sol6 .pdf

File information


Original filename: sol6.pdf
Title: מד"ר להנדסה – תרגול 2# - משוואות לא לינאריות מסדר I
Author: hernesyu

This PDF 1.5 document has been generated by Microsoft® Word 2010, and has been sent on pdf-archive.com on 16/12/2015 at 16:28, from IP address 84.111.x.x. The current document download page has been viewed 547 times.
File size: 491 KB (10 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


sol6.pdf (PDF, 491 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


#6 ‫מד"ר להנדסה – פתרון‬
#1 ‫תשובה‬
:2 ‫עבור משוואת אוילר כללית מסדר‬
x 2  y ''  x  y '   y  f ( x)

:‫ע"י שינוי המשתנה הבלתי תלוי מעבירים אותה למשוואה במקדמים קבועים‬
x  e z  x 2  y ''  x  y '   y 

d2y
dy
   1   y
2
dz
dz

:‫ דרך אחרת היא לנחש פתרון מהצורה‬.‫ממנו מחלצים את קבוצת הפתרון הבסיסית‬
.‫ ונקבל את אותה המשוואה האופיינית‬y( x)  x r
: x 2  y '' 3x  y ' 4  y  0 .‫א‬
d2y
dy
 4  4y
2
dz
dz
2
 p( r )  r  4r  4  r1,2  2

x  e z  x 2  y '' 3x  y ' 4  y 

 yh ( z )  c1  e 2 z  c2  ze 2 z

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x )  c1  x 2  c2  x 2 ln x

: x 2  y '' x  y ' 4  y  0 .‫ב‬
d2y
 4y
dz 2
 p( r )  r 2  4  r1,2  2i

x  e z  x 2  y '' x  y ' 4  y 

 yh ( z )  c1  cos(2 z )  c2  sin(2 z )

y( x)  yh (ln x )  c1  cos  2ln x   c2  sin  2ln x 

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
: x 2  y '' 3x  y ' 5  y  0 .‫ג‬

d2y
dy
 2  5y
2
dz
dz
2
 p( r )  r  2r  5  r1,2  1  2i

x  e z  x 2  y '' 3x  y ' 5  y 

 yh ( z )  c1  e  z cos(2 z )  c2  e  z sin(2 z )

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x)  yh (ln x )  c1 

cos  2ln x 
x

 c2 

sin  2ln x 
x

: x 2 y '''  2 y ' .‫ד‬
:III ‫ כדי לקבל משוואת אוילר מסדר‬, x -‫תחילה נכפיל את המשוואה ב‬
x 2 y '''  2 y ' 
 x 3 y '''  2 x  y ' 
 x 3  y ''' 2 x  y '  0
x
2 x y '

:‫ובהתאמה‬

1

d3y
d2y

3
0
dz 3
dz 2
 p( r )  r 3  3r 2  r1,2,3  0,0,3

x  e z  x 3  y ''' 2 x  y ' 

 yh ( z )  c1  c2  z  c3  e3 z

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x )  c1  c2  ln x  c3  x

3

: x 2 y '' 2 y  sin(ln x ) .‫ה‬
d 2 y dy

 2 y  sin( z )
dz 2 dz
 p( r )  r 2  r  2  r1,2  1, 2

x  e z  x 2 y '' 2 y 

 yh ( z )  c1  e  z  c2  e 2 z

:‫פתרון פרטי בשיטת המקדמים הלא ידועים‬
y p ( z )  A  cos( z )  B  sin( z )


d 2 yp
2



dy p

?

 2 y p  (3 A  B) cos( z )  ( A  3B)sin( z )  sin( z )

dz
dz
 A  1 10, B  3 10,

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x )  y p (ln x )  c1 

1
1
3
 c2  x 2  cos(ln x )  sin(ln x )
x
10
10

: ( x  2)2 y '' 3( x  2) y ' 4 y  x .‫ו‬
:‫ מתקבלת משוואת אוילר‬,  : x  2 ,‫ביחס לשינוי המשתנה‬
( x  2)2 y '' 3( x  2) y ' 4 y  2   2

d2y
dy
 3
 4y    2
2
d
d

:‫ובהתאמה‬
  ez   2

2

2

d y
dy
d y
dy
 3
 4 y  2  4  4 y  ez  2
2
d
d
dz
dz

 p( r )  r 2  4r  4  r1,2  2
 yh ( z )  c1  e 2 z  c2  ze 2 z

:‫פתרון פרטי בשיטת המקדמים הלא ידועים‬
y p ( z)  A  e  B
z



d 2 yp
2

4

dy p

 4 y p  A  ez  4B

dz
dz
 A  1, B  1 2,

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x  2 )  y p (ln x  2 )  c1 

ln x  2
1
1
 c2 
 x2 
2
2
( x  2)
( x  2)
2

#2 ‫תשובה‬
2

: 0  t   :‫ כאשר‬x(t )  x(t )  tan(t ) .‫א‬
:‫פולינום אופייני והפתרון ההומוגני הכללי‬
p(r )  r 2  1  1,2  i



xh (t )  c1 cos(t )  c2 sin(t )

:‫פתרון פרטי בוואריאצית קבועים‬
x p (t )  d1 (t )cos(t )  d 2 (t )sin(t )

:‫מערכת המשוואות‬

d1 (t )  cos(t )  d 2 (t )  sin(t )  0

d1 (t )  sin(t )  d 2 (t )  cos(t )  tan(t ) 

d1 (t )   sin(t ) tan(t )
d 2 (t )  cos(t ) tan(t )



:‫אינטגרציה ופתרון פרטי‬
1 1  sin(t )
d1 (t )  sin(t )  ln
, d 2 (t )   cos(t ),
2 1  sin(t )


1 1  sin(t )
 x p (t )   sin(t )  ln
2 1  sin(t )



 cos(t )  cos(t )sin(t )


:‫הפתרון הכללי‬


1 1  sin(t )
x(t )   sin( x)  ln
 c1  cos(t )    cos(t )  c2  sin(t )
2 1  sin(t )



:‫ ובהנתן כי הקבוצה‬x  0 :‫ כאשר‬x 2  y ''( x)  x  y '( x)  y( x)  x  ln( x) .‫ב‬
 1
 x, 
 x

‫ אזי מההגדרה הפתרון ההומוגני‬.‫היא קבוצת פתרון בסיסית של המד"ר ההומוגנית‬
:‫הכללי הוא‬
yh ( x )  c1  x 

c2
x

:‫פתרון פרטי בוואריאצית קבועים‬
y p ( x )  d1 ( x ) x  d 2 ( x )

1
x

:‫שימו לב שתחילה צריך להעביר את המשוואה לצורה סטנדרטית‬
x 2  y ''( x )  x  y '( x )  y ( x )  x  ln( x ) 
1  y ''( x ) 


x2

1
1
ln( x )
 y '( x )  2 y ( x ) 
x
x
x
b ( x )

:‫מערכת המשוואות‬
d1 '( x )  x  d 2 '(t )  1 x  0



d1 '( x )  1  d 2 '( x )   1 x

2






 ln x x 


:‫אינטגרציה ופתרון פרטי‬
ln x
1
 d1 ( x )  ln 2 x
2x
4
1
1
1
d 2 '( x )   x  ln x  d 2 ( x )   x 2 ln x  x 2
2
4
8
d1 '( x ) 

3

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x) 

1 2
1  1
 1
ln x  x    x 2 ln x  x 2  
4
8  x
 4

:‫הפתרון הכללי‬
1
1
1  1



y ( x )   c1  ln 2 x   x   c2  x 2 ln x  x 2  
4
4
8  x




#3 ‫תשובה‬
.‫א‬
y '' 4 y  tan(2 x)
:‫פולינום אופייני וקבוצת הפתרון הבסיסית‬
p(r )  r 2  4  (r  2i)(r  2i)



y1 ( x)  cos(2 x), y2 ( x)  sin(2 x)

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x)  d1 ( x)  cos(2 x)  d2 ( x)  sin(2 x)

:‫וואריציית פרמטרים‬
d1 'cos(2 x)  d 2 'sin(2 x)
2d1 'sin(2 x)  2d 2 'cos(2 x)


d1 '( x) 




0


tan(2 x)  b( x) 

1
 cos(2 x)  sec(2 x) 
2

1
d 2 '( x)  sin(2 x)
2

:‫אינטגרציה‬
x

d1 ( x)   d1 '( s)ds 

1
sin(2 x)  ln sec(2 x)  tan(2 x)  ,
4

1
d 2 ( x)   cos(2 x)
4

:‫הפתרון הכללי‬


y ( x)

yh ( x )  y p ( x )

1
 sin(2 x)  ln sec(2 x)  tan(2 x)  c1  cos(2 x)
4
1
  cos(2 x)  c2  sin(2 x)
4



y '' 2 y ' y  e x x

:‫פולינום אופייני וקבוצת הפתרון הבסיסית‬
p(r )  r  2r  1  (r  1)
2



2

y1 ( x)  e x , y2 ( x)  xe x

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x)  d1 ( x)  e  d 2 ( x)  xe
x

x

:‫וואריציית פרמטרים‬
d1 ' e  d 2 ' xe
d1 ' e x  d 2 '( x  1)e x
x

x






d1 '( x)  1


0

x 1e x  b( x) 
d 2 '( x)  x 1

:‫אינטגרציה‬
x

d1 ( x)   d1 '(s)ds   x,

x

d2 ( x)   d 2 '(s)ds  ln x

:‫הפתרון הכללי‬

4

.‫ב‬



y ( x)

yh ( x)  y p ( x)

  x  c1  e x   ln x  c2  xe x



y '' y  tan 2 ( x)

.‫ג‬

:‫פולינום אופייני וקבוצת הפתרון הבסיסית‬
p(r )  r  1  (r  i)(r  i)



2

y1 ( x)  cos( x), y2 ( x)  sin( x)

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x)  d1 ( x)  cos( x)  d2 ( x)  sin( x)

:‫וואריציית פרמטרים‬
d1 'cos( x)  d 2 'sin( x)
d1 'sin( x)  d 2 'cos( x)





d1 '( x)   sin( x) tan 2 ( x)

0


2
tan ( x)  b( x) 
d 2 '( x)  cos( x) tan 2 ( x)

:‫אינטגרציה‬
d1 ( x)









d 2 ( x)

x



x

d1 '( s)ds



tan 2 ( s) sin( s)ds



sin 2 ( s)
sin( s )ds
cos 2 ( s)



1  cos 2 ( s)
 cos2 (s) sin(s)ds
x
x
1

sin( s )ds   sin( s)ds
2
cos ( s)
x









x



x



x

x

d 2 '( s )ds



tan 2 ( s ) cos( s )ds



sin 2 ( s )
cos( s )ds
cos 2 ( s )



1  cos 2 ( s)
ds
cos( s )










x

x

x

sec( s )ds   cos( s )ds






  sec( x)  cos( x) 

ln sec( x)  tan( x)  sin( x)

:‫בסה"כ מתקבל‬
y p ( x)  d1 ( x)  y1 ( x)  d2 ( x)  y2 ( x)  2  sin( x)  ln sec( x)  tan( x)

:‫ובהתאמה הפתרון הכללי הוא‬
y ( x)



yh ( x)  y p ( x)



c1  cos( x)  c2  sin( x)  2  sin( x)  ln sec( x)  tan( x)

#4 ‫תשובה‬

5

)‫פתור את המשוואות הבאות (וריאציות הפורמטים‬
 x(0)  x(0)  0

, x  x  3sin t )‫(א‬
  
 
 x  2   x  2   0
 
  
:‫תשובה‬
2
x '' x '  0 r  r  0 r1  0 r2  1 x  A  Bet )1(

x p  u1 (t )  u2 (t )e  t
x ' p  u '1  u2 ' e  t  u '2 e  t  u2e  t
x '' p  u '2 e  t  u2e  t

)2(

 u '1  u2 ' e  t  0
u '1  3sin t

t
t
u '2 e  3sin t u '2  3e sin t
3
 3

x p  3cos t    et (sin x  cos x)  et   (sin x  cos x)
2
 2

t
x  A  Be  3 2(sin x  cos x )
)3(
x '   Bet  3 2(cos x  sin x )
 x(0)  x(0)  0
A  B  3 2  B  3 2  A  3  0  A  3


)4(

  

 2
 3 2  Be 2  3 2  A  0
 x  2   x  2   0  A  Be
 
  
!‫סתירה אין פיתרון‬
x  x  tet  2et )‫(ב‬

xh  c1 cos t  c2 sin t  (  i   2  1  0)  x  x  0 )1(
x p  u1 (t ) cos t  u2 (t ) sin t

x ' p  u1 'cos t  u '2 sin t  u1 sin x  u2 cos x  u1 sin x  u2 cos x
x '' p  u1 'sin t  u '2 cos t  u1 cos x  u2 sin x

)2(


u1 'cos t  u '2 sin t  0
u '1  (tet  2e t ) sin t

t
t
u '2  (tet  2e t ) cos t
u1 'sin t  u '2 cos t  te  2e
 tet

et
et
x p    (sin t  cos t )  (2 cos t )  2
(  sin t  cos t )  cos t 
4
2
2

 tet

et
et
(cos
t

sin
t
)

(2sin
t
)

2
(  cos t  sin t )  sin t 
2
4
2


t
t
te
e
 sin t cos t  cos 2 t  sin t cos t  sin 2 t     cos 2 t  sin 2 t  

2
2
t
2
2
e  sin t cos t  cos t  cos t sin t  sin t  
te t e t
  et
2 2
6

)3(

x  c1 cos t  c2 sin t 

tet et
  et )4(
2 2

x  x  4t sin t )‫(ג‬
:‫תשובה‬
xh  c1 cos t  c2 sin t  (  i    1  0)  x  x  0 )1(
(  i  0  i  i  1  i) x p  t (( At
1  B1 ) cos(t )  ( A2t  B2 )sin(t )) )2(
2

‫ ונקבל‬x  x  4t sin t ‫ב‬

x p  t (( At
1  B1 ) cos(t )  ( A2t  B2 )sin(t )) ‫נציב‬

[4 A2t   2B2  2 A1 ]cos t  4 At
1   2 B1  2 A2  
 sin t  4t sin t

4 A2  0
2 B  2 A  0
 2
1
 A1  1, B1  0, A2  0, B2  1

4 A1  4
2 B1  2 A2  0
x p  t 2 cos t  t sin t

x  xh  x p  c1 cos t  c2 sin t  t 2 cos t  t sin t

#5 ‫תשובה‬
x  2 x  x  (t  3)et )‫(א‬
:‫תשובה‬

x  2 x  x  0 )1(
1  1, 2  1   2  2  1  0
xh  c1et  c2tet
1
3
a  , b    (  i  1  1  2 ) x p  t 2 (at  b)et )2(
6
2
 t 3 3t 2  t
x  c1et  c2tet   
e
6 2 

x  x  cos t  sin t )‫(ב‬
:‫תשובה‬
xh  c1 cos t  c2 sin t
x p  v1 (t ) cos t  v2 (t )sin t

v1 cos t  v2 sin t  0


v1 sin t  v2 cos t  cos t  sin t

7

1 sin 2t cos 2t
v2  t 

 v2  cos 2 t  sin t cos t
2
4
2
cos 2t 1 sin 2t
v1 
 t
 v1 cos t  sin t  cos 2 t  sin t cos t   0
2
2
4

x  4 x  sin 2  t  )‫(ג‬
:‫תשובה‬

xh  C1 cos  2t   C2 sin  t   x  4 x  0 )1(

x p  u1  t  cos  2t   u2  t  sin  2t  )2(
  1 3
u1  2 sin  2t 
u1 cos  2t   u2 sin  2t   0



2
u  1 sin 2  2t  cos  2t  u1  2sin  2t    u2  2 cos  2t    sin  t 
2

2
u1  

1
1
1
1
sin 3  2t  dt    sin  2t  1  cos 2  2t  dt   1  cos 2  2t   d  cos  2t     1  z 2 dz

2
2
4
4

1
1
u1  cos  2t   cos3  2t 
4
12
1 2
1
1
u2   sin  2t  cos  2t dt   sin 2  2t d  sin  2t     z 2 d  z 
2
4
4
1
u2  sin 3  2t 
12
1
1
1
1

1

x p   cos  2t   cos3  2t  cos  2t    sin 3  2 x  sin  2t   cos 2  2t   sin 2  2t 
12
6
12
4

12

1
1
x  xh  x p  C1 cos  2t   C2 sin  t   cos 2  2t   sin 2  2t 
6
12

#6 ‫תשובה‬
. y' '5 y'6 y  g x  ‫מצאו נוסחא לפתרון הבעיה‬
‫ מערכת בסיסית של פתרונות למשוואה ההומוגנית תהיה‬: ‫תשובה‬
‫ ולכן נחפש פתרון למשוואה הלא הומוגנית מהצורה‬, y1  e 2 x , y 2  e 3 x
. u' e 2 x  v' e 3 x  0 ‫ שמקיים גם‬y  ue 2 x  ve3 x
: ‫ ונציב במשוואה‬,

4ue
.

2u ' e

y '  2ue 2 x  3ve3 x
y ' '  4ue 2 x  9ve3 x  2u ' e 2 x  3v' e 3 x

 

 

‫נחשב‬



2x

 9ve3 x  2u ' e 2 x  3v' e 3 x  5 2ue 2 x  3ve3 x  6 ue 2 x  ve3 x 

2x

 3v' e

3x

 g x 

8

‫‪u ' e 2 x  v' e 3 x  0‬‬
‫‪,‬‬
‫מכאן קיבלנו את המערכת‬
‫‪2u ' e 2 x  3v' e 3 x  g x ‬‬
‫‪ g  x e 3 x‬‬
‫‪u' ‬‬
‫‪W e 2 x , e3x‬‬
‫‪.‬‬
‫ופתרונה הוא‬
‫‪g  x e 2 x‬‬
‫‪v' ‬‬
‫‪W e 2 x , e3x‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e3x‬‬
‫נחשב את הוורונסיקאן ‪ 3e 5 x  2e 5 x  e 5 x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3e‬‬

‫‪e2x‬‬
‫‪2e 2 x‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪, W e 2 x , e3x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪ g x e 3 x‬‬
‫‪u' ‬‬
‫‪  g x e  2 x‬‬
‫‪u   g x e  2 x dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪,‬‬
‫ולכן ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪v   g x e dx‬‬
‫‪v' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g x e 3 x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫ופתרון כללי יהיה ‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪. yx   e c1   g x e dx  e c2   g x e 3 x dx‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫תשובה ‪#7‬‬
‫פתרו את המשוואה ‪ x 2 y' '2 xy '2 y  4 x 2 , x  0‬אם ידוע ש‪ y  x -‬הוא פתרון של‬
‫המשוואה ההומוגנית המתאימה‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫ראשית נפתור את המשוואה ההומוגנית‪ .‬יש מספר דרכים לפתור אותה‪ :‬נתון לנו פתרון אחד‪,‬‬
‫וניתן בהורדת סדר למצוא את הפתרון השני‪ .‬דרך אחרת תהיה לפתור את המשוואה‬
‫כמשוואת אוילר‪:‬‬
‫‪2 ′′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 = 0‬‬
‫ננחש פתרון מהצורה‪:‬‬
‫𝑟‬
‫𝑥=𝑦‬
‫ולאחר ההצבה נקבל פולינום אופייני‪:‬‬
‫𝑟(𝑟( 𝑟‬
‫‪2‬‬
‫𝑥‬
‫‪− 1) − 2𝑟 + 2) = 0 ⇒ 𝑟 − 3𝑟 + 2 = 0 ⇒ (𝑟 − 1)(𝑟 − 2) = 0‬‬
‫השורשים הם‪ 1,2 :‬ולכן הפתרון ההומוגני הוא מהצורה‪:‬‬
‫‪𝑦ℎ = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת‪ ,‬נחפש פתרון פרטי‪ .‬ראשית נעביר את המשוואה לצורה הסטנדרטית ע"י חלוקה ב‪:𝑥 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 2 𝑦 = 4‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫והפתרון הפרטי יהיה מהצורה‪:‬‬
‫‪𝑦𝑝 = 𝑐1 (𝑥)𝑥 + 𝑐2 (𝑥)𝑥 2‬‬
‫המשוואות שנקבל בשיטת ואריאציית הפרמטרים יהיו‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑐 𝑥 + 𝑐2′ 𝑥 2 = 0‬‬
‫‪{ 1′‬‬
‫‪𝑐1 + 2𝑐2′ 𝑥 = 4‬‬
‫נמצא את הורונסקיאן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫| = )𝑥() ‪𝑊(𝑥, 𝑥 2‬‬
‫‪| = 𝑥2‬‬
‫𝑥‪1 2‬‬
‫וכעת נוכל לפתור בעזרת נוסחת קרמר את מערכת המשוואות‪:‬‬

‫‪9‬‬


Related documents


spc ca441 64210
sales 25 4
ex6
sol6
counting omer 20100412 eng
injeel

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file sol6.pdf


Related keywords