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Universit`a degli Studi di Salerno

Tesi di Laurea Triennale

Antonio Del Donno
Introduzione alla Teoria delle Stringhe

Facolt`a di S.M.F.N. - Dipartimento di Fisica

Relatore: Gaetano Lambiase
Co-Relatore : Massimo Blasone

Fisciano (SA) - 19/05/2016

Abstract

La Teoria delle Stringhe `e una delle pi`
u eccitanti e contemporaneamente controverse aree di studio della fisica teorica moderna.
Il presente lavoro di tesi si propone come introduzione alla teoria ed
ai suoi primi principi di base. Si inizia con il discutere brevemente
alcuni concetti fondametali della meccanica (classica) di una particella puntiforme, e si procede alla discussione della teoria nella sua
prima formulazione bosonica , che verr`a presentata sottolineando e
discutendo le pi`
u importanti implicazioni fisiche che ne emergono.
Aspetti di quatizzazione canonica e nella gauge di cono luce sono
stati altresi’ discussi.

Contents
1 Introduzione
1.1 Breve Storia della Fisica Moderna e della Teoria delle Stringhe
1.2 Le Interazioni Fondamentali ed il Modello Standard . . . . . .
1.2.1 I Blocchi Costituenti della Materia . . . . . . . . . . .
1.3 Perch`e Teoria delle Stringhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Richiami di Meccanica Classica e Relativistica per una Particella
Puntiforme
2.1 Il Principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Vincoli Olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 L’Azione Classica per una Particella Puntiforme . . . . . . . . . .
2.3 L’Azione Relativistica per una Particella . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Estensione a Metriche Pi`
u Generali . . . . . . . . . . . . .
3 Estenzione a Stringhe 1-Dimensionali
3.1 Dinamica Di una Stringa 1-dimensionale Classica . .
3.2 Dinamica di una Stringa 1-dimensionale Relativistica
3.2.1 Area Funzionale di una Superficie Spaziale . .
3.2.2 L’azione per una Stringa Relativistica . . . .
3.2.3 Derivazione delle Equazioni del Moto . . . . .
3.3 Parametrizzazioni Pi`
u Generali . . . . . . . . . . . .
3.3.1 La Parametrizzazione di τ . . . . . . . . . . .
3.3.2 La Parametrizzazione di σ . . . . . . . . . . .
3.4 Vincoli all’Equazione delle Onde . . . . . . . . . . . .
3.5 Soluzioni Generali all’Equazione delle Onde . . . . .
3.6 Risoluzione dell’Equazione delle Onde nella Gauge del
3.6.1 Calcolo della Massa . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Correnti Conservate e Momento Angolare . . . . . . .

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Cono di Luce 30
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4 Alcune Nozioni di Teoria Quantistica dei Campi
4.1 L’Equazione D’Onda di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Quantizzazione Di Campi Scalari Liberi . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Oscillatore Armonico Quantistico : Diagonalizzazione Algebrica
4.4 Quantizzazione del Campo Scalare di Klein-Gordon . . . . . . .
4.4.1 La Lagrangiana di Klein-Gordon : . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Regole di Commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Spazio degli Stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Energia dello Stato di Vuoto . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Rappresentazione nelle Coordinate del Cono di Luce . . . . . .
5 Quantizzazione della Particella Relativistica
5.1 La Particella Relativistica nella Gauge del Cono di Luce
5.2 Le Rappresentazioni di Schrodinger ed Heisenberg . . . .
5.3 Quantizzazione della Particella Relativistica . . . . . . .
5.4 Costruzione dello Spazio degli Stati . . . . . . . . . . . .

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6 Quantizzazione della Stringa nella Gauge del Cono di Luce
6.1 Coordinate di Stringa ed Operatori nel Cono di Luce . . . . . . .
6.2 Costruzione dell’Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Relazioni di Commutazione ed Evoluzione Temporale degli Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Espansione in Modi di Vibrazione Fondamentali . . . . . . . . . .
6.4.1 Stringhe Aperte ad Estremi Liberi . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Stringhe Chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Stringhe ed Oscillatori Armonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Lagrangiana ed Hamiltoniana del Sistema . . . . . . . . .
6.5.2 Equivalenza all’Azione di Nambu-Goto . . . . . . . . . . .
6.5.3 Equivalenza fra Stringhe ed Oscillatori . . . . . . . . . . .
6.6 Gli Operatori Trasversi di Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Invarianza Relativistica e Dimensioni Spazio-temporali . . . . . .
6.8 Lo Spazio degli Stati di Stringa Bosonica . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Spazio degli Stati per Stringhe Aperte . . . . . . . . . . .
6.8.2 Spazio degli Stati per Stringhe Chiuse . . . . . . . . . . .

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54
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7 Conclusioni

72

A Identificazione del Parametro T nell’azione di Nambu-Goto

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B Teorema di Noether e Correnti Conservate

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C Coordinate del Cono di Luce

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60
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1. Introduzione
1.1

Breve Storia della Fisica Moderna e della
Teoria delle Stringhe

Alla fine del diciannovesimo secolo si inizi`o a pensare che gli studi della fisica
fossero ormai giunti al capolinea . La meccanica Newtoniana era perfettamente
in grado di descrivere la dinamica di qualsiasi tipo di oggetto , dal moto di
rivoluzione di un pianeta , ad una mela che cade. Le equazioni di Maxwell
sommarizzavano in modo elegante la relazione tra cariche stazionarie ed in moto
e provvedevano anche una descrizione matematica completa per la radiazione
elettromagnetica. Boltzmann complet`o i suoi lavori relativi alla cinetica chimica
ed alle leggi della termodinamica , dando cos`ı una spiegazione quasi completa
delle reazioni chimiche e di un primo mondo microscopico .
Nel 1900 Lord Kelvin annunci`o : ” There is nothing new to be discovered
in physics right now ” non c’`e nulla di nuovo da scoprire nella fisica in questo
momento . Successivamente , qualche anno dopo , un brillante giovane fisico di
nome ”Albert Einstein” svilupp`o la sua teoria della relativit`a ristretta : un lavoro
destinato a rivoluzionare le leggi della fisica e la nostra concezione della realt`a.
Nella teoria di Einstein , spazio e tempo non sono pi`
u considerati come oggetti
rigidi , ma vengono rimpiazzati da una struttra pi`
u flessibile , dinamica , nota
come spazio-tempo . Quasi parallelamente alla formalizzazione della relativit`a
ristretta , Max Plank ed Einstein svilupparono la ”Teoria Quantistica” , cambiando radicalmente la visione del mondo microscopico . Albert Einstein stesso
non fu’ mai in grado di accettare completamente la sua teoria a causa delle implicazioni non deterministiche direttamente interessate . Meccanica Quantistica e
Relativit`a Ristretta arrivarono sulla scena quasi parallelamente , e il primo istinto
naturale f`
u di cercare di unificare le due teorie , nel tentativo di formalizzare una
”Meccanica Quantistica Relativistica” . Suddetta teoria anticip`o l’esistenza delle
antiparticelle, identiche alla particelle di materia ordinaria per massa , ma con
numeri quantici additivi opposti . Con il passare del tempo la meccanica quantistica relativistica appariva come un’ottima candidata per la descrizione accurata
e profonda di tutti i fenomeni naturali fino ad ora osservati . Tuttavia , non
molto dopo la formalizzazione di suddetta teoria , Einstein complet`o il suo lavoro
pi`
u importante : la teoria della Relativit`a Generale. In questa teoria la gravit`a
non `e pi`
u considerata come una forza , ma come curvatura dello spazio-tempo
gi`a descritto dalla relativit`a ristretta. Ancora una volta l’istinto naturale f`
u di
cercare l’unificazione . Tuttavia una teoria quantistica della gravit`a risult`o ”fuori
portata”. La ”quantizzazione” del campo gravitazionale portava inevitabilmente
a risultati non fisici. Meccanica Quantistica e Relativit`a Generale furono i due
grandi pilastri scientifici del ventesimo secolo :
• La Meccanica Quantistica fornisce una descrizione completa del mondo microscopico (moto delle particelle elementari , decadimenti radioattivi e propriet`a fondamentali della materia);

5

• La Relativit`a Generale descrive il mondo macroscopico , dal moto dei pianeti
e delle galassie , all’evoluzione del cosmo.
Le due teorie , che prese singolarmente funzionano alla perfezione , sono tra di
loro incompatibili.

1.2

Le Interazioni Fondamentali ed il Modello
Standard

Sono passati anni dalla formalizzazione delle due teorie appena accennate. Oggi
la nostra comprensione del mondo, sia microscopico che macroscopico , `e basata
sul Modello Standard delle particelle e delle interazioni , che descrive ed identifica
4 differenti forze fondamentali :
• la forza Gravitazionale
• la forza Elettromagnetica
• la forza Debole
• la forza Forte
riportate nell’ordine in cui sono state osservate sperimentalmente per la
prima volta.
La forza di gravit`
a ,come precedentemente discusso , `e stata descritta
dapprima utilizzando la meccanica Newtoniana , dove viene interpretata
come forza a tutti gli effetti , e successivamente dalla Relativit`a Generale
, dove non viene pi`
u interpretata come forza , ma bens`ı come propriet`a
topologica dello spazio-tempo.
La forza elettromagnetica , inizialmente descritta dalla teoria classica
di Maxwell, `e stata successivamente spiegata e correttamente interpretata
con la formulazione della prima teoria quantistica relativistica di campo :
l’Elettrodinamica Quantistica (QED).
La forza debole , responsabile dei processi di decadimento radioattivo
β , deve la sua prima ed elegante descrizione analitica ad Enrico Fermi.
Successivamente alcuni ricercatori furono in grado di trovare uno schema
comune in grado di unificare le forze deboli con le forze elettromagnetiche
, portando quindi a formulare la cosiddetta ”Teoria Elettrodebole”.
La quarta ed ultima forza o interazione fondamentale , `e la forza forte .

La forza forte `e responsabile della stabilit`a dei protoni , dei neutroni
, e di diverse altre particelle composte in generale note come Adroni. I
costituenti elementari di tali stati composti vengono detti Quarks. Tali
Quarks sono confinati a costituire tali stati composti a causa delle propriet`a
stesse dell’interazione forte.
La teoria quantistica descrittiva dell’interazione Forte `e detta Cromodinamica Quantistica , che affiancata dalla Teoria Elettrodebole `e da considerarsi
fra i pi`
u importanti risultati contenuti nel Modello Standard .

1.2.1

I Blocchi Costituenti della Materia

Allo stato attuale delle conoscenze , il mondo microscopico `e caratterizzato
da due classi separate di particelle , classificate a seconda del loro spin in
• particelle di materia (spin semi-intero 21 , 32 , . . . ) , ovvero fermioni
• particelle di interazione (spin intero 0, 1, 2, . . . ) , ovvero bosoni.
Le particelle di materia sono a loro volta suddivise in Leptoni e Quarks.
Elettroni , Muoni e Tauoni sono leptoni , e cosi i corrispettivi neutrini ad essi
collegati. Si hanno quindi un totale di 12 leptoni :
• elettrone → antielettrone

neutrino elettronico → antineutrino elettronico

• muone → antimuone

neutrino muonico → antineutrino muonico

• tauone → antitauone

neutrino tauonico → antineutrino tauonico

I Quarks sono identificati in base a due numeri quantici : il Sapore ed il Colore.
Fino ad ora sono stati osservati 6 differenti sapori :
(up, down)

(charme, strange)

(top, bottom)

a ciascuno dei quali `e attribuibile un colore Red,Green o Blue.
Esistono di conseguenza 6 · 3 = 18 quarks di materia e altrettanti di antimateria. Il numero complessivo di particelle fermioniche elementari `e quindi 48 (36
quarks + 12 leptoni).
Come accennato , le particelle responsabili delle interazioni fra fermioni sono
bosoni. All’interazione elettromagnetica , ad esempio , `e associato il fotone .
Leggermente pi`
u complicata `e l’interazione debole , alla quale sono associati 3
differenti bosoni di interazione : il W + , il W − e lo Z 0 . All’interazione forte ,
infine , sono associati 8 bosoni di massa nulla , detti Gluoni.
Complessivamente, il Modello Standard contiene 48 particelle di materia e 12
particelle di interazione . Nella pagina successiva segue un’illustrazione schematica dei mattoni alla base della teoria del modello standard , incolonnati per gruppo
di appartenenza.

Figure 1.1: Il Modello Standard delle particelle elementari

1.3

Perch`
e Teoria delle Stringhe

Dal punto di vista storico la teoria fu inizialmente introdotta per spiegare l’interazione
forte fra adroni . L’idea cruciale alla base, `e che particelle specifiche corrispondano
ad altrettanto specifici stati quantistici di oscillazione di stringhe . Con una descrizione del genere un singolo oggetto 1-dimensionale ha l’abilit`a di descrivere le
differenze fra la miriade di particelle osservate sperimentalmente . Tuttavia , dieci
anni dopo la prima proposta della teoria delle stringhe venne formalizzata la cromodinamica quantistica (QCD) , una nuova teoria che si proponeva esattamente
lo stesso obbiettivo : una descrizione accurata dei meccanismi dell’interazione
forte. Di seguito , anche a causa di alcuni problemi tecnici annessi , la teoria
delle stringhe venne temporaneamente abbandonata dalla comunit`a scientifica
. Oggi la teoria `e considerata fra le pi`
u probabili in grado di fornire una descrizione unificata delle 4 interazioni fondamentali precedentemente accennate .
In particolare , non sono presenti problemi di rinormalizzabilit`a con l’interazione
gravitazionale , poich`e essa `e naturalmente inclusa nella teoria (sono previsti stati
vibrazionali corrispondenti a particelle di massa nulla e di spin 2 , identificabili
con un ipotetico gravitone) .
Lo scopo del presente lavoro di tesi `e di offrire una panoramica introduttiva della teoria delle stringhe , in quella che `e nota come formulazione bosonica.
Come verr`a successivamente mostrato , tale formulazione non `e in grado di ricondurre a stati quantistici identificativi di particelle di materia , e dunque non sar`a
sufficiente a provvedere ad una descrizione completa dei costituenti fondamentali dell’universo. La risoluzione di questo problema tuttavia esula dal contesto ,
poich`e situata ad un livello di competenze superiore rispetto a quello della presente opera che si propone come conclusiva di un ciclo di studi triennale.


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