sol6 (PDF)

#6 ‫מד"ר להנדסה – פתרון‬
#1 ‫תשובה‬
:2 ‫עבור משוואת אוילר כללית מסדר‬
x 2  y ''  x  y '   y  f ( x)

:‫ע"י שינוי המשתנה הבלתי תלוי מעבירים אותה למשוואה במקדמים קבועים‬
x  e z  x 2  y ''  x  y '   y 

d2y
dy
   1   y
2
dz
dz

:‫ דרך אחרת היא לנחש פתרון מהצורה‬.‫ממנו מחלצים את קבוצת הפתרון הבסיסית‬
.‫ ונקבל את אותה המשוואה האופיינית‬y( x)  x r
: x 2  y '' 3x  y ' 4  y  0 .‫א‬
d2y
dy
 4  4y
2
dz
dz
2
 p( r )  r  4r  4  r1,2  2

x  e z  x 2  y '' 3x  y ' 4  y 

 yh ( z )  c1  e 2 z  c2  ze 2 z

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x )  c1  x 2  c2  x 2 ln x

: x 2  y '' x  y ' 4  y  0 .‫ב‬
d2y
 4y
dz 2
 p( r )  r 2  4  r1,2  2i

x  e z  x 2  y '' x  y ' 4  y 

 yh ( z )  c1  cos(2 z )  c2  sin(2 z )

y( x)  yh (ln x )  c1  cos  2ln x   c2  sin  2ln x 

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
: x 2  y '' 3x  y ' 5  y  0 .‫ג‬

d2y
dy
 2  5y
2
dz
dz
2
 p( r )  r  2r  5  r1,2  1  2i

x  e z  x 2  y '' 3x  y ' 5  y 

 yh ( z )  c1  e  z cos(2 z )  c2  e  z sin(2 z )

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x)  yh (ln x )  c1 

cos  2ln x 
x

 c2 

sin  2ln x 
x

: x 2 y '''  2 y ' .‫ד‬
:III ‫ כדי לקבל משוואת אוילר מסדר‬, x -‫תחילה נכפיל את המשוואה ב‬
x 2 y '''  2 y ' 
 x 3 y '''  2 x  y ' 
 x 3  y ''' 2 x  y '  0
x
2 x y '

:‫ובהתאמה‬

1

d3y
d2y

3
0
dz 3
dz 2
 p( r )  r 3  3r 2  r1,2,3  0,0,3

x  e z  x 3  y ''' 2 x  y ' 

 yh ( z )  c1  c2  z  c3  e3 z

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x )  c1  c2  ln x  c3  x

3

: x 2 y '' 2 y  sin(ln x ) .‫ה‬
d 2 y dy

 2 y  sin( z )
dz 2 dz
 p( r )  r 2  r  2  r1,2  1, 2

x  e z  x 2 y '' 2 y 

 yh ( z )  c1  e  z  c2  e 2 z

:‫פתרון פרטי בשיטת המקדמים הלא ידועים‬
y p ( z )  A  cos( z )  B  sin( z )


d 2 yp
2



dy p

?

 2 y p  (3 A  B) cos( z )  ( A  3B)sin( z )  sin( z )

dz
dz
 A  1 10, B  3 10,

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x )  y p (ln x )  c1 

1
1
3
 c2  x 2  cos(ln x )  sin(ln x )
x
10
10

: ( x  2)2 y '' 3( x  2) y ' 4 y  x .‫ו‬
:‫ מתקבלת משוואת אוילר‬,  : x  2 ,‫ביחס לשינוי המשתנה‬
( x  2)2 y '' 3( x  2) y ' 4 y  2   2

d2y
dy
 3
 4y    2
2
d
d

:‫ובהתאמה‬
  ez   2

2

2

d y
dy
d y
dy
 3
 4 y  2  4  4 y  ez  2
2
d
d
dz
dz

 p( r )  r 2  4r  4  r1,2  2
 yh ( z )  c1  e 2 z  c2  ze 2 z

:‫פתרון פרטי בשיטת המקדמים הלא ידועים‬
y p ( z)  A  e  B
z



d 2 yp
2

4

dy p

 4 y p  A  ez  4B

dz
dz
 A  1, B  1 2,

:‫בחזרה למשתנה המקורי‬
y ( x )  yh (ln x  2 )  y p (ln x  2 )  c1 

ln x  2
1
1
 c2 
 x2 
2
2
( x  2)
( x  2)
2

#2 ‫תשובה‬
2

: 0  t   :‫ כאשר‬x(t )  x(t )  tan(t ) .‫א‬
:‫פולינום אופייני והפתרון ההומוגני הכללי‬
p(r )  r 2  1  1,2  i



xh (t )  c1 cos(t )  c2 sin(t )

:‫פתרון פרטי בוואריאצית קבועים‬
x p (t )  d1 (t )cos(t )  d 2 (t )sin(t )

:‫מערכת המשוואות‬

d1 (t )  cos(t )  d 2 (t )  sin(t )  0

d1 (t )  sin(t )  d 2 (t )  cos(t )  tan(t ) 

d1 (t )   sin(t ) tan(t )
d 2 (t )  cos(t ) tan(t )



:‫אינטגרציה ופתרון פרטי‬
1 1  sin(t )
d1 (t )  sin(t )  ln
, d 2 (t )   cos(t ),
2 1  sin(t )


1 1  sin(t )
 x p (t )   sin(t )  ln
2 1  sin(t )



 cos(t )  cos(t )sin(t )


:‫הפתרון הכללי‬


1 1  sin(t )
x(t )   sin( x)  ln
 c1  cos(t )    cos(t )  c2  sin(t )
2 1  sin(t )



:‫ ובהנתן כי הקבוצה‬x  0 :‫ כאשר‬x 2  y ''( x)  x  y '( x)  y( x)  x  ln( x) .‫ב‬
 1
 x, 
 x

‫ אזי מההגדרה הפתרון ההומוגני‬.‫היא קבוצת פתרון בסיסית של המד"ר ההומוגנית‬
:‫הכללי הוא‬
yh ( x )  c1  x 

c2
x

:‫פתרון פרטי בוואריאצית קבועים‬
y p ( x )  d1 ( x ) x  d 2 ( x )

1
x

:‫שימו לב שתחילה צריך להעביר את המשוואה לצורה סטנדרטית‬
x 2  y ''( x )  x  y '( x )  y ( x )  x  ln( x ) 
1  y ''( x ) 


x2

1
1
ln( x )
 y '( x )  2 y ( x ) 
x
x
x
b ( x )

:‫מערכת המשוואות‬
d1 '( x )  x  d 2 '(t )  1 x  0



d1 '( x )  1  d 2 '( x )   1 x

2






 ln x x 


:‫אינטגרציה ופתרון פרטי‬
ln x
1
 d1 ( x )  ln 2 x
2x
4
1
1
1
d 2 '( x )   x  ln x  d 2 ( x )   x 2 ln x  x 2
2
4
8
d1 '( x ) 

3

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x) 

1 2
1  1
 1
ln x  x    x 2 ln x  x 2  
4
8  x
 4

:‫הפתרון הכללי‬
1
1
1  1



y ( x )   c1  ln 2 x   x   c2  x 2 ln x  x 2  
4
4
8  x




#3 ‫תשובה‬
.‫א‬
y '' 4 y  tan(2 x)
:‫פולינום אופייני וקבוצת הפתרון הבסיסית‬
p(r )  r 2  4  (r  2i)(r  2i)



y1 ( x)  cos(2 x), y2 ( x)  sin(2 x)

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x)  d1 ( x)  cos(2 x)  d2 ( x)  sin(2 x)

:‫וואריציית פרמטרים‬
d1 'cos(2 x)  d 2 'sin(2 x)
2d1 'sin(2 x)  2d 2 'cos(2 x)


d1 '( x) 




0


tan(2 x)  b( x) 

1
 cos(2 x)  sec(2 x) 
2

1
d 2 '( x)  sin(2 x)
2

:‫אינטגרציה‬
x

d1 ( x)   d1 '( s)ds 

1
sin(2 x)  ln sec(2 x)  tan(2 x)  ,
4

1
d 2 ( x)   cos(2 x)
4

:‫הפתרון הכללי‬


y ( x)

yh ( x )  y p ( x )

1
 sin(2 x)  ln sec(2 x)  tan(2 x)  c1  cos(2 x)
4
1
  cos(2 x)  c2  sin(2 x)
4



y '' 2 y ' y  e x x

:‫פולינום אופייני וקבוצת הפתרון הבסיסית‬
p(r )  r  2r  1  (r  1)
2



2

y1 ( x)  e x , y2 ( x)  xe x

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x)  d1 ( x)  e  d 2 ( x)  xe
x

x

:‫וואריציית פרמטרים‬
d1 ' e  d 2 ' xe
d1 ' e x  d 2 '( x  1)e x
x

x






d1 '( x)  1


0

x 1e x  b( x) 
d 2 '( x)  x 1

:‫אינטגרציה‬
x

d1 ( x)   d1 '(s)ds   x,

x

d2 ( x)   d 2 '(s)ds  ln x

:‫הפתרון הכללי‬

4

.‫ב‬



y ( x)

yh ( x)  y p ( x)

  x  c1  e x   ln x  c2  xe x



y '' y  tan 2 ( x)

.‫ג‬

:‫פולינום אופייני וקבוצת הפתרון הבסיסית‬
p(r )  r  1  (r  i)(r  i)



2

y1 ( x)  cos( x), y2 ( x)  sin( x)

:‫פתרון פרטי‬
y p ( x)  d1 ( x)  cos( x)  d2 ( x)  sin( x)

:‫וואריציית פרמטרים‬
d1 'cos( x)  d 2 'sin( x)
d1 'sin( x)  d 2 'cos( x)





d1 '( x)   sin( x) tan 2 ( x)

0


2
tan ( x)  b( x) 
d 2 '( x)  cos( x) tan 2 ( x)

:‫אינטגרציה‬
d1 ( x)









d 2 ( x)

x



x

d1 '( s)ds



tan 2 ( s) sin( s)ds



sin 2 ( s)
sin( s )ds
cos 2 ( s)



1  cos 2 ( s)
 cos2 (s) sin(s)ds
x
x
1

sin( s )ds   sin( s)ds
2
cos ( s)
x









x



x



x

x

d 2 '( s )ds



tan 2 ( s ) cos( s )ds



sin 2 ( s )
cos( s )ds
cos 2 ( s )



1  cos 2 ( s)
ds
cos( s )










x

x

x

sec( s )ds   cos( s )ds






  sec( x)  cos( x) 

ln sec( x)  tan( x)  sin( x)

:‫בסה"כ מתקבל‬
y p ( x)  d1 ( x)  y1 ( x)  d2 ( x)  y2 ( x)  2  sin( x)  ln sec( x)  tan( x)

:‫ובהתאמה הפתרון הכללי הוא‬
y ( x)



yh ( x)  y p ( x)



c1  cos( x)  c2  sin( x)  2  sin( x)  ln sec( x)  tan( x)

#4 ‫תשובה‬

5

)‫פתור את המשוואות הבאות (וריאציות הפורמטים‬
 x(0)  x(0)  0

, x  x  3sin t )‫(א‬
  
 
 x  2   x  2   0
 
  
:‫תשובה‬
2
x '' x '  0 r  r  0 r1  0 r2  1 x  A  Bet )1(

x p  u1 (t )  u2 (t )e  t
x ' p  u '1  u2 ' e  t  u '2 e  t  u2e  t
x '' p  u '2 e  t  u2e  t

)2(

 u '1  u2 ' e  t  0
u '1  3sin t

t
t
u '2 e  3sin t u '2  3e sin t
3
 3

x p  3cos t    et (sin x  cos x)  et   (sin x  cos x)
2
 2

t
x  A  Be  3 2(sin x  cos x )
)3(
x '   Bet  3 2(cos x  sin x )
 x(0)  x(0)  0
A  B  3 2  B  3 2  A  3  0  A  3


)4(

  

 2
 3 2  Be 2  3 2  A  0
 x  2   x  2   0  A  Be
 
  
!‫סתירה אין פיתרון‬
x  x  tet  2et )‫(ב‬

xh  c1 cos t  c2 sin t  (  i   2  1  0)  x  x  0 )1(
x p  u1 (t ) cos t  u2 (t ) sin t

x ' p  u1 'cos t  u '2 sin t  u1 sin x  u2 cos x  u1 sin x  u2 cos x
x '' p  u1 'sin t  u '2 cos t  u1 cos x  u2 sin x

)2(


u1 'cos t  u '2 sin t  0
u '1  (tet  2e t ) sin t

t
t
u '2  (tet  2e t ) cos t
u1 'sin t  u '2 cos t  te  2e
 tet

et
et
x p    (sin t  cos t )  (2 cos t )  2
(  sin t  cos t )  cos t 
4
2
2

 tet

et
et
(cos
t

sin
t
)

(2sin
t
)

2
(  cos t  sin t )  sin t 
2
4
2


t
t
te
e
 sin t cos t  cos 2 t  sin t cos t  sin 2 t     cos 2 t  sin 2 t  

2
2
t
2
2
e  sin t cos t  cos t  cos t sin t  sin t  
te t e t
  et
2 2
6

)3(

x  c1 cos t  c2 sin t 

tet et
  et )4(
2 2

x  x  4t sin t )‫(ג‬
:‫תשובה‬
xh  c1 cos t  c2 sin t  (  i    1  0)  x  x  0 )1(
(  i  0  i  i  1  i) x p  t (( At
1  B1 ) cos(t )  ( A2t  B2 )sin(t )) )2(
2

‫ ונקבל‬x  x  4t sin t ‫ב‬

x p  t (( At
1  B1 ) cos(t )  ( A2t  B2 )sin(t )) ‫נציב‬

[4 A2t   2B2  2 A1 ]cos t  4 At
1   2 B1  2 A2  
 sin t  4t sin t

4 A2  0
2 B  2 A  0
 2
1
 A1  1, B1  0, A2  0, B2  1

4 A1  4
2 B1  2 A2  0
x p  t 2 cos t  t sin t

x  xh  x p  c1 cos t  c2 sin t  t 2 cos t  t sin t

#5 ‫תשובה‬
x  2 x  x  (t  3)et )‫(א‬
:‫תשובה‬

x  2 x  x  0 )1(
1  1, 2  1   2  2  1  0
xh  c1et  c2tet
1
3
a  , b    (  i  1  1  2 ) x p  t 2 (at  b)et )2(
6
2
 t 3 3t 2  t
x  c1et  c2tet   
e
6 2 

x  x  cos t  sin t )‫(ב‬
:‫תשובה‬
xh  c1 cos t  c2 sin t
x p  v1 (t ) cos t  v2 (t )sin t

v1 cos t  v2 sin t  0


v1 sin t  v2 cos t  cos t  sin t

7

1 sin 2t cos 2t
v2  t 

 v2  cos 2 t  sin t cos t
2
4
2
cos 2t 1 sin 2t
v1 
 t
 v1 cos t  sin t  cos 2 t  sin t cos t   0
2
2
4

x  4 x  sin 2  t  )‫(ג‬
:‫תשובה‬

xh  C1 cos  2t   C2 sin  t   x  4 x  0 )1(

x p  u1  t  cos  2t   u2  t  sin  2t  )2(
  1 3
u1  2 sin  2t 
u1 cos  2t   u2 sin  2t   0



2
u  1 sin 2  2t  cos  2t  u1  2sin  2t    u2  2 cos  2t    sin  t 
2

2
u1  

1
1
1
1
sin 3  2t  dt    sin  2t  1  cos 2  2t  dt   1  cos 2  2t   d  cos  2t     1  z 2 dz

2
2
4
4

1
1
u1  cos  2t   cos3  2t 
4
12
1 2
1
1
u2   sin  2t  cos  2t dt   sin 2  2t d  sin  2t     z 2 d  z 
2
4
4
1
u2  sin 3  2t 
12
1
1
1
1

1

x p   cos  2t   cos3  2t  cos  2t    sin 3  2 x  sin  2t   cos 2  2t   sin 2  2t 
12
6
12
4

12

1
1
x  xh  x p  C1 cos  2t   C2 sin  t   cos 2  2t   sin 2  2t 
6
12

#6 ‫תשובה‬
. y' '5 y'6 y  g x  ‫מצאו נוסחא לפתרון הבעיה‬
‫ מערכת בסיסית של פתרונות למשוואה ההומוגנית תהיה‬: ‫תשובה‬
‫ ולכן נחפש פתרון למשוואה הלא הומוגנית מהצורה‬, y1  e 2 x , y 2  e 3 x
. u' e 2 x  v' e 3 x  0 ‫ שמקיים גם‬y  ue 2 x  ve3 x
: ‫ ונציב במשוואה‬,

4ue
.

2u ' e

y '  2ue 2 x  3ve3 x
y ' '  4ue 2 x  9ve3 x  2u ' e 2 x  3v' e 3 x

 

 

‫נחשב‬



2x

 9ve3 x  2u ' e 2 x  3v' e 3 x  5 2ue 2 x  3ve3 x  6 ue 2 x  ve3 x 

2x

 3v' e

3x

 g x 

8

‫‪u ' e 2 x  v' e 3 x  0‬‬
‫‪,‬‬
‫מכאן קיבלנו את המערכת‬
‫‪2u ' e 2 x  3v' e 3 x  g x ‬‬
‫‪ g  x e 3 x‬‬
‫‪u' ‬‬
‫‪W e 2 x , e3x‬‬
‫‪.‬‬
‫ופתרונה הוא‬
‫‪g  x e 2 x‬‬
‫‪v' ‬‬
‫‪W e 2 x , e3x‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e3x‬‬
‫נחשב את הוורונסיקאן ‪ 3e 5 x  2e 5 x  e 5 x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3e‬‬

‫‪e2x‬‬
‫‪2e 2 x‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪, W e 2 x , e3x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪ g x e 3 x‬‬
‫‪u' ‬‬
‫‪  g x e  2 x‬‬
‫‪u   g x e  2 x dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪,‬‬
‫ולכן ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g‬‬
‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫‪v   g x e dx‬‬
‫‪v' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g x e 3 x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫ופתרון כללי יהיה ‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪. yx   e c1   g x e dx  e c2   g x e 3 x dx‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫תשובה ‪#7‬‬
‫פתרו את המשוואה ‪ x 2 y' '2 xy '2 y  4 x 2 , x  0‬אם ידוע ש‪ y  x -‬הוא פתרון של‬
‫המשוואה ההומוגנית המתאימה‪.‬‬
‫תשובה ‪:‬‬
‫ראשית נפתור את המשוואה ההומוגנית‪ .‬יש מספר דרכים לפתור אותה‪ :‬נתון לנו פתרון אחד‪,‬‬
‫וניתן בהורדת סדר למצוא את הפתרון השני‪ .‬דרך אחרת תהיה לפתור את המשוואה‬
‫כמשוואת אוילר‪:‬‬
‫‪2 ′′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 = 0‬‬
‫ננחש פתרון מהצורה‪:‬‬
‫𝑟‬
‫𝑥=𝑦‬
‫ולאחר ההצבה נקבל פולינום אופייני‪:‬‬
‫𝑟(𝑟( 𝑟‬
‫‪2‬‬
‫𝑥‬
‫‪− 1) − 2𝑟 + 2) = 0 ⇒ 𝑟 − 3𝑟 + 2 = 0 ⇒ (𝑟 − 1)(𝑟 − 2) = 0‬‬
‫השורשים הם‪ 1,2 :‬ולכן הפתרון ההומוגני הוא מהצורה‪:‬‬
‫‪𝑦ℎ = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת‪ ,‬נחפש פתרון פרטי‪ .‬ראשית נעביר את המשוואה לצורה הסטנדרטית ע"י חלוקה ב‪:𝑥 -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 2 𝑦 = 4‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫והפתרון הפרטי יהיה מהצורה‪:‬‬
‫‪𝑦𝑝 = 𝑐1 (𝑥)𝑥 + 𝑐2 (𝑥)𝑥 2‬‬
‫המשוואות שנקבל בשיטת ואריאציית הפרמטרים יהיו‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑐 𝑥 + 𝑐2′ 𝑥 2 = 0‬‬
‫‪{ 1′‬‬
‫‪𝑐1 + 2𝑐2′ 𝑥 = 4‬‬
‫נמצא את הורונסקיאן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫| = )𝑥() ‪𝑊(𝑥, 𝑥 2‬‬
‫‪| = 𝑥2‬‬
‫𝑥‪1 2‬‬
‫וכעת נוכל לפתור בעזרת נוסחת קרמר את מערכת המשוואות‪:‬‬

‫‪9‬‬