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Michela Eleuteri

DISPENSE DEL CORSO
DI ANALISI MATEMATICA
Numeri

Numeri naturali e principio di induzione,
campi ordinati, numeri complessi

Indice
1 I numeri naturali e il principio di induzione

5

1.1

I numeri naturali e il principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Principio di induzione: esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Fattoriale e coecienti binomiali

1.4

Complementi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.1

Valore assoluto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.2

Sommatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 Campi ordinati

21

2.1

L'insieme dei numeri razionali

Q.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Numeri reali: estremo superiore e assioma di continuità . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3

Esercizi proposti

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Numeri complessi
3.1

3.2

39

Premessa: radicali, potenze e logaritmi

n-esime

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.1.1

Radici

3.1.2

Potenze a esponente reale

3.1.3

Logaritmi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.1

Denizione di

e struttura di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.2

Forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2.3

Potenze di numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.4

Radici

C

n-esime

di numeri complessi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3

Forma esponenziale dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.4

Esercizi svolti

53

3.5

Esercizi proposti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.6

Esercizi senza soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

INDICE

4

CAPITOLO 1

I numeri naturali e il principio di
induzione
1.1. I numeri naturali e il principio di induzione
I numeri naturali sono costruiti a partire dall'elemento 0, da un insieme
di successivo (indicata con

s)

vericanti i seguenti assiomi detti

N

e da un'operazione

assiomi di Peano.

1)0 ∈ N;
2)∀ n ∈ N, s(n) ∈ N;
3)∀ n ∈ N, s(n) 6= 0;
4)∀ m, n ∈ N, s(m) = s(n) ⇒ m = n;
5)∀ S ⊆ N, {(0 ∈ S) ∧ (∀ n ∈ N, n ∈ S ⇒ s(n) ∈ S)} ⇒ S = N.
Il primo assioma aerma che
ci sia un successivo, mentre

N non è vuoto; il secondo assioma garantisce che per ogni numero
il terzo ci dice che 0 non ha un precedente; il quarto assioma af-

ferma invece che non è possibile tornare ad un numero già incontrato. Inne il quinto assioma
può essere riscritto nel seguente modo:

Quinto assioma di Peano (principio di induzione:

prima forma)

S ⊆ N un insieme che verica le seguenti proprietà:
1) 0 ∈ S (base dell'induzione)
2) ∀n, n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S (passo induttivo)
Allora S = N.
Sia

Si tratta di un principio largamente utilizzato per dimostrare proprietà che dipendono da nu-

5

1

I numeri naturali e il principio di induzione

meri naturali. È un assioma che non stupisce: se un insieme contiene 0 e vale il passo induttivo,
allora contiene 1. Se contiene 1, allora dal passo induttivo contiene 2, e così via...Il principio
di induzione permette proprio di formalizzare questo concetto del e così via..., dimostrando
la verità di innite proposizioni in un colpo solo.
Il principio di induzione può anche essere espresso in maniera equivalente in questa seconda
forma:

Principio di induzione

(seconda forma)

P(n) una proprietà vera per n = 0. Supponiamo
P(n + 1). Allora P(n) è vera per ogni n.
Sia

che se

P(n)

è vera, allora è vera anche

Dimostriamo l'equivalenza tra il quinto assioma di Peano e la seconda forma del principio di
induzione. Supponiamo vero il quinto assioma di Peano e consideriamo l'insieme

N : P(n)}.

Per ipotesi

quinto assioma,

S=N

0∈S

e inoltre se

e quindi

P(n)

n∈S

allora anche

è vera per ogni

n + 1 = s(n) ∈ S.

S = {n ∈

Dunque, per il

n.

S un insieme che contiene 0, e il
successivo di ogni suo elemento. Consideriamo il predicato P(n) con n ∈ S. Allora, intanto
P(0) è vera; inoltre se P(n) è vera, allora anche P(n + 1) è vera. Allora per il principio di
induzione, P(n) è vera per ogni n e quindi S = N.
Viceversa, supponiamo vero il principio di induzione.

Sia

Il principio di induzione può anche essere espresso in maniera equivalente in questa forma apparentemente più forte (in realtà è facile vedere che di nuovo sono equivalenti).

Principio di induzione

(forma forte)

S ⊆ N un insieme che verica le seguenti proprietà:
1) 0 ∈ S
2) ∀n tale che tutti i numeri minori o uguali di n appartengono
Allora S = N.
Sia

ad

S,

anche

n + 1 ∈ S.

Inne osserviamo che il principio di induzione è equivalente al seguente principio, detto principio del minimo intero: esso asserisce che i numeri naturali sono ben ordinati (per questo

è anche detto principio del buon ordinamento). Questa proprietà non è vericata dai

S = {x ∈ R : x > 0}). Si rimanda per
confronto al corrispondente risultato per sottoinsiemi di Z (ogni insieme di numeri reali A ⊆ Z

numeri reali (per esempio considerando l'insieme

non vuoto e limitato inferiormente ha minimo), la cui dimostrazione si basa sul concetto di
estremo inferiore.

Principio del minimo intero (o principio del buon ordinamento)
Ogni sottoinsieme non vuoto di

N

ha minimo.
6

1.1

I numeri naturali e il principio di induzione

Dimostriamo l'equivalenza tra il principio di induzione, nella forma forte, e il principio del
minimo intero. Supponiamo vero il principio di induzione, forma forte e dimostriamo il principio
del minimo intero. Sia

A

un sottoinsieme di

facendo vedere che il complementare
Base dell'induzione:

N\A

N che
N \ A = N.

non ha minimo. Dimostriamo che è vuoto,

contiene lo 0. Se così non fosse,

0∈A

e allora avremmo che

A

ha

elemento minimo, contro l'ipotesi.

N \ A contiene tutti i numeri da 0 a n, allora deve contenere anche n + 1. Se
così non fosse, n + 1 ∈ A ma nessuno degli elementi minori di esso apparterrebbe ad A, quindi
n + 1 sarebbe l'elemento minimo di A contro l'ipotesi. Allora N \ A coincide con N e A = ∅.
Passo induttivo: se

Ora dimostriamo che dal principio del minimo intero si ottiene il principio di induzione (nella
prima forma, che è a sua volta equivalente al principio di induzione in forma forte). Sia
sottoinsieme di

N\A

N

contenente 0 e tale che se contiene

n

allora contiene

n + 1.

m

che per ipotesi non può essere 0 (che sta

m−1 ∈
/ N \ A perché m è minimo. Pertanto m − 1 ∈ A.
se n = m − 1 ∈ A allora anche n + 1 = m ∈ A, assurdo

un

Consideriamo

e mostriamo che è vuoto attraverso il principio del minimo intero. Se per assurdo

non fosse vuoto, conterrebbe un minimo

A

N\A
in A).

Allora di sicuro

Ma dal passo induttivo

sappiamo che

perché

m ∈ N \ A.

Da

cui la tesi.

+

Osservazione 1.1.1.

Se talvolta non si riesce a far partire l'induzione da

è perduto se l'insieme è induttivo da qualche elemento in poi.

n = 0,

non tutto

Si può allora usare il principio di

induzione in questa forma:

S ⊆ N e sia k ∈ N. Supponiamo che:
1) k ∈ S
2) ∀n ≥ k se n ∈ S allora n + 1 ∈ S .
Allora S ⊇ {n ∈ N : n ≥ k}.
Sia

Questo non signica che l'insieme

S

contiene solo i numeri maggiori o uguali di

k

ma la verica dei

numeri precedenti va fatta a mano, con metodi diversi dall'induzione.

. Esempio 1.1.2.
n(n + 1)
, in simboli
2

Dimostrare per induzione che la somma dei primi n numeri naturali vale

n
X

i=

i=0
Sia

n(n + 1)
2

(
S=

n∈N:

n
X
i=0
7

∀n ∈ N.

n(n + 1)
i=
2

)
.

1

I numeri naturali e il principio di induzione

È facile vedere che

0 ∈ S.

Infatti

X
i=0
Supponiamo ora che

n+1
X

i=

i=0

n
X

n ∈ S.

i=

0(1 + 0)
= 0.
2

Dimostriamo che

i + (n + 1) =

i=0

n + 1 ∈ S.

Si ha

n(n + 1)
n(n + 1) + (n + 1)2
(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1) =
=
,
2
2
2

dove nella prima uguaglianza abbiamo usato la denizione di sommatoria e nella seconda
uguaglianza l'ipotesi induttiva. Da qui si ha immediatamente la tesi.

.

Esempio 1.1.3.

Dimostrare per induzione

1

che


n+1

 1−q
1−q
qk =


k=0
n+1

n
X

q 6= 1
q = 1.

q = 1 è facile, quindi ci concentriamo sul caso q 6= 1. Base
0
si ha 1 = 1 (con la convenzione che in questo caso 0 = 1). Passo
formula sia vera per n e mostriamo che vale per n + 1. Si ha
Il caso

n+1
X
k=0

k

q =

n
X
k=0

k

q +q

n+1

(1.1.1)

dell'induzione: per

n=0

induttivo: supponiamo la

1 − q n+1
1 − q n+1 + q n+1 − q n+2
1 − q n+2
n+1
=
+q
=
=
,
1−q
1−q
1−q

dove nella prima uguaglianza abbiamo usato la denizione di sommatoria e nella seconda
uguaglianza l'ipotesi induttiva. Da qui si ha immediatamente la tesi.

1.2. Principio di induzione: esercizi proposti
- Esercizio 1.2.1. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, il numero α(n) := n3 +5n

è divisibile per 6.

2

R.
1 Per

una dimostrazione alternativa che non faccia uso del principio di induzione, si rimanda alla sezione
nale dei Complementi.
8

1.2

Principio di induzione: esercizi proposti

- Esercizio 1.2.2. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, il numero β(n) := 10n −1

è divisibile per 9.

2

R.

-

Esercizio 1.2.3. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1 si ha
2n−1 ≤ n!

2

R.

-

Esercizio 1.2.4. Sia a ≥ −1. Dimostrare per induzione la seguente disuguaglianza, detta

disuguaglianza di Bernoulli

(1 + a)n ≥ 1 + na

2

∀n ≥ 0.

R.

-

Esercizio 1.2.5. Dimostrare per induzione che ogni intero n ≥ 2 può essere scritto come

prodotto di uno o più numeri primi (usare il principio di induzione in forma forte).
2

R.

-

Esercizio 1.2.6. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 2
r

q
√
/ Q.
rn := 1 + 1 + 1 + . . . ∈
|
{z
}
n volte

2

R.

9