Chapitre 1 Equilibre général en économie d'échange [2] .pdf

III _ États réalisables.
→ Agents : h = 1, ... , n .
→ Biens : i = 1, ... , l .
→ Chaque agent : dotation initiale.
→ (e h) = (eh1 , ... , ehi , ehl ) .
→ Allocations des ressources.
(x11 ) (x 1i ) (x 1l )
→ (x h1 ) (x hi ) (x hl )
(xn1 ) (x ni ) (x nl )

(

)

.

n

→ État réalisable de l'économie :

∑

h= 1

n

x hi ≤ ∑ ehi

∀i .

h =1

→ Somme de chaque colonne (quantités consommées) inférieure ou égale au montant total des
ressources existantes.
→ Illustration de cette notion : cas particulier d'une économie élémentaire.
→ Deux biens.
→ Deux agents.
→ Graphique d'Edgerworth.

→ Hypothèses nécessaires : économie avec des préférences non-saturées et monotones.
→ Passage d'un point à un autre : dans le graphique.

→ Placement dans une économie avec des préférences non-saturées et monotones.
→ Nécessairement : passage d'un point du rectangle à un autre point du rectangle.
n

→ Redistribution sans gaspillage et contrainte vérifiée :

∑

h= 1

n

x hi = ∑ e hi ∀ i .
h= 1

→ Passage de {(eh )} à {(x h )} : via un échange.
→ Consommateur 1 : prêt à offrir une partie de sa dotation en bien 1.
→ Pour obtenir : une certaine contre-partie de bien 2.

→ Préférences monotones : échanges impossibles.

→ Problème de l'efficacité des biens entre consommateurs.
→ Oublier momentanément : ressources initiales des consommateurs.
→ Abstractions des droits de propriétés sur les biens.

→ Efficacité dans la répartition des ressources : connaître les préférences des consommateurs.
→ Répartition triviale : état réalisable de l'économie.
l
E
{(x
)}
=
→ Milieu du graphique :
∑ ni .
h
i= 1
→ Choix socialement valable.
→ Condition : consommateurs avec les mêmes préférences.
→ En dehors de cette hypothèse : allocation pas socialement efficace.
→ Malgré que : état réalisable et politiquement acceptable.

IV _ États socialement efficaces : optimales au
sens de Pareto.
h= n

→ Définition : allocation des ressources x = {( xh )}h = 1 socialement efficace (Pareto optimale).
→ Vérifier deux conditions.
n

→ État réalisable :

∑

h= 1

n

x hi ≤ ∑ ehi = Ei ∀ i = 1, ... , l .
h =1

→ Impossible d'améliorer le bien être d'un consommateur sans diminuer celui d'au moins
un consommateur.
'
'
h= n
'
→ no ∃ x = {(xh )}h = 1 réalisable tel que (x h)≥(x h) ∀ h = 1, ... , n avec au
'
moins un h tel que (x h) ≥h (x h) .
→ Socialement efficace : différent d'équitable.
→ Économie centralisée : planificateur.
→ Non-prise en considération : droits de propriété de chaque consommateur.
→ Préférences : monotones et convexes.
→ Allocation des ressources : pas Pareto optimale.
'
→ (x ) ≥h (x) .

→ Allocation des ressources : Pareto optimale.
→ x ∈P .
→ P : ensemble de Pareto.

→ U h (( xh )) : croissante et concave.
→ Préférences : monotones et convexes.
Max U 1 (( x1 ))
→ Problème de maximisation à résoudre : S / C

n

x = {( x1 ) , (x 2)}≤ ∑ e hi ∀ i .
h =1

S/C
a

1−a

Max U 1 = x 11 . x12
a
1−a
→ Application : S / C U2 ≤x 21 . x 22
S / C x 11 + x 21 ≤E1
S / C x 21 + x 22 ≤E2

U 2 ((x 2))≥ Ū2 ∀ Ū2

0<a<1
.

→ L (x 11, x 22, x 21, x 22, λ , γ 1, γ 2) : méthode du Lagrangien.
a
1−a
a
1 −a
→ x 11 . x 12 + λ (x21 . x 22 ) + γ 1 (E1 − x 11 −x 21 ) + γ 2 (E 2 − x12 − x 22 ) .
dL
= a xa12−1 x 112−a − γ 1 = 0 (1)
dx 11
dL
= (1 −a) x a12 x−a
(2)
12 − γ 2 = 0
dx 12
dL
1 1−a
= λ a x a−
x22 − γ1 = 0 (3)
21
dx 21
→ CPO : dL
.
= λ (1−a) xa21 x−a
22 − γ 2 = 0 (4)
dx 22
dL
a
= x a21 . x 1−
22 = 0
λ
dL
γ1 = E1 −x 11 −x 21 = 0
dL
γ2 = E2 −x 12 −x 22 = 0

(1)
→
(2)

→

a x 12
γ
= γ1
2
(1 −a) x 12
:
.
a x 22
γ1
TMS2 =
=
(1 −a) x 21 γ 2
TMS1 =

TMS1 = TMS2 <=>
E1 = x11 + x 21
E2 = x12 + x 22

x 12 x 22
=
x 11 x 21 .

n

→ Bien être social d'une économie : W = ∑ αh U h (x h ) .
h= 1

→ Position contestée.
→ Raison : indices d'utilité ne donnant pas une mesure des préférences.
→ Préférences : ordinales.
n

Max W = ∑ α h U h (x h)

→ Planificateur :

h =1

n

S/C

n

∑ x hi ≤Ei = ∑ ehi

h= 1

.

∀i

h= 1

→ Si : trois conditions.
→ U h concave.
→ Solution intérieure.
→ Consommation strictement positive de chaque bien.
n

→ Alors :

∑ x hi = Ei

.

h= 1
n

l

n

i= 1

h =1

→ L (.) = ∑ α h Uh (x h ) + ∑ λ i (Ei − ∑ xhi ) .
h=1

dL
= αh
dx hi
dL
= αh
dx
hj
→
dL
= αk
dx ki
dL
= αk
dx kj

dUh (x h )
− λi = 0 (1)
dx hi
dUh (x h )
−λ j = 0 (2)
dx hj
.
dUh (x k )
− λi = 0 (3)
dx ki
dUh (x k )
−λ j = 0 (4)
dx kj

→ Pour n'importe quel couple (i , j) de bien et n'importe quel couple (h , k) de consommateurs.
λ
(1)
→
: TMSh / ij = i .
λj
(2)
λ
(3)
→
: TMSk / ij = i .
λj
(4)
→ W : fonction purement instrumentale.
n

→ TMSh / ij = TMSk / ij : sous condition

∑ x hi −Ei = 0

.

h= 1

→ Consommateurs : mêmes préférences.
→ U h ( xh ) = U (x h) ∀ h .
→ Proportion dans laquelle les biens peuvent être consommées : même pour tous les
consommateurs.
x
x
→ 12 = 22 .
x11 x21
→ Ensemble de Pareto : diagonale du rectangle dans ce cas.
→ Consommateurs : préférences différentes.
→ Préférences toujours : convexes et monotones.
→ Ensemble de Pareto : différent de la diagonale.

→ Application : deux consommateurs.
U = x11 + 2x 12
E = 10
→ 1
: avec 1
.
U2 = x21 + x 22
E2 = 10
1
TMS1 =
→
2 .
TMS2 = 1
→ Pour une dotation initiale (5 , 5) :

→ Deux possibilités extrêmes :

→ Solution en coin.

U1 = x11 + 2x 12 = 15
.
U2 = x21 + x 22 = 10

Max U 1
Max U 2
(gauche) ou
(droite).
̄
U2
Ū1

→ Ensemble de Pareto : parfois une surface.
U = Min {x11 , 2x 12 }
E = 10
→ 1
: avec 1
.
U2 = Min {2x 21 , x22 }
E2 = 10

→ Allocation Pareto optimale.

→ Échanges réalisables entre les consommateurs.
→ Ressources disponibles : propriété des consommateurs formant l'économie.
→ Préférences : convexes et monotones.
→ Lorsque : P : TMSh ≠TMSk .
→ Existence : opportunités d'échange mutuellement avantageux.

→ Lorsque : TMS1 = TMS2 .
→ Plus d'opportunités d'échange mutuellement avantageux.

→ Échange entre deux consommateurs : réalisé sur la base du volontariat.