This PDF 1.7 document has been generated by Nitro Pro / , and has been sent on pdf-archive.com on 19/07/2016 at 23:41, from IP address 186.86.x.x.
The current document download page has been viewed 585 times.
File size: 74.8 MB (181 pages).
Privacy: public file
Sistema de Números Reales
11:11:11:11111111:':jlllllljll
El sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos,
es el resultado
de
una enorme cantidad de reflexión por parte del hombre.
Los enteros positivos, es decir: 1,2,3, ... , pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra
civilización.
Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan
tempranas como es 300 A.c.
Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos
con los cuales podían efectuarse las operacíones de adición y multiplicación,
aunque la
división no se desarrolló por completo.
Estos antiguos
pueblos
usaron, ciertas fracciones,
tenemos
pues,
que los números
racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número
racional es cociente de dos enteros).
Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo
del aritmética
y el
álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios.
Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de
que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo
de los matemáticos.
Nuestro sistema decimal con los números
llamados
arábigos
fue inventado
por los
Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de
textos Arabes. Sin embargo, ,la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho
en llegar.
2
Eduardo Espinoza Ramo s
La espera fue aun mayor para la aceptación
de los números negativos,
incluso hasta
finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones.
La aritmética y el álgebra se desarrollaron
bajo él estimulo de problemas
prácticos en
contradicción de' la' geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción
intelectual yen un modelo del sistema lógico.
Sin embargo. con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente
irracionales
fundamentación
Disponemos
.fi. tt ; V5 ,
tales como
tuvieron
que sustentarse
sobre
los números
una firme
lógica. esto se logro en la ultima parte del siglo XIX.
ahora de un sistema de axiomas que describen completamente
reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades
los números
de los números
reales.
Esto es el método usado en la geometría
proposiciones.
Euclidiana, se acepta un cierto número de
a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas
axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría.
Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones
adición (+) y multiplicación
(.) (leyes de composición
intema) y una relación de orden
denotado por "<". es decir:
1° LEY DE COMPOSICIÓN
INTERNA:
+: RxR---.;R
(a.b) ---.;
+(a,b)
=a+b
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
R => a + b
~I
Cerradura:
V a, b
Al
Conmutatividad:
a -+- b = b + a,
A2
Asociatividad:
(a + b) +
E
C
V a.b
E
E
= a + (b + e),
R
R
V a.b.c
E
R
Sistema de Números Reales
3
A3
Identidad aditiva:
Va
E
R. 3 O
A4
Opuesto Aditivo:
Va
E
R. 3 - a
r
R/a+O
E
E
=O+a=a
R. yes único, tal que: a + (-a)
LEY DE COMPOSICIÓN' INTERNA:
-:
= (-a) + a = O
RxR~R
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
M o Cerradura:
V a, b s R ~
MI Conmutativa:
a.b
M 2 Asociativa:
(a.b).c
= b.a,
M 3 Identidad Multiplicativa:
a.b
V a,b
= a.(b.c),
Va
E
E
E
R
R
v a.b,c
R, 3
E
R
1 *- O. l s R, tal que:
l.a
=a
M 4 Inverso Multiplicativo:
3° RELACIÓN DE ORDEN:
01
V a.b
E
R una y solamente una de las relaciones se cumple a < b, a
= b, b < a (ley de
tricotomía).
O2
Sí a < b Y b < e entonces
03 Si a < b ~
a < e (transitiva).
a + e < b+ e, V a,b,c
E
R.
04 Sí a < b. e > O entonces a.c < b.c
OBSERVACIÓN:
i)
A los números ~ y Q los llamaremos sumando. y al número a + b suma de
ii)
En a.b; a los números
ª
y Q.
y Q los llamaremos factores y al número a.b producto de
Q.
iii)
ª
El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único.
ª
y
Eduardo Espinoza Ramos
4
Si a y b pertenecen
-ª
sustituir al elemento
a)
b)
Sí a
a un
= a.b + a.e,
(a + b).c = a.e + b.c,
a+e
h
por el elemento
a.(b + e)
= b entonces
conjunto B y si a
= b.
20.
Sí a
V a, b. e
E
R
distributiva a izquierda
Va, b, e
E
R
distributiva a derecha
= b.¡,. e, p.ara roooa,
b. e
E
= b, por hipótesis.
a + e = a + e, propiedad
a
reflexiva.
= b entO])lcesa.e = b.c. pama lOilID a, b. ~ E R
20.
= b pOlihipótesis.
a,c = a.e, propiedad
1e
a+
20.
a+c+f-cj=
Ie
a
C
= b + c.
en toda
Iídl'exiva.
por hipótesis.
b e c+f-c),
r-
relación
se puede
sin que altefe el significado de la relación.
Demosuaóón
1e
entonces
Y' teonema l.
R
5
Sistema de Números Reales
= b + (e + (-e»,
3°
a + (e + (-e»)
4°
a + 0= b + U, 3° axioma A4
Sean a.b,c
E
2° y A2
R; Si a.e = b.e y e"# O. entonces a = b
Demostración
a.e = b.c,
... por hipótesis.
e "#0.
. .. por hipótesis
1
3. -
E
e
R/ (a.e).-
1
1
e
e
l
e
= (b.e).-,1
e
... 3° Y axioma M2
a.(c.-) = b.(c.-),
a.l
= b.l ,
... 4° Y axioma M4
a= b,
DEFINICION.-
... 5° Y axioma M)
Para cualquier números reales
a.b
E
R, definiremos a la sustracción
de números reales por:
DEFINICION.-
Para cualquier números reales a.b
cociente de números reales por:
111¡IIIIIIII¡i~I¡111
E
R. donde b "# O. definiremos
al
Eduardo Espinoza Ramos
6
1::I~I:I::::::::'::::::_I;IJIJII':III.íll.l~i:::::::1
o
Para cada número real a
R, demostrar que a + a
E
= 2a
Demostración
(3)
= a.l
1°
a
Por M 3
2°
a + a = a.l + a.l
1° Y axioma lA
3°
a + a = a.(l + 1)
2° Y axioma 1 .a
4°
a + a = a.2
5°
a+a
= 2a
3° y por M 3
4° y por M
Para cada número real a
3
R, demostrar que a.O
E
=O
Demostración
0
l°
a.O
= a.O + ()
Por A3
2°
a.O
= a.O + (a + (-a»
1° Y por A4
3°
a.O
= (a.O + a) + (-a)
2° y por Al
4°
a.O
= (a. O + a.l)
3° y por M3
5°
a.O
= a(O + J) + (-a)
4° y por axioma 1.3.a
6°
a.O
= a.l
5° y por A3
7°
a.O
= a + (-a)
6° y por M3
8°
a.O
=O
T" y por A4
+ (-a)
+ (-a)
Para cada número real a
E
R, demostrar que:
-a
= (-I).a
Demostración
Basta demostrar que a + (-l)a
= O, porque
(-1).a. y-a son inversos aditivos de a por A4
7
Sistema de Números Reales
Luego
a + (-I)a = l.a + (-1 )a,
por axioma 1.3
a + (-l)a = (l + (-1 »a,
por axioma
-lib.
a + (-l)a = O.a,
a+(-l)a=O,
por ejercicio 2.
..
o
Para cada número real a
E
-a=(-l)a
R. demostrar que -(-a) = a
Demostración
o
1°
a + (-a) = O
... por A4
2°
(-a) + (-(-a» = O
... por A4
3°
(-a) + (-(-a» = a + (-a)
1° ,2°
4°
-(-a) = a
3° y por teorema 1.6
Para cada número real a.b
E
R, demostrar que (-a).(-b) = a.b
Demostración
@
1°
(-a).(-b) = [(-l)a][(-l)b]
por el ejercicio 3
2°
(-a).(-b) = (-l)[a«-l)b)]
l° y M2
3°
(-a).(-b) = (-l)[(-l)a].b
2° y MI' M2
4°
(-a).(-b) = (-l)[(-a)].b
3° Y ejercicio 3
5°
(-a).(-b) = [(-l)(-a)].b
4° y M2
6°
(-a).(-b)=a.b
5° Y ejercicio 4
'Ii
a.b
E
R. demostrar que a.(-b) = -(a.b)
Demostración
1°
a.t-b)
= a.«-l
).b)
. .. por ejercicio 3
Eduardo Espinoza Ramos
(2)
2°
a.(-b) = (a.(-l».b
3°
a.(-b)
= «-l)a).b
4°
a.(-b)
= (-l)(a.b)
3° Y por M2
5°
a.(-b)
= -(a.b)
4° Y ejercicio 3
6°
-(a-b)
= (-l)(a.b)
Por el ejercicio 3
7°
-(ab)
= «-l)a).b
8°
-(ab)
= (-a).b
9°
a(-b)
= -(ab) = (-a).b
V a.b
E
1° Y por M]
7° Y ejercicio 3.
R, demostrar que a.(b - e)
= a.b -
a.c
Demostración
l°
a.(b - e)
= a.(b + (-e»
definición de sustracción
2°
a.(b - e)
= a.b + a.(-c)
] ° y axioma l.3.a
3°
a.(b - e)
= a.b + (-(a.e»
2° ejercicio 6
4°
a.(b - e)
= a.b -a.c
3° definición de sustracción
Para a
E
R, demostrar
. a:t: O ,entonces
a -1
SI
=_.1
a
Demostración
por M3
1°
0-1
_1
a
= l.(a-l)
1° Y MI
1
=-
'"
2° definición de división
a
•
r
9
Sistema de Números Reales
(2)
a.b
\¡¡I
E
R, a.b;t: O, demostrar que (a.b)-1 = a--1.b-1
Demostración
1°
1
(a.b).-=l
(ab)
... por M4
(a.b).(ah)-1
1° y definición de división
=l
(a.b).(a-] .h -]) = (a).(a) -] .(b).(b
(a.h).(a
-]
.b
(a.b).(a--1.b--1)
1
1
1
a
b
) = (a.-).(h.-)
... por M2
-i )
'"
M 2 Ydefinición de división.
= (1)(1) = I
8°
\¡¡I
}O,
. .. 7° Y teorema 1.7
a.b.c.d
E
R, b;t: O, d;t: O, demostrar que:
a C
a.d +bc
¡;+-;¡
=
b.d
Demostración
... por definición de división
-
a e iaL
1
(d-1
-+-=
ao -i ) ..(d -)+
c.
) ..(b -)1
b d
d
b
}O
!!.. + ~
)0
h
d
= (a.h -t ).(d.d-1)
+ (c.r1
).(b.b
...
-1 )
l° Y por M4
... 2° Y definición por división.
Capítulo 1_1.pdf (PDF, 74.8 MB)
Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..
Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)
Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog