczyzny 2 x  3 y  z  6  0 zawartej w walcu x 2  y 2  4
b) S część paraboloidy z  x 2  y 2 odciętej płaszczyzną z  2

Odp: 4 14
13
Odp:

3

c) S część stożka z  x 2  y 2 wyciętego walcem x 2  y 2  2ax ; a  0
Odp: a 2 2
3. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego  ( x, y, z )  1 podanego płata:
a) S część płaszczyzny x  y  z  4 zawartej w walcu x 2  y 2  4 Odp: xs  y s  0; z s  4
a
b) S półsfera o równaniu z  a 2  x 2  y 2
Odp: xs  y s  0; z s 
2
13
c) S część stożka z  2 x 2  y 2 odciętego płaszczyznami z  1 i z  6 . Odp: x s  y s  0; z s  .
3

D. Całka powierzchniowa zorientowana z pola wektorowego ciągłego W  [ P, Q, R] , po płacie regularnym
S zorientowanym o opisie parametrycznym r  r (u, v) dla (u, v)    R 2 zgodnym z orientacją płata S 




wyraża się wzorem
W
(
r
)

d
s

W
(
r
(
u
,
v
))

N
(u, v)d


S




gdzie: N (u, v)  ru (u, v)  rv (u, v) wektor normalny do płata w punkcie r (u, v)  S

Gdy płat S  R 3 jest dany w postaci parametrycznej r (u, v)  ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dla (u, v)   to

wektor normalny do płata w punkcie ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))  S ma postać N (u, v)  ru (u, v)  rv (u, v)
i całka powierzchniowa zorientowana wyraża się wzorem  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dzdx  R( x, y, z )dxdy 
S

=  [ P( x(u, v), y(u, v), z (u, v)) N x (u, v)  Q( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) N y (u, v)  R( x(u, v), y(u, v), z (u, v)) N z (u, v)]d


Gdy płat S  R 3 jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) z  z( x, y) dla ( x, y)  D  R 2 to wektor

normalny do płata w punkcie ( x, y, z( x, y))  S ma postać N ( x, y)  [ z x ( x, y), z y ( x, y),1] i całka
powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [P( x, y, z( x, y)) z x ( x, y)  Q( x, y, z( x, y)) z y ( x, y)  R( x, y, z( x, y))]dD
S

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y  y( x, z ) dla ( x, z )  D  R 2 to wektor

normalny do płata w punkcie ( x, y( x, z), z)  P ma postać N ( x, z )  [ y x ( x, y),1, y z ( x, z )] i całka
powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [P( x, y( x, z), z) y x (u, v)  Q( x, y( x, z), z)  R( x, y( x, z), z) y z ( x, z)]dD
3

S

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) x  x( y, z ) dla ( y, z )  D  R 2 to wektor

normalny do płata w punkcie ( x( y, z), y, z)  S ma postać N ( y, z )  [1, x y ( y, z ), x z ( y, z )] i całka
powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [P( x( y, z), y, z)  Q( x( y, z), y, z) x y ( y, z)  R( x( y, z), y, z) x z ( y, z)]dD
3

S

D




Strumień pola wektorowego W przez płat zorientowany S  wyraża się wzorem    W (r )  ds .
S

Tw. Gaussa. Jeśli pole wektorowe W  [ P, Q, R] jest klasy C na obszarze G , którego brzegiem jest płat
gładki kawałkami zamknięty G zorientowany zewnętrznie, to zachodzi wzór Gaussa



W
(
r
)

d
s

div
W
(r )dG


1

G 

G

 P9 x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [ P ( x, y, z)  Q
x

G 

G

y

( x, y, z )  Rz ( x, y, z )]dG

Tw. Stokesa. Jeśli pole wektorowe W  [ P, Q, R] jest klasy C 1 na płacie gładkim kawałkami S  R 3 ,
którego brzegiem jest łuk gładki kawałkami zamknięty S , to zachodzi wzór Stokesa




W (r )  dl  rotW (r )  ds
S 

S

 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz  

S 

S

dydz
dzdx
dxdy



x
y
z
P ( x , y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x, y , z )

gdzie orientacje łuku S  i płata S  są zgodne z regułą śruby prawoskrętnej (lewoskrętnej) dla układu
współrzędnych prawoskrętnego (lewoskrętnego).
1.Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną po wskazanym płacie :
a)

 xdydz  ydzdx  zdxdy

gdzie S górna część paraboloidy z  1  x 2  y 2 odciętej płaszczyzną z  0 .Odp:

S

b)

 ( x  y)dydz  ( y  z)dzdx  ( z  x)dxdy

3

2

gdzie S dolna część płaszczyzny x  y  z  1 zawarta w pierwszym

S

oktancie. Odp:  1.
c)  xdydz  ydzdx  zdxdy gdzie S zewnętrzna strona części walca x 2  z 2  1 odciętego
S

płaszczyznami y  2 i y  1 . Odp: 0 .
d)

 ydydz  zdzdx  xdxdy

gdzie S górna część paraboloidy x  y 2  z 2 odciętej płaszczyznami x  1

S

2
.
3
e)  z 2 dxdy gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery x 2  y 2  z 2  4 . Odp: 0 .

i z  0 , ( z  0) . Odp:
S

 ydydz  xdzdx  2 xdxdy

f)

gdzie S jest zewnętrzną stroną części powierzchni paraboloidy z  x2  y 2

S

wyciętej walcem x 2  y 2  y i x  0 .
2.Korzystając ze wzoru Gaussa obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną po danym płacie zamkniętym
i zorientowanym zewnętrznie. Sprawdzić otrzymany wynik obliczając całkę bezpośrednio.
a)  xdydz  ( x  y)dzdx  ( x  y  z )dxdy gdzie G jest brzegiem obszaru G ograniczonego sferą
G 

x  y 2  z 2  1 . Odp: 4
2

b)

 ( x

3

 z 3 )dydz  ( y 3  x 3 )dzdx  ( z 3  y 3 )dxdy gdzie G jest brzegiem obszaru G ograniczonego

G 

walcem x 2  y 2  4 oraz płaszczyznami z  0 i z  1 . Odp: 28
c)

 x dydz  y
2

2

dzdx  z 2 dxdy gdzie G jest brzegiem obszaru G ograniczonego stożkiem z  x 2  y 2 i

G 

płaszczyzną z  1 .
d)

Odp:

 xdydz  ydzdx  ( y

G 

4
Odp:  a 3
3

2


2

 x 2 )dxdy gdzie G jest brzegiem półkuli G  {( x, y, z )  R 3 : 0  z  a 2  x 2  y 2 }

3.Obliczyć strumień podanego pola wektorowego przez podany płat:
x
2z
a) W ( x, y, z )  [ , z 2  x 2 , ] gdzie S jest brzegiem obszaru ograniczonego powierzchnią walca
3
3
x 2  y 2  4 oraz płaszczyznami z  0 i z  2 zorientowanym zewnętrzne. Odp: 8 .

b) W ( x, y, z)  [1,2 x, yz ] gdzie S jest zewnętrzną stroną części paraboloidy y  x 2  z 2 odciętą płaszczyzną
y  a (a  0) Odp: a 3 3
c) W ( x, y, z)  [ x  2, x  y,2 z] gdzie S jest górną stroną części płaszczyzny x  y  z  a (a  0) zawartą w
pierwszym oktancie układu współrzędnych ( x  0, y  0, z  0) . Odp: a 2 2 .
4.Korzystając ze wzoru Stokesa obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną po danym łuku zamkniętym i
zorientowanym. Sprawdzić otrzymany wynik obliczając całkę bezpośrednio.
a)

 ydx  xdy  ( x  z)dz gdzie S jest brzegiem części paraboloidy hiperbolicznej S : x  yz zawartej w

S 

pierwszym oktancie i odciętej płaszczyzną y  z  a (a  0) zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek
patrząc z punktu (a,0,0) . Odp: a 3 6
b)

(y

2

 z 2 )dx  ( x 2  z 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz gdzie S jest brzegiem trójkąta S o wierzchołkach A  (0,0,0) ,

S 

B  (1,1,0) , C  (1,1,1) zorientowanym ABCA . Odp: 2 3 .

c)  ( x  y)dx  ( y  z )dy  ( z  x)dz gdzie S jest brzegiem paraboloidy S z  1  x 2  y 2 odciętej
S 

płaszczyzną z  0 zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek patrząc z punktu (0,0,1) . Odp: 
Literatura podstawowa:
M. Gewert, Z. Skoczylas: Elementy analizy wektorowej (teoria, przykłady, zadana) OWGiS..
Literatura uzupełniająca:
R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, 1994
R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, 1994
J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, 2003
R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, 1998
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, 2002
W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, 1992
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, 1995
W. Stankiewicz, J .Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, 1995

Pytania z teorii
1.Omówić niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania i obliczyć całkę z zadania B3.
2.Podać twierdzenie Greena i obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną z zadania B4.
3.Podać twierdzenie Gaussa i obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną z zadania D2.
4. Podać twierdzenie Stokesa i obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną z zadania D4.


Related documents


wel analiza matematyczna ii
wyk rrc3 5 6
matematyka 2009 1 10
cwiczenie 4 zadania
58c1441d67653 z
schemat punktowania 2016

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file WEL Analiza Matematyczna II.pdf