Atanov's formula RU .pdf

File information


Original filename: Atanov's_formula_RU.pdf

This PDF 1.5 document has been generated by Microsoft® Word 2013, and has been sent on pdf-archive.com on 13/12/2015 at 11:20, from IP address 178.49.x.x. The current document download page has been viewed 959 times.
File size: 479 KB (2 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


Atanov's_formula_RU.pdf (PDF, 479 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


Формула Атанова для площади сегмента параболы
Пусть дана парабола вида 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, которую пересекает прямая 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒎 в точках с
координатами (𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 ) и (𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏 ) (рис. 1). Тогда площадь сегмента параболы равна

𝑺=

(∆𝒙)𝟑
𝟔

, где ∆𝒙 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎

Доказательство.
𝒙𝟏

𝒙𝟏

𝒙𝟏

𝑺 = ∫ (−𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄) 𝒅𝒙 − ∫ (𝒌𝒙 + 𝒎) 𝒅𝒙 = ∫ (−𝒙𝟐 + (𝒃 − 𝒌)𝒙 + (𝒄 − 𝒎)) 𝒅𝒙
𝒙𝟎

𝒙𝟎

𝒙𝟎

Где 𝒚 = −𝒙𝟐 + (𝒃 − 𝒌)𝒙 + (𝒄 − 𝒎) – парабола, пересекающая ось абсцисс в точках (𝒙𝟎 ; 𝟎) и (𝒙𝟏 ; 𝟎)
(рис. 2). Таким образом видим, что искомая площадь равна площади сегмента, который образуется
этой параболой и осью абсцисс.

Сместим начало координат в точку (𝒙𝟎 ; 𝟎) (рис. 3). Тогда парабола будет описываться
уравнением 𝒚 = −𝒙(𝒙 − ∆𝒙).

И искомая площадь равна
∆𝒙

∆𝒙

∆𝒙

𝒙𝟑 ∆𝒙 ∙ 𝒙𝟐
𝑺 = ∫ −𝒙(𝒙 − ∆𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ (−𝒙 + ∆𝒙 ∙ 𝒙) 𝒅𝒙 = [− +
]
𝟑
𝟐
𝟎
𝟐

𝟎

𝟎

𝑺=−

∆𝒙𝟑 ∆𝒙 ∙ ∆𝒙𝟐 ∆𝒙𝟑
+
=
𝟑
𝟐
𝟔

Нетрудно увидеть, что в более общем случае, когда парабола имеет вид 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, в формуле
появляется коэффициент 𝒂:
𝑺=

|𝒂|∆𝒙𝟑
𝟔


Document preview Atanov's_formula_RU.pdf - page 1/2

Document preview Atanov's_formula_RU.pdf - page 2/2

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file Atanov's_formula_RU.pdf


Related keywords