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Ementa Qualificacao Geometria (BRUNO XAVIER) .pdf


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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica
Exame de Qualifica¸c˜ao ao Doutorado

Aluno: Bruno Marino Xavier
Orientador: Pedro Roitman
´
PROGRAMA DE GEOMETRIA (1a AREA)
1. Variedades Diferenci´aveis
1.1 Imers˜oes e Mergulhos
1.2 Orienta¸ca˜o
1.3 Campos de Vetores
2. M´etricas Riemannianas
3. Conex˜oes
3.1 Afins
3.2 Riemanniana
3.3 Teorema de Levi-Civita
4. Geod´esicas
4.1 Fluxo geod´esico
4.2 Aplica¸c˜ao exponencial
4.3 Propriedades minimizantes das geod´esicas
5. Curvaturas
5.1 Curvatura seccional
5.2 Curvatura de Ricci e curvatura escalar
6. Campos de Jacobi e pontos conjugados
7. Imers˜oes Isom´etricas
7.1 A segunda forma fundamental
8. Variedades completas
8.1 Teorema de Hopf-Rinow
1

8.2 Teorema de Hadamard
9. Espa¸cos de curvatura constante
9.1 Teorema de Cartan
9.2 As formas espaciais
10. Varia¸co˜es da Energia
10.1 Primeira e segunda varia¸ca˜o da energia
10.2 Teorema de Bonnet-Myers
10.3 Teorema de Synge-Weinstein
11. Superf´ıcies de R3
11.1 Teorema de Gauss-Bonnet
11.2 Rigidez da Esfera
12. Superf´ıcies M´ınimas
12.1 Parˆametros isot´ermicos
12.2 Teorema de Bernstein
12.3 Teorema da representa¸ca˜o de Weierstrass-Enneper
13. M´etodo do Referencial M´ovel
13.1 Equa¸c˜oes de estrutura de Rn
13.2 Lema de Cartan e unicidade das formas de conex˜ao
13.3 Equa¸c˜oes de estrutura de uma variedade riemanniana
14. T´opicos de Pesquisa (Superf´ıcies m´ınimas de Laguerre em formas espaciais)

2


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