UE4 (PDF)

PACES – UE4 : Évaluation des méthodes d’analyses appliquées
aux sciences de la vie et de la santé
Chapitre Biomathématique – Première partie
Cours 1 : Fonctions d’une variable réelle
Cours 2 : Calcul intégral et équations différentielles
Cours 3 : Fonctions de plusieurs variables

– Équipe pédagogique BPS (Biomathématique, Probabilité et Statistique) – Université Paris Descartes

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Cours*1*:*
Fonction*d’une*variable*réelle$

Objectif$
Donner les outils mathématiques nécessaires pour
pouvoir traiter les données issues des sciences
médicales, pharmaceutiques ou biologiques.
Chimie/redox$
Équation*de*Nernst$
$
RT ! [Ox ] $
&
E = E0 +
ln #
nF #" [ Red ] &%

Chimie$
pH*=*–*log10[H3O+]$

Équipe pédagogique BPS
(Biomathématique, Probabilité et Statistiques)

[H3O+]*=*10*–pH$

PACES UE 4
Évaluation des méthodes d’analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé

Physique$
Loi*de*Beer@Lambert$
I
= exp(−Kl)
I0

Université*Paris*Descartes*$
Année*2015@2016$
BPS$

dC
dx

Électricité$
Charge*d’un*condensateur$

q(t) = q0 exp(

−t
)
RC

Sang$

2

Exemple*introductif$

•  Exemple pharmaceutique : Suivi de l’évolution de la
concentration plasmatique C(t) d’un médicament ingéré
par voie orale en fonction du temps t
Vitesse de sortie
$!

Modélisation de l’évolution de la concentration plasmatique C(t) d’un
médicament ingéré par voie orale

Modèle mathématique : C(t)*=*A*(e–st$–*e–nt)$
L’absorption est modélisée par une exponentielle exp(–nt) avec n la
constante de vitesse d’entrée.

C(t) dépend de deux mécanismes
simultanés et opposés :
– l’absorption d’origine intestinale
– l’élimination vers les tissus ou les
organes d’excrétion

L’élimination est modélisée par une exponentielle exp(–st) avec s la
constante de vitesse de sortie.

Remarque : on peut utiliser n’importe quelle lettre pour la variable et la fonction
BPS$

j = −D

λk
k!

BPS$

Exemple*introductif$
Vitesse d’entrée
$!

P(X = k) = e− λ

Biophysique$
1ere*loi*de*Fick$

Biologie$
Élimination*d’un*médicament$
Croissance*bactérienne$

$

Statistiques$
Loi*de*Poisson$

3

Remarques :
– le facteur A est un coefficient de proportionnalité positif qui prend en
compte la dose administrée ;
– on suppose ici que l’absorption est plus rapide que l’élimination (n > s).
BPS$

4

1&

7/10/15&

Exemple*introductif$

Calcul*de*dérivées*et**
calcul*différentiel$

Étude&de&la&fonction&modèle&C(t)3

*–*Détermination des conditions d’administration
*–*Comportement quand t + ∞ (Calcul de limite)
*–*Calcul du Cmax (tableau de variation, calcul de dérivée)
Les données expérimentales (x) sont
légèrement différentes de la courbe
modèle du fait de l’erreur expérimentale
et du caractère simplificateur du
modèle.
$

Remarque
C’est sur la base de modèles similaires, quoique plus complexes, que le
devenir d’un médicament dans l’organisme est étudié.

Dérivée*d’une*fonction*
Le taux d’accroissement de f en x0 :

Applications :
– Calcul d’incertitude
– Calcul de vitesse de variation
– Calcul du travail d’une force de rappel d’un ressort
– …
Remarque
Propriétés de base des fonctions réelles (domaine de définition D,
comportement aux bornes de D, parité …) : voir rappels en fin de cours.

5

BPS$

Outil permettant d’étudier le taux de variation d’une
fonction f au voisinage d’une valeur

BPS$

Dérivée*d’une*fonction*

(1/4)$

f (x) − f (x0 ) BC
=
x − x0
CA

On reconnaît ici la pente de la
droite (AB)

Pour Δx = x – x0 très petit, f(x) tend vers f(x0) (continuité en
x0) et donc la sécante (AB) et la tangente en A à la
courbe sont presque confondues.
BPS$

7

(2/4)$

La dérivée en un point x0 d’une fonction f est la valeur
limite du taux d’accroissement de f en x0 :

lim

Δx→0

Les points A, B, C ont
respectivement pour
coordonnées ((x0, f(x0)), (x, f(x))
et (x, f(x0)).

6

Δf
f (x) − f (x0 )
= lim
= f $(x0 )
Δx x→x 0
x − x0

Cette limite est une forme indéterminée 0/0 : elle n’existe
pas toujours. Lorsqu’elle existe, on dit que f est dérivable
en x0.
La dérivée en x0& est la pente de la tangente en x0.
BPS$

8

2&

7/10/15&

Dérivée*d’une*fonction*

Dérivée*d’une*fonction*

(3/4)$

Si une fonction f est dérivable en x0, alors f est continue en
x0. Attention la réciproque est fausse.
Contre-exemple : f (x) = x
(cas de point anguleux)

(4/4)$

Signe et zéros de la dérivée première
f’(x) > 0  f croissante
f’(x) < 0  f décroissante
Si f’(x) s’annule en changeant de signe autour d’un point x = a (i.e. f’(a)=0) alors a est
un extremum de f (maximum ou minimum selon le signe de f’).

$

Signe et zéros de la dérivée seconde
> 0  concavité tournée vers le haut, la fonction f est convexe. S’il y a un
extremum dans ce domaine, ce sera un minimum.
f !!(x) < 0  concavité tournée vers le bas, la fonction f est concave. S’il y a un extremum
dans ce domaine, ce sera un maximum.

f !!(x)

Dérivées successives :

f !!(x) = ( f !(x))!

(quand c’est possible)

Exemple de dérivées successives (cas de fonctions trigonométriques) :
(3)

f (x) = sin x, f !(x) = cos x, f !!(x) = −sin x, f !!!(x) = f (x) = −cos x
BPS$

9

Applications$
Calcul de la dérivée de la fonction

S(r) = π r

BPS$

Étude du point d’inflexion de la fonction y = x3
D y = D y' = D y!! = ,

S(r0 ) = π r02
2

2
0

10

Applications$
2

On pose r = r0+ h

y! = 3x 2 ,

y!! = 6x

La dérivée y’ est positive donc y est croissante
sur  , la fonction y ne présente aucun
extremum.

2

S(r0 + h) = π (r0 + h) = π (r + h + 2r0 h)

En x = 0, la tangente est horizontale (y’(0) = 0)

S(r0 + h) − S(r0 ) π (h 2 + 2r0 h)
=
= 2π r0 + π h
r − r0
h

Pour tout x < 0, on a y(x) < 0, la tangente est audessus de la courbe.

S(r + h) − S(r0 )
S'(r0 ) = lim h→0 0
= 2π r0
r − r0

Pour tout x > 0, on a y(x) > 0, la tangente est audessous de la courbe.

Remarque
Par le calcul, on obtient S’(r) = 2πr donc on retrouve S’(r0) = 2πr0. Cette
dérivée existe ∀ r ∈ 
BPS$

Si f !!(x) s’annule en changeant de signe en x = a, cela signifie que la dérivée première
passe par un extremum. La courbe représentative de f présente en x = a un point
d’inflexion (en x = a, la courbe change de concavité et la tangente traverse la courbe).

En x = 0, la dérivée seconde s’annule en
changeant de signe. Il y a un point d’inflexion.
11

BPS$

12

3&

7/10/15&

Notion*d’élément*différentiel$
Soit une variable t.
Si t passe de la valeur t à la valeur t + dt infiniment
proche de t, l’élément différentiel dt apparaît ainsi
comme un élément infiniment petit devant t,
tellement petit que l’on peut à la rigueur le supposer
négligeable, mais assez grand cependant pour ne
pas le considérer comme nul.

Différentielle*de*fonction$
Soit une fonction f dérivable en x0.
— La petite variation de f au point x0 s’écrit df(x0) ou
plus généralement df(x) ou plus simplement df.
— La petite variation de x sera écrite dx.

f '(x) =

df
dx

ou df = f '(x)dx

f(x0+Δx)$
f(x0)$

t!

BPS$

13

Notations*différentielles*

(1/2)$

Soit u et v deux fonctions de x.

d ! df $ df ' d 2 f
=
# &=
dx " dx % dx dx 2

x0$

x0+Δx!

BPS$

14

Notations*différentielles*

(2/2)$

Interprétation géométrique de la différentielle d’un
produit d(uv)

Différentielle d’une somme ou d’une différence :
d(u + v)=(u + v)’dx = u’dx + v’dx = du + dv
d(u - v)= du – dv

Variation de l’aire d’un rectangle de dimensions u et v

Différentielle d’un produit d(uv) :
On pose f(x) = u(x)v(x)  f’(x) = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)
On a alors df =f’(x)dx=(u’(x)v(x) +u(x)v’(x))dx
d’ou df = v(x)du+u(x)dv
On a donc d(uv) = udv+vdu

Aire = uv
d(Aire) =(u+du)(v+dv)- uv
d(Aire) = udv + vdu + du.dv
On retrouve que si du et dv
sont très petits :
d(Aire) ≈ udv + vdu

Différentielle d’un quotient :
! u $ vdu − udv
On montre de même que d # & =
2

"v%

dx!

Remarque : dérivée seconde

t$+$dt!

f ''(x) =

BPS$

df!

v

15

BPS$

On en déduit que :
d(uv) = udv+vdu

16

4&

7/10/15&

Applications$

Dérivée*et*différentielle*de*
fonctions*composées$

2
•  Calcul de la différentielle de la fonction S(r) = π r

dS = S'(r) × dr = 2π rdr

Soit g une fonction composée définie par g(x) = f(u(x))

•  Pour un gaz parfait, on a l’équation PV = n R T. On
cherche à exprimer l’élément différentiel dP en
fonction de dV dans le cas où n, R et T constantes.

Dérivée : g’(x) = f’(u(x)) × u’(x)
Notation différentielle : dg = g’(x)dx = f’(u) × u’(x)dx
Exemple : g(x) =

dP = nRT(−

1
nRT
PV
P
)dV = − 2 dV = − 2 dV = − dV
2
V
V
V
V

En posant u = 1+x2 et f(u)=1/u, on a g(x) = f(u(x)).
−1
u

Comme u ′(x) = 2x et f ′(u) = 2 , on obtient :

g′(x) =

BPS$

dg =

−2x
dx
(1 + x 2 )2
18

Différentielle*logarithmique*(2/2)$

Pour la fonction y=f(x) (avec y ≠ 0), la différentielle
logarithmique est égale à :

Utile quand on doit calculer la différentielle de produits, de quotients ou de
racines de fonctions.
Principe : On calcule le logarithme népérien de la valeur absolue de la fonction
à dériver puis sa différentielle et on en déduit la différentielle de la fonction.

1
dy
d(ln y ) = dy =
y
y

Exemple :

Ca =
d ln u =

−2x
(1+ x 2 )2

BPS$

17

Différentielle*logarithmique*(1/2)$

Remarque :

1
1+ x 2

1
du
u

C b × Vb
Va

avec Ca, Cb, Va, Vb > 0

ln C a = ln C b + ln Vb − ln Va
$ dC dV dV '
dC a dC b dVb dVa
=
+
−
⇒ dC a = C a × & b + b − a )
Ca
Cb
Vb
Va
Vb
Va (
% Cb

C’est toujours vrai car :

1
Si u > 0, d ln u = d ln u = du
u

(notion utilisée pour le calcul d’incertitude)

"1%
1
Si u < 0, d ln u = d ln (−u) = − $ ' du = du
# −u &
u
BPS$

19

BPS$

20

5&

7/10/15&

Fonction*bijective*(1/2)$
Une fonction f est bijective si, sur son domaine de définition D,
tout élément de l’ensemble d’arrivée (F) est image d’un et
d’un seul élément de l’ensemble de départ (E). Tout élément
de F a un et un seul antécédent dans E.

Fonctions*bijectives*et**
réciproques$

Chaque élément de E a son unique image dans F et chaque élément
de F a son unique antécédent dans E.
Exemple : f(x) = 3x +1
f (x) −1
Pour tout image f(x), on trouvera un antécédent unique x =
3
La fonction affine f est bijective
BPS$

BPS$

21

Fonction*bijective*(2/2)$

22

Fonction*réciproque*(1/2)$
Si une fonction f est bijective de E dans F alors il existe une
fonction f-1 bijective de F dans E telle que :

Contre-exemple : f(x) = x2

f  f −1 = f −1  f = identité
Cette fonction f-1 est la fonction réciproque de f.

Si E =  et F = +, x 2 est image de x et de − x
La fonction f n'est pas bijective.

y = f (x), f bijective alors x = f −1 (y) = g(y)
1
Attention f −1 (y) ≠ f (y)−1 =
f (y)
Si

Pour définir une fonction bijective, il
faut limiter l’ensemble de départ E.
Si E =  et F = ,
+

+

Les graphes de f et f–1 sont symétriques par rapport à la première
bissectrice (droite y = x). En effet, soit Cf la courbe représentative de f,
ensemble des points M(x, f(x))et Cf*1* * la courbe représentative de f@1,*
ensemble des points M’(f(x), f-1(f(x)). Les coordonnées de M’ s’écrivent
aussi (f(x),x) donc M’ est le symétrique de M par rapport à la première
bissectrice.

2

x est image de x seulement

La fonction f restreinte à  +est bijective.

BPS$

23

BPS$

24

6&

7/10/15&

Fonction*réciproque*(2/2)$
•  Exemple :

x 2 et

Dérivée*de*fonction*réciproque*(1/3)$

x

Soit y=f (x) une bijection, et on note sa fonction réciproque g = f −1
On rappelle que f −1 ( f (x)) = g( f (x)) = x par définition

f (x) = x 2

En utilisant la propriété de dérivation des fonctions composées, on obtient
g"( f (x)) × f "(x) = 1

f est une application  + →  + bijective
f −1 (y) = y

On a donc : g"(y) =

En effet on peut écrire :
f  f −1 (x) = f

( x) = x

f −1  f (x) = f −1 (x 2 ) =

Remarque
Il faut que cette division soit possible : une fonction bijective dérivable, de
fonction réciproque dérivable, ne peut donc avoir de dérivée nulle, elle est
strictement monotone (soit croissante soit décroissante)

( x ) = x car x > 0
2

Donc f  f −1 = f −1  f = identité
BPS$

1
f "(x)

25

Dérivée*de*fonction*réciproque*(2/3)$
•  Exemple : fonctions trigonométriques

BPS$

26

Dérivée*de*fonction*réciproque*(2/2)$
•  Dérivée de x = Arc tg(y)

Illustration avec tg x et Arc tg x

y = tg(x) ⇒ y" = 1+ tg 2 (x)
# 1 &
1
1
x" = ( Arc tg(y))" = %
=
(=
2
2
$ (tg(x))" ' 1+ tg (x) 1+ y

f (x) = tg x ; f est impaire, toujours croissante
f est π -périodique (tg(x)=tg(x + kπ ))
On limite le domaine de
" π π%
définition de f à l'intervalle $− ; '
# 2 2&
Sur cet intervalle, f est bijective
et admet une fonction réciproque

Remarque :
Les fonctions trigonométriques dont les domaines de définition sont
correctement restreints présentent des fonctions réciproques intéressantes
notamment pour résoudre des intégrales.

x = f −1 (y) = tg−1 (y) = Arc tg(y)
Remarque
Les deux asymptotes verticales x = ± π/2 de la fonction tg deviennent deux asymptotes horizontales
en y =*±*π/2 pour la fonction Arc tg.

BPS$

27

BPS$

28

7&

7/10/15&

Fonction*exponentielle*

(1/4)$

Définition
La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable
sur  telle que f’ = f et f(0) = f’(0)=1

Étude*des*fonctions*
exponentielle*et*
logarithme$

f (x) = exp(x) = e x avec exp(0)=1 et (exp x )! = exp x
La fonction exponentielle est une fonction continue
définie sur  , toujours strictement positive et qui
« transforme une somme en produit »

exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
Remarque
Propriétés de base des fonctions exponentielle et logarithme : voir rappels en
fin de cours
BPS$

29

Fonction*exponentielle*

BPS$

30

Fonction*exponentielle*

(2/4)$

Valeur de la constante e
Soit la constante e définie comme :
n
# 1&
e = lim n→+∞ %1+ ( = lim n→+∞ g(n)
$ n'

(3/4)$

Fonction réciproque
La fonction exponentielle est bijective, on lui associe donc
une fonction réciproque, c’est la fonction logarithme
népérien.

exp−1 = ln

y = e x ⇔ x = ln y

On peut constater grâce à ce
graphe que e ≈ 2,7
Cette constante e est le seul
nombre tel que exp(1)=e*$

BPS$

31

BPS$

32

8&