Equilibre Général de Walras (PDF)




File information


This PDF 1.4 document has been generated by Writer / OpenOffice 4.0.1, and has been sent on pdf-archive.com on 30/04/2015 at 14:56, from IP address 2.4.x.x. The current document download page has been viewed 2179 times.
File size: 200.77 KB (15 pages).
Privacy: public file
















File preview


Économie et management.
Licence 2.
Microéconomie 3.

Année
2014 - 2015

Chapitre :
Équilibre général
de Walras

Robert Jordan.

→ Agents de l'économie : aucune influence individuellement.
→ Système de prix : permettant de réaliser des échanges.
→ Conduisant à un état réalisable de l'économie.
→ Augmentation de la taille de l'économie : diminution des contrats.
→ Économie plus concurrentielle.
→ Théorie du noyau : branche de la théorie des jeux (jeux coopératifs).
→ Ré-allocation (x) : remise en cause par aucune alliance de l'économie.
→ Équilibre en concurrence pure et parfaite.
→ Limite de la courbe des contrats lorsque le nombre des agents devient grand.
→ Processus d'échangé réalisé à des prix annoncés et donnés pour tout les consommateurs.
→ Agents : price-takers.
→ Prix donnés par un commissaire-priseur.
→ Équilibre de Walras : allocation des ressources socialement efficace.
→ Équilibre général de Walras : définition.
 h= n
 i =l
→ {(x h )}h = 1 et {(pi )}i = 1 forment un équilibre de Walras : deux conditions.
→ (x h) : état réalisable de l'économie.


n

n

h= 1

h =1

∑ xhi ≤ ∑ ehi

∀ i = 1, ... , l .

→ (x h) : équilibre pour le consommateur h = 1 à n .
→ (x h)≥(x h) ∀ (x h) ∈ Bh (p  , (e h)) .

→ Application : deux consommateurs et deux biens.
→ Préférences convexes et monotones avec


(e 1) = (e 11 , e12)
.
(e 2) = (e 21 , e22)


x  = {(x 11 , x 12) , ( x21
, x 22)}
.



p = (p1 , p2 )

→ Pente de la droite joignant x  à e

:

p1

.
p2
→ Droite représentant une contrainte de budget pour chaque consommateur.
p  x  + p2 x 12 = p1 e11 + p2 e 12
→ 1 11
.



 
 
p1 x 21 + p2 x 22 = p1 e21 + p2 e 22

→ Réalisation de l'échange : deux conditions.
→ Échange d'un état réalisable vers un autre état réalisable.
→ Ré-allocation des ressources réalisable.
→ Vérifiant les contraintes de budget.
→ x

: tous les consommateurs sont au moins aussi bien qu'au point de dotation initiale.

→ Économie décentralisé : raisonnement en terme de niveau d'échange (et non de niveau de
satisfaction).
→ Demande nette de chaque consommateur : zhi .
→ Par définition : zhi = x hi −e hi .
→ Trois possibilités.
→ zhi > 0 : demandeur net de bien sur le marché.
→ zhi > 0 : non-consommation ou dotation initiale convenable.
→ zhi < 0 : offreur net de bien sur le marché.
→ Application précédente.
z <0
z >0
→ 11
et 21
.
z12 > 0
z22 < 0
→ p1 z11 + p2 z12 = 0 .
→ Montant des dépenses effectuées en allant sur le marché du bien 2 .
→ Ne pouvant excéder la recette de la vente sur le marché du bien 1 .
→ z11 et z12 : nécessairement de signe alternés.
l



∑ p i zhi = 0

∀h .

i =1

→ Propriétés : demandes nettes.
→ zhi (p , (e h)) = Χ hi (p , R h )−ehi .

l

→ Or, dans une économie d'échange : R h = ∑ p i e hi .
i =1

l

→ zhi (p , (e h)) = Χ hi (p ,



dzhi
dp j

∑ pi ehi)−e hi

.

i= 1

: redéfinition de la propriété de substituabilité ∀ i ≠ j .

dzhi dx hi
dx hi
=
+
e .

dp j
dpj
dR h hj

→ Propriété : biens i et j substituts bruts.
dzhi
≥0 .
→ Si :
dp j
dzhi
≥0 .
dp j
dx hi
dx hi
>0 ;
> 0 et ehj ≥0 .

dp j
dR h
→ Réciproque fausse.

→ Bien normal :

n

: Zi (p  ) = ∑ zhi = 0 .

→ Demande excédentaire de bien i


n

n

h= 1

h= 1

h= 1

∑ x hi = ∑ e hi

∀ i = 1, ... , l .
n

→ Condition générale d'un état réalisable : Zi (p  )≤0 ∀ i = 1, ... , l <=>

∑ zhi ≤0

.

h= 1

→ Trouver le système de prix menant à l'équilibre de Walras.
→ Vérification des prix : vérifiant Zi (p  )≤0 .
→ Système de tâtonnement.
→ Propriétés fondamentales de Zi (p  ) : deux.
→ Homogène de degré 0 par rapport aux prix : Zi (p) = Zi (λ p) ∀ i ∀ λ > 0 .
l

→ Loi de Walras :

∑ p i Zi (p) = 0

.

i =1

→ Homogène de degré 0 par rapport aux prix : Zi (p) = Zi (λ p) ∀ i ∀ λ > 0 .
n

Zi (p) = ∑ zhi (p)
h= 1

→ Démonstration :

n

Zi (p) = ∑ [Χ h (p , R h)−e hi ]

.

h =1

n

Zi (p) = ∑ [Χ h (p ,
h =1

n

∑ pi e hi)−e hi]

h= 1

→ Zi (p  )≤0 ∀ i = 1, ... , l .
→ Préférences monotones : Zi (p  ) = 0 .
l

→ Système pas totalement déterminé :

∑ p i Zi (p) = 0

.

i =1

→ l −1 équations indépendantes : formant le système d'équation.
→ p1 z1 + p2 z2 + ... + p l zl = 0 .
→ Si ∀ i = 1, ... , l−1 condition vérifiée.
→ Alors : dernière condition forcément vérifiée.
→ Zi (λ p ) = 0 ∀ λ > 0 .
→ Système de prix d'équilibre : à une multiplication λ près.
→ Vrai du fait de l'homogénéité de degré 0 par rapport aux prix.
→ Zi (p1, ... , pi , ... , pl ) = Z i (λ p1, ... , λ pi , ... , λ pl ) .
1
→ λ=
.
pl
p
p
→ Expression en prix relatifs : Zi ( 1 , ... , i , ... , 1) .
pl
pl
→ Résolution du problème de Walras : possible.

→ À l'équilibre : deux possibilités.
→ Si Zi (p  ) = 0 : alors pi > 0 .
→ Bien rare.
→ Si Zi (p  ) < 0 : alors pi = 0 .
→ Bien libre.
→ Démonstration : par la loi de Walras.
l



∑ pi xi = 0
i =1

.

→ Application.
→ Deux consommateurs : mêmes préférences.
→ Deux biens.
a

1− a

→ U h = x h1 . x h2

∀ h = {1 , 2} 0 < a < 1 .

→ Dotations : (e h) = (eh1 , e h2 )

→ Demandes de bien :


xh1
=a

Rh
p1

Rh
x = (1−a)
p2

.


h2



a

1 −a

Max U h = x h1 . x h2
.
S / C p1 x h1 + p 2 x h2 ≤R h
→ Préférences monotones : p1 e h1 + p2 eh2 = R h .

xh1
=a

p1 e h1 + p2 eh2

p1
.
p1 e h1 + p2 eh2

x h2 = (1−a)
p2
p
e
+
p

2 e h2
zh1
= a 1 h1
−e h1
p
1
→ Demandes nettes :
.
p1 e h1 + p2 eh2

zh2 = (1−a)
−eh2
p2
→ Demandes de bien :

Z1 (p1 , p2) = z11 + z21
.
Z2 (p1 , p2) = z12 + z22
p E + p2 E2
Z1 (p1, p2 ) = a 1 1
−E1 ≤0
p1
E = e11 + e21

avec 1
.
p1 E 1 + p2 E2
E2 = e12 + e22
Z2 (p1, p2) = (1−a)
−E 2 ≤0
p2
a p2 E 2 −(1− a) p1 E 1
Z1 (p1, p 2) =
≤0
p1

.
(1 −a) p1 E1 −a p 2 E2
Z2 (p1, p2) =
≤0
p2

→ Demandes excédentaires :

Z1 = 0
.
Z2 = 0
p1 
p1 
a E2
→ Trouver le prix relatif ( ) : ( ) =
.
p2
p2
(1 −a) E1
→ Bien 2 : numéraire.

→ À l'équilibre général de Walras :

→ Z1 et Z2 homogènes de degré 0 par rapport aux prix :

Z1 (

p1

, 1) = 0
p2
.
p1
Z2 ( , 1) = 0
p2

pi
= cst .
pj
→ Zi (α p) = Zi (p) ∀ α > 0 : car homogène de degré 0 par rapport aux prix.
1
→ α= l
.

→ Règle de normalisation :

∑ pi
i=1

→ Zi (p1, p2) = Z i (

p1
p2
,
) .
p1 + p2 p1 + p2
l

→ Condition supplémentaire : Zi (p1, ... , pi , ... , pl ) avec

∑ pi = 1

.

i =1

→ Numéraire : étalon composite comprenant une unité de chaque bien.
Z1 (p1, p2)≤0
Z (p , 1−p 1) = Z1 (p1)
→ Z2 (p1, p2)≤0 : soit 1 1
.
Z2 (1 −p2 , p 2) = Z2 (p2)
p1 + p2 = 1
→ Demandes excédentaires : fonctions continues.

→ Rapport des prix : dépendant uniquement (dans ce cas) des quantités totales de biens disponibles.
p 
a E2
→ ( 1) =
.
p2
(1 −a) E1
→ Différentes règles de normalisation.
p2 = 1
→ 
.
a E2
p1 =
(1−a) E 1
→ p1 + p2 = 1 .
a E2
p1 =
a E2 +(1− a) E1 .

(1− a) E 1

p2 =
a E2 +(1− a) E1

→ Échange au prix : (




x11
= a (e11 +(

p1 
a E2
) =
.
p2
(1 −a) E1

p2 
) e12 )
p1


p1
x = (1−a) (( ) e11 + e12)
p2

.


12

→ Prix d'équilibre : indépendant de la répartition initiale des ressources entre les consommateurs.






Download Equilibre Général de Walras



Equilibre Général de Walras.pdf (PDF, 200.77 KB)


Download PDF







Share this file on social networks



     





Link to this page



Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..




Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)




HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog




QR Code to this page


QR Code link to PDF file Equilibre Général de Walras.pdf






This file has been shared publicly by a user of PDF Archive.
Document ID: 0000223615.
Report illicit content