WEL Analiza Matematyczna II .pdf

ANALIZA MATEMATYCZNA II (Analiza wektorowa)

A. Całka krzywoliniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego  , po łuku gładkim L o opisie
parametrycznym r  r (t ) dla t  [ ,  ] całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem


  (r )dl    (r (t ))  r (t ) dt

gdzie: r (t ) wektor styczny do łuku w punkcie r (t )  L .

L

Gdy łuk przestrzenny L  R 3 jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t ), z(t )) dla t  [ ,  ] to
wektor styczny do łuku punkcie ( x(t ), y(t ), z(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y(t ), z (t )] i całka


krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem

  ( x, y, z)dl   ( x(t ), y(t ), z(t ))

x 2 (t )  y  2 (t )  z  2 (t )dt

L

Gdy łuk płaski L  R jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t )) dla t  [ ,  ] to wektor styczny
do łuku punkcie ( x(t ), y(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y (t )] i całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża
2



się wzorem:

  ( x, y, z)dl   ( x(t ), y(t ))

x  2 (t )  y  2 (t )dt

L

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji ) y  y(x) dla x  [a, b] to wektor styczny
do łuku w punkcie ( x, y( x))  L ma postać r ( x)  [1, y( x)] i całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża się
b

wzorem:   ( x, y )dl    ( x, y( x)) 1  [ y ( x)]2 dx .
L

a

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej ( wykresu funkcji) x  x( y) dla x [c, d ] to wektor styczny
do łuku w punkcie r ( y)  ( x( y), y)  L ma postać r ( y)  [ x( y),1] i całka krzywoliniowa po tym łuku
d

wyraża się wzorem:   ( x, y)dl    ( x( y), y) [ x( y)]2  1  dy .
L

c

Długość łuku gładkiego L wyraża się wzorem L   dl
L

Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe  ( x, y) na łuku gładkim L  R 2 określa gęstość masy na jednostkę
długości tego łuku. Wtedy: a) Masa łuku L wyraża się wzorem M    ( x, y )dl
L

b)Momenty statyczne łuku względem osi wyrażają się wzorami: S y    ( x, y) xdl S x    ( x, y ) ydl .
L

L

Sy

Sx
.
M
M
Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe  ( x, y, z ) na łuku gładkim L  R 3 określa gęstość masy na

c) Współrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x s 

; ys 

jednostkę długości tego łuku. Wtedy: a) Masa łuku L wyraża się wzorem M    ( x, y, z )dl
L

b)Momenty statyczne łuku względem płaszczyzn układu współrzędnych wyrażają się wzorami: .
S yz    ( x, y, z ) xdl ; S xz    ( x, y, z ) ydl ; S xy    ( x, y, z ) zdl .
L

L

L

c)Współrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x s 

S yz

; ys 

S xy
S xz
; zs 
.
M
M

M
1.Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną po wskazanym łuku:
a)  ( x  y )dl
gdzie L : brzegiem trójkąta o wierzchołkach A  (1,0) , B  (0,1) , C  (0,0) .
L

b)


L

x 2  y 2 dl gdzie L : okrąg o równaniu x 2  y 2  2 x .

c)


L

d)

xy
dl
z



gdzie L odcinek łączący punkty A  (1,1,1) i B  (2,3,2) .

x 2  y 2  z 2 dl gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia walca x 2  y 2  4 i płaszczyzny z  2 .

L

e)  xydl

gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach:. A  (0,2) ; B  (4,2) ; C  (4,0) .

L

f)



gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia walca x 2  y 2  1 i płaszczyzny z  1  y .

1  x 2 dl

L

g*)



2  z 2 dl

gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia stożka z  x 2  y 2 i walca x 2  y 2  y .

L

a) Odp: 1 2 ; b) Odp: 8 ; c) Odp:2; d) Odp: 8 2 ; e) Odp:

3
8 5
; f)Odp: 3 ; g) Odp: 
2
3

2. Obliczyć długość łuku L o opisie parametrycznym:
a) r (t )  (a(t  sin t ), a(1  cos t )) dla t  [0,2 ] i a  0 (wycinek cykloidy) Odp: 8a
b) r (t )  (a cos t , a sin t , at ) dla t  [0,2 ] i
t

t

a  0 (wycinek linii śrubowej) Odp: 2 2a

t

c) r (t )  (e cos t , e sin t , e ) dla t  [0, ) i (wycinek spirali)
Odp: 3
3. Obliczyć masę łuku z zadania 1a),b),c),d),e) o gęstościach liniowych :
xy
a)  ( x, y)  x  y b)  ( x, y)  x 2  y 2 c)  ( x, y ) 
d)  ( x, y)  x 2  y 2  z 2 e)  ( x, y)  xy
z
8 5
a) Odp: 1 2 ; b) Odp: 8 ; c) Odp:2; d) Odp: 8 2 ; e) Odp:
3
4. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego  ( x, y, z )  1 łuku:
a) wycinka linii śrubowej r (t )  (a cos t , a sin t , bt ) dla t  [0,2 ]
Odp: xs  y s  0; z s  b.
b)wycinka linii łańcuchowej y ( x) 

1 x
(e  e  x ) dla x  [1,1]
2

e 4  4e 2  1
.
4e(e 2  1)
2
Odp: x s  y s  z s 
.
3
ciągłego po łuku L gładkim
zgodnym z orientacją łuku L

Odp: x s  0; y s 

c) brzegu trójkąta sferycznego x 2  y 2  z 2  1 dla x, y, z  0 .

B. Całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W
zorientowanym o opisie parametrycznym r  r (t ) dla t  [ ,  ]
  

wyraża się wzorem  W (r )  dl   W (r (t ))  r (t )dt gdzie: r (t ) wektor styczny do łuku w punkcie r (t )  L .
L



Gdy łuk przestrzenny L  R jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t ), z(t )) dla t  [ ,  ] to
wektor styczny do łuku punkcie r (t )  ( x(t ), y(t ), z(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y(t ), z (t )] i całka
krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W  [ P, Q, R] po tym łuku wyraża się wzorem
3



 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz   [P( x(t ), y(t ), z(t )) x(t )  Q( x(t ), y(t ), z(t )) y (t )  R(x(t ), y(t ), z(t )) z (t )]dt

L

Gdy łuk płaski L  R 2 jest dany w postaci parametrycznej r (t )  ( x(t ), y(t )) dla t  [ ,  ] to wektor styczny
do łuku punkcie r (t )  ( x(t ), y(t ))  L ma postać r (t )  [ x(t ), y (t )] i całka krzywoliniowa zorientowana z
pola wektorowego W  [ P, Q] po tym łuku wyraża się wzorem


.

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x(t ), y(t )) x (t )  Q( x(t ), y(t )) y (t )]dt

L

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y  y(x) dla x  [a, b] to wektor styczny do
łuku w punkcie r ( x)  ( x, y( x))  L ma postać r ( x)  [1, y( x)] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola
wektorowego W  [ P, Q] po tym łuku wyraża się wzorem

b

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x, y( x))  Q( x, y( x)) y( x)]dx

.

L

a

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) x  x( y) dla y  [c, d ] to wektor styczny do
łuku w punkcie r ( y)  ( x( y), y)  L ma postać r ( y)  [ x( y),1] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola
wektorowego W  [ P, Q] po tym łuku wyraża się wzorem
d

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [ P( x( y), y) x( y)  Q( x( y), y)]dy

.

L

c




Praca w polu wektorowym W wykonana wzdłuż łuku zorientowanego L wyraża się wzorem T   W (r )  dl


L



Cyrkulacja pola wektorowego W po łuku zorientowanego zamkniętym L wyraża się wzorem C   W (r )  dl
L


Df. Pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze G  gdy istnieje pole skalarne  klasy C 1 na obszarze


G takie, że grad (r )  W (r ) dla r  G . Wtedy pole skalarne  nazywamy potencjałem pola wektorowego W .



Pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze wypukłym G  gdy rotW (r )  0 dla r  G .

Gdy pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze G , to całka krzywoliniowa zorientowana z tego pola


nie zależy od drogi całkowania i wyraża się wzorem  W (r )  dl   ( B)   ( A) dla łuku L AB  G
LAB

Tw. Greena. Jeśli pole wektorowe W  [ P, Q] jest klasy C 1 w obszarze D  R 2 , którego brzegiem jest łuk
gładki (kawałkami) zamknięty D zorientowany dodatnio względem wnętrza tego obszaru, to wtedy
zachodzi wzór Greena  P( x, y)dx  Q( x, y)dy   [Q x ( x, y)  Py ( x, y)]dD
D 

D

1.Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach o orientacji zgodnej z parametryzacją

lub zadaną.
a)  xydx  ydy  x 2 dz po łuku zorientowanym L AB powstałym z przecięcia walca parabolicznego y  x 2 i
L AB

1
4
b)  ydx  xdy  dz gdzie L zwój linii śrubowej r (t )  (a cos t , a sin t , at ) dla t  [0,2 ]

płaszczyzny z  y  1 o początku A  (1,1,0) i końcu B  (0,0,1) . Odp: 

Odp: 2a

L

 xydx  zdy  y dz
3

c)

gdzie L AB jest łukiem powstałym z przecięcia walca parabolicznego x  y 2 i

L AB 

płaszczyzny x  z  1

yz
xy
xz
dx  dy  dz
x
y
z
L

d) 
e)

 ydx  zdy  xdz

o początku w punkcie A  (1,1,0) i końcu B  (1,1,0) . Odp:
gdzie L jest łukiem r (t )  (t , t 2 , t 3 ) dla t  [0,1] Odp:

4
3

17
10

gdzie L AB : odcinek o początku A  (1,1,2) i końcu B  (0,2,3) Odp:

L AB

15
2

f)  ( x  z )dx  ( y  x)dy  ( z  y)dz gdzie L jest krzywą powstałą z przecięcia walca x 2  y 2  1 i płaszczyzny
L

z  x  1 zorientowaną zgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z góry Odp: 2 .

g)  (2 x  y)dx  ( x 2  y)dy gdzie L : y( x)  x 2 dla x  [0,1] (wycinek paraboli) Odp:
L

4
3


h)  ( x  y)dx  ( x  y)dy gdzie L : r (t )  (2 cos t ,4 sin t ) dla t  [0, ] (wycinek elipsy) Odp:  1
4
L

 xydx  x

i)

2

dy gdzie L : jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A  (0,0) , B  (1,2) , C  (1,4)

L

zorientowanym dodatnio względem wnętrza. Odp: 0 .
j)  x 2 ydx  xy ( y  1)dy gdzie L jest okręgiem x 2  y 2  2 y zorientowanym dodatnio względem wnętrza.
L

Odp: 0
k)  (3x  5z )dx  ( x  4 y)dy  (6 x  z )dz gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A  (2,0,0) , B  (0,2,0) ,
L

C  (0,0,2) zorientowanym ABCA Odp: 0
2.Obliczyć pracę w podanym polu sił po wskazanym łuku zorientowanym:
a) W ( x, y, z)  [2 xy, x 2 ] gdzie L AB jest odcinkiem o początku A  (1,0) i końcu B  (0,3) . Odp: 0
b) W ( x, y, z)  [ xy, y  z, z] gdzie L AB jest łukiem r (t )  (cos t , sin t , t ) o początku A  (1,0,0) i końcu
B  (1,0,  ) . Odp: 0,5 2

1
c) W ( x, y, z)  [ xy 2 , yz 2 , zx 2 ] gdzie L AB odcinek o początku A  (1,0,1) i końcu B  (2,1,0) Odp: 
4

2
d) W ( x, y, z)  [4 xy, y, x ] gdzie L AB jest łukiem powstałym z przecięcia walca parabolicznego y  x 2 i
płaszczyzny z  y  1 o początku A  (1,1,0) i końcu B  (0,0,1) . Odp:  2
3. Wykazać, że całka nie zależy od drogi całkowania w odpowiednio wybranym obszarze wypukłym a
następnie obliczyć tę całkę:
1
x
a)  (4 xy 3  )dx  (6 x 2 y 2  2 )dy dla
A  (0,1) i B  (3,2) .
y
y
L AB

 ye

e)

x

dx  (2 y  e  x )dy

dla

A  (0,0) i B  (1,2)

LAB

 (2 x  yz )dx  (3 y

b)

2

 xz )dy  (4 z 3  xy )dz

dla

A  (0,0,0) i B  (1,1,1) .

LAB

z

c)

2

dx  2 yzdy  (2 xz  y 2 )dz

dla A  (0,0,0) i B  (1,1,1) . Odp:  ( x, y, z )  xz 2  y 2 z i 2.

LAB

1

f)

y

x

x

 (1  y  z )dx  ( z  y

LAB

2

)dy 

xy
dz
z2

A  (1,1,1) i B  (0,2,3) .

4. Obliczyć całkę krzywoliniową po brzegu D dodatnio zorientowanym względem wnętrza obszaru D ,
ze wzoru Greena i bezpośrednio, gdy:
a)

 (e

x

 y 2 )dx  (e y  x 2 )dy gdzie D brzeg obszaru D ograniczonego krzywymi y  x 2 i y  x .Odp:

D 

b)

 ydx  ( y  x

2

1
30

)dy gdzie D brzeg obszaru D  {( x, y)  R 2 : 0  y  2 x  x 2 } Odp: 4

D 

c)

x

D 

2

1
ydx  xy 2 dy gdzie D brzeg obszaru D  {( x, y)  R 2 : y  0  x 2  y 2  1} Odp:  
4

d)  ( x 2  y)dx  ( x  y 2 )dy gdzie D brzeg trójkąta D o wierzchołkach A  (1,1) , B  (3,2) , C  (2,5) Odp: 0
D 

e)

 xydx  y dy gdzie D brzeg trójkąta D o wierzchołkach A  (0,0) , B  (1,0) , C  (1,1) .
2

D 

C. Całka powierzchniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego  , po płacie regularnym S o opisie
parametrycznym r  r (u, v) dla (u, v)    R 2 wyraża się wzorem:


N
(u, v)  ru (u, v)  rv (u, v) wektor normalny do płata w punkcie r (u, v)  S
gdzie:

(
r
)
ds


(
r
(
u
,
v
))
N
(
u
,
v
)
d



S



Gdy płat S  R 3 jest dany w postaci parametrycznej r (u, v)  ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dla (u, v)   to


wektor normalny do płata w punkcie ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))  P ma postać N (u, v)  ru (u, v)  rv (u, v)
i całka powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))

N x2 (u, v)  N y2 (u, v)  N z2 (u, v)d



S

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) z  z( x, y) dla ( x, y)  D  R 2 to wektor
normalny do płata w punkcie ( x, y, z( x, y))  S ma postać N ( x, y)  [ z x ( x, y), z y ( x, y),1] i całka
3

powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x, y, z( x, y))
S

z x2 ( x, y)  z y2 ( x, y)  1  dD

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y  y( x, z ) dla ( x, z )  D  R 2 to wektor
normalny do płata w punkcie ( x, y( x, z), z)  S ma postać N ( x, z )  [ y x ( x, y),1, y z ( x, z )] i całka
3

powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x, y( x, z), z)
S

y x2 ( x, y)  1  y z2 ( x, z )  dD

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) x  x( y, z ) dla ( y, z )  D  R 2 to wektor
normalny do płata w punkcie ( x( y, z), y, z)  S ma postać N ( y, z )  [1, x y ( y, z ), x z ( y, z )] i całka
3

powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem

  ( x, y, z)ds    ( x( y, z), y, z)
S

1  x y2 ( y, z )  x z2 ( y, z )  dD

D

Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe  ( x, y, z ) na płacie gładkim S  R 3 określa gęstość masy na
jednostkę powierzchni tego płata. Wtedy: a) Masa płata S wyraża się wzorem M    ( x, y, z )ds
S

b)Momenty statyczne płata względem płaszczyzn układu współrzędnych wyrażają się wzorami: .
S yz    ( x, y, z ) xds ; S xz    ( x, y, z ) yds ; S xy    ( x, y, z ) zds .
S

S

S

c)Współrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x s 

S yz

; ys 

M
1.Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną po wskazanym płatacie:

a)

 zds

S xy
S xz
; zs 
.
M
M

gdzie S część stożka z  x 2  y 2 wyciętego walcem x 2  y 2  2ax ; a  0 Odp:

S

b)

 z

2

gdzie S część stożka z  x 2  y 2 odciętego płaszczyznami z  1 i z  2 Odp:

ds

S

c)

 (2 x  1)ds

32 2 3
a ;
9
15 2
;
2

gdzie S część walca x  a 2  y 2 odciętego płaszczyznami z  0 i z  h Odp: 4a 2 h  ah ;

S

3
;
120
S
5
e)  ( x  3z )ds gdzie S jest trójkątem o wierzchołkach A  (1,0,0) , B  (0,1,1), C  (0,0,1). Odp: 
2 ;
6
S

d)

 xyzds

f)

 ( x

2

gdzie S część płaszczyzny x  y  z  1 zawartej w pierwszym oktancie.

Odp:

 z 2 )ds gdzie S część sfery x 2  y 2  z 2  4 odciętej płaszczyznami z  1 i z  2 Odp:

S

g)  z 2 ds gdzie S część walca x 2  z 2  4 odciętego płaszczyznami y  0 i y  1 ( z  0) Odp:
S

26
3


2

h)  1  4 x ds gdzie S część powierzchni x  y 2 odciętej płaszczyznami y  1, y  1 i z  0, z  1 Odp:
S

f)

 yds gdzie S część pow. z 

x 2  y 2 wyciętej walcem parab. x  1  y 2 płaszczyzną i x  0 .

S

2. Obliczyć pole powierzchni podanego płata:

14
3

a) S część płaszczyzny 2 x  3 y  z  6  0 zawartej w walcu x 2  y 2  4
b) S część paraboloidy z  x 2  y 2 odciętej płaszczyzną z  2

Odp: 4 14
13
Odp:

3

c) S część stożka z  x 2  y 2 wyciętego walcem x 2  y 2  2ax ; a  0
Odp: a 2 2
3. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego  ( x, y, z )  1 podanego płata:
a) S część płaszczyzny x  y  z  4 zawartej w walcu x 2  y 2  4 Odp: xs  y s  0; z s  4
a
b) S półsfera o równaniu z  a 2  x 2  y 2
Odp: xs  y s  0; z s 
2
13
c) S część stożka z  2 x 2  y 2 odciętego płaszczyznami z  1 i z  6 . Odp: x s  y s  0; z s  .
3

D. Całka powierzchniowa zorientowana z pola wektorowego ciągłego W  [ P, Q, R] , po płacie regularnym
S zorientowanym o opisie parametrycznym r  r (u, v) dla (u, v)    R 2 zgodnym z orientacją płata S 




wyraża się wzorem
W
(
r
)

d
s

W
(
r
(
u
,
v
))

N
(u, v)d


S




gdzie: N (u, v)  ru (u, v)  rv (u, v) wektor normalny do płata w punkcie r (u, v)  S

Gdy płat S  R 3 jest dany w postaci parametrycznej r (u, v)  ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dla (u, v)   to

wektor normalny do płata w punkcie ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))  S ma postać N (u, v)  ru (u, v)  rv (u, v)
i całka powierzchniowa zorientowana wyraża się wzorem  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dzdx  R( x, y, z )dxdy 
S

=  [ P( x(u, v), y(u, v), z (u, v)) N x (u, v)  Q( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) N y (u, v)  R( x(u, v), y(u, v), z (u, v)) N z (u, v)]d


Gdy płat S  R 3 jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) z  z( x, y) dla ( x, y)  D  R 2 to wektor

normalny do płata w punkcie ( x, y, z( x, y))  S ma postać N ( x, y)  [ z x ( x, y), z y ( x, y),1] i całka
powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [P( x, y, z( x, y)) z x ( x, y)  Q( x, y, z( x, y)) z y ( x, y)  R( x, y, z( x, y))]dD
S

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y  y( x, z ) dla ( x, z )  D  R 2 to wektor

normalny do płata w punkcie ( x, y( x, z), z)  P ma postać N ( x, z )  [ y x ( x, y),1, y z ( x, z )] i całka
powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [P( x, y( x, z), z) y x (u, v)  Q( x, y( x, z), z)  R( x, y( x, z), z) y z ( x, z)]dD
3

S

D

Gdy płat S  R jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) x  x( y, z ) dla ( y, z )  D  R 2 to wektor

normalny do płata w punkcie ( x( y, z), y, z)  S ma postać N ( y, z )  [1, x y ( y, z ), x z ( y, z )] i całka
powierzchniowa po tym płacie wyraża się wzorem
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [P( x( y, z), y, z)  Q( x( y, z), y, z) x y ( y, z)  R( x( y, z), y, z) x z ( y, z)]dD
3

S

D




Strumień pola wektorowego W przez płat zorientowany S  wyraża się wzorem    W (r )  ds .
S

Tw. Gaussa. Jeśli pole wektorowe W  [ P, Q, R] jest klasy C na obszarze G , którego brzegiem jest płat
gładki kawałkami zamknięty G zorientowany zewnętrznie, to zachodzi wzór Gaussa



W
(
r
)

d
s

div
W
(r )dG


1

G 

G

 P9 x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dzdx  R( x, y, z)dxdy   [ P ( x, y, z)  Q
x

G 

G

y

( x, y, z )  Rz ( x, y, z )]dG

Tw. Stokesa. Jeśli pole wektorowe W  [ P, Q, R] jest klasy C 1 na płacie gładkim kawałkami S  R 3 ,
którego brzegiem jest łuk gładki kawałkami zamknięty S , to zachodzi wzór Stokesa




W (r )  dl  rotW (r )  ds
S 

S

 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz  

S 

S

dydz
dzdx
dxdy



x
y
z
P ( x , y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x, y , z )

gdzie orientacje łuku S  i płata S  są zgodne z regułą śruby prawoskrętnej (lewoskrętnej) dla układu
współrzędnych prawoskrętnego (lewoskrętnego).
1.Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną po wskazanym płacie :
a)

 xdydz  ydzdx  zdxdy

gdzie S górna część paraboloidy z  1  x 2  y 2 odciętej płaszczyzną z  0 .Odp:

S

b)

 ( x  y)dydz  ( y  z)dzdx  ( z  x)dxdy

3

2

gdzie S dolna część płaszczyzny x  y  z  1 zawarta w pierwszym

S

oktancie. Odp:  1.
c)  xdydz  ydzdx  zdxdy gdzie S zewnętrzna strona części walca x 2  z 2  1 odciętego
S

płaszczyznami y  2 i y  1 . Odp: 0 .
d)

 ydydz  zdzdx  xdxdy

gdzie S górna część paraboloidy x  y 2  z 2 odciętej płaszczyznami x  1

S

2
.
3
e)  z 2 dxdy gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery x 2  y 2  z 2  4 . Odp: 0 .

i z  0 , ( z  0) . Odp:
S

 ydydz  xdzdx  2 xdxdy

f)

gdzie S jest zewnętrzną stroną części powierzchni paraboloidy z  x2  y 2

S

wyciętej walcem x 2  y 2  y i x  0 .
2.Korzystając ze wzoru Gaussa obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną po danym płacie zamkniętym
i zorientowanym zewnętrznie. Sprawdzić otrzymany wynik obliczając całkę bezpośrednio.
a)  xdydz  ( x  y)dzdx  ( x  y  z )dxdy gdzie G jest brzegiem obszaru G ograniczonego sferą
G 

x  y 2  z 2  1 . Odp: 4
2

b)

 ( x

3

 z 3 )dydz  ( y 3  x 3 )dzdx  ( z 3  y 3 )dxdy gdzie G jest brzegiem obszaru G ograniczonego

G 

walcem x 2  y 2  4 oraz płaszczyznami z  0 i z  1 . Odp: 28
c)

 x dydz  y
2

2

dzdx  z 2 dxdy gdzie G jest brzegiem obszaru G ograniczonego stożkiem z  x 2  y 2 i

G 

płaszczyzną z  1 .
d)

Odp:

 xdydz  ydzdx  ( y

G 

4
Odp:  a 3
3

2


2

 x 2 )dxdy gdzie G jest brzegiem półkuli G  {( x, y, z )  R 3 : 0  z  a 2  x 2  y 2 }

3.Obliczyć strumień podanego pola wektorowego przez podany płat:
x
2z
a) W ( x, y, z )  [ , z 2  x 2 , ] gdzie S jest brzegiem obszaru ograniczonego powierzchnią walca
3
3
x 2  y 2  4 oraz płaszczyznami z  0 i z  2 zorientowanym zewnętrzne. Odp: 8 .

b) W ( x, y, z)  [1,2 x, yz ] gdzie S jest zewnętrzną stroną części paraboloidy y  x 2  z 2 odciętą płaszczyzną
y  a (a  0) Odp: a 3 3
c) W ( x, y, z)  [ x  2, x  y,2 z] gdzie S jest górną stroną części płaszczyzny x  y  z  a (a  0) zawartą w
pierwszym oktancie układu współrzędnych ( x  0, y  0, z  0) . Odp: a 2 2 .
4.Korzystając ze wzoru Stokesa obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną po danym łuku zamkniętym i
zorientowanym. Sprawdzić otrzymany wynik obliczając całkę bezpośrednio.
a)

 ydx  xdy  ( x  z)dz gdzie S jest brzegiem części paraboloidy hiperbolicznej S : x  yz zawartej w

S 

pierwszym oktancie i odciętej płaszczyzną y  z  a (a  0) zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek
patrząc z punktu (a,0,0) . Odp: a 3 6
b)

(y

2

 z 2 )dx  ( x 2  z 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz gdzie S jest brzegiem trójkąta S o wierzchołkach A  (0,0,0) ,

S 

B  (1,1,0) , C  (1,1,1) zorientowanym ABCA . Odp: 2 3 .

c)  ( x  y)dx  ( y  z )dy  ( z  x)dz gdzie S jest brzegiem paraboloidy S z  1  x 2  y 2 odciętej
S 

płaszczyzną z  0 zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek patrząc z punktu (0,0,1) . Odp: 
Literatura podstawowa:
M. Gewert, Z. Skoczylas: Elementy analizy wektorowej (teoria, przykłady, zadana) OWGiS..
Literatura uzupełniająca:
R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, część I i II, 1994
R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej, część III, 1994
J. Gawinecki, Matematyka dla informatyków, część I i II, 2003
R. Leitner, M. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki wyższej, część I i II, 1998
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, 2002
W. Leksiński, J. Nabiałek, W. Żakowski, Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania, 1992
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część I, 1995
W. Stankiewicz, J .Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część II, 1995

Pytania z teorii
1.Omówić niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania i obliczyć całkę z zadania B3.
2.Podać twierdzenie Greena i obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną z zadania B4.
3.Podać twierdzenie Gaussa i obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną z zadania D2.
4. Podać twierdzenie Stokesa i obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną z zadania D4.