TEORIA .pdf

File information


Original filename: TEORIA.pdf

This PDF 1.5 document has been generated by TeX / MiKTeX pdfTeX-1.40.16, and has been sent on pdf-archive.com on 24/07/2016 at 14:03, from IP address 87.207.x.x. The current document download page has been viewed 466 times.
File size: 209 KB (11 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


TEORIA.pdf (PDF, 209 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


O czasoprzestrzeni w skali Plancka.
Tomasz Kobierzycki
24 lipca 2016

1

Spis treści
1 Czasoprzestrzeń skwantowana.

3

2 Równanie grawitacyjne dla pojedyńczego ciała.

4

3 Równanie grawitacji dla n ciał.

5

4 Probalistyczne ujęcie pomiaru.

6

5 Gęstość energii.

7

6 Probalistyczne Pole grawitacyjne.

8

7 Osobliwość- metoda dynamiczna rozwiązywania równania.

9

8 Geometria - osobliwości i pola grawitacyjnego.

10

9 Podsumowanie.

11

2

1 Czasoprzestrzeń skwantowana.
Czas i przestrzeń można skwantować zakładając że najmniejszą mozliwą długością jest
długość Plancka a czasem , czas Plancka. Na początku rozważając ciało bez przyśpieszenia, zmiana transfomracji Lorentza nastąpi w taki sposób:
"

t0
x(t + tp ) − x(t)
x =
x − ct
dt
tp

#!

0

t0
x(t + tp ) − x(t)
x
t =
t−
dt
lp

(1)

!

0

(2)

Gdzie dla fotonu, x0 = t0 = 0 co oznacza że foton zawsze posiada wszystkie zdarzenia
w teraźniejszości. Foton jest dzięki temu nielokalny. Dla dowolnej cząstki posiądającej
masę x0 > 0, t0 > 0. Zmianę czasu (dt) można zapisać jako:
dt = x(t + tp ) − x(t)

(3)

Czas trwania zdarzenia, czas początkowy dla układu nieporuszjącego sie to t0 , daje nam
t0
= γ maksymalnie wynosi ona ttp0 , co oznacza
to limit wydłuzenia osi czasu - ponieważ dt
że najmniejszą wartością mierzalną jest czas Plancka. Należy pamiętać że jest to zasada
która mówi o cząstkach bez przyspieszenia. Prędkość tutaj jest równa:
x˙ =

x(t + tp ) − x(t)
tp

(4)

Dzieje się tak ponieważ pochodna nie może mieć w sensie matematycznym wartości
mniejszej niż czas Placka, badając więc zmiane w czasie Plancka otrzymujemy pochodną
połozenia względem czasu. Gdy opisujemy ruch w czasoprzestrzeni - potrzebujemy paremetru według którego zmienia się funkcja połozenia dla danej współrzednej. Takim
parametrem jest czas własny:
Z

a

x (τ ) =

mtp
X xa (t + tp ) − xa (t)
dt
dt
=
γ(t) t=0
t0

(5)

Gdzie znowu, czas własny nie może dla zdarzenia które trwa t0 nie może wynośić mniej
niż t2p dzieje się tak ponieważ przyrost czasu wynosi mimalnie czas Plancka.Energia jest
powiązana z czasem własnym w następujący sposób:
E a (τ ) =

~
xa (τ )

(6)

Dla fotonu istnieje czas własny który jest powiązany z długością fali:
xa (τ ) =

Z

mlp

X 1 xa (λ + lp ) − xa (lp )
1 dλ
=

c γ(t) λ=0 c
l0

(7)

Z czego wynika że pomimo że foton jest nielokalny posiada energie. Energia ta jest
dobrze określona.

3

2 Równanie grawitacyjne dla pojedyńczego ciała.
Gdy ciało przyśpiesza sprawa jest znacznie bardziej skomplikowana. Einstein w swojej
ogólnej teorii względności uznał że grawitacja jest efektem zakrzywienia czasoprzestrzeni,
jednak tutaj przedstawie inny sposób patrzenia na grawitacje. Zaczynając od wprowadzenia wektora r który jest równy :

 1
x (τ )
x2 (τ )


ra = 

 ... 

(8)

xa (τ )

Oraz tensora który po przemnożeniu przez niego da nam odległość do kwadratu:
Λab dr a = ds2b (τ )

(9)

ˆ
Gdzie tensor ten można rozłożyć na iloczyn tensora energii oraz operatora R:
ˆ ab
Λab = RT

(10)

Co daje nam finalnie dla układu z jednym ciałem:
ˆ ab dr a = ds2b (τ )
RT

(11)

ˆ jego postać jest równa :
Zaczynajać od operatora R
(

ˆ=
R

a=b

to

c

4 (x

a (τ ))3

~γ 2 (τ )

dr

a

a 6= b

;

to

2 (x

−c

a (τ ))3

~γ 2 (τ )

)

dr

a

(12)

Natomiast tensor energii jest równy:


Tab = a = b

to

~
2
c xa (τ )

;

a 6= b

~
a
x (τ )

to



(13)

Co pozwala nam finalnie zapisać wzór na działanie grawitacji dla jednego ciała:


1

2

2

2

a

2



c2 (xγ 2(τ(τ))) (dx1 (τ ))2 − c2 (xγ 2(τ(τ))) (dx2 (τ ))2 ... − c2 (xγ 2(τ(τ))) (dxa (τ ))2



...
ds2b (τ ) = 


a
2
2
2
1
2
c2 (xγ 2(τ(τ))) (dxa (τ ))2 ... − c2 (xγ 2(τ(τ))) (dx2 (τ ))2 − c2 (xγ 2(τ(τ))) (dx1 (τ ))2

(14)

Gdzie równanie te jest prawdziwe dla a = b, gdzie a i b oznaczaja liczbe wymiarów.
Prawa te są takie same dla dwóch wymiarów jak i dla dowolnej ich liczby. Jest to
odziaływanie grawitacyjne pojedyńczego ciała. Dla n ciał wzór się komplikuje:
ˆ abcd..nm dr ac...n = ds2
RT
bd...m (τ )

4

(15)

3 Równanie grawitacji dla n ciał.
Żeby uzyskać równanie dla n ciał potrzeba zapisać równanie z porzedniego rozdziału w
innej formie. Przemnożmy obie strony równanie przez pochodną po d2 s2bd...m (τ ):
d
d2 s2bd...m (τ )
Dalej przez pochodną

ˆ abcd..nm dr ac...n = 1
RT

(16)

d2 s2bd...m (τ )
dr ac...n

ˆ abcd..nm
d2 s2bd...m (τ ) dRT
d2 s2bd...m (τ ) = 0

dr ac...n
ds2bd...m (τ )

(17)

Dzielac obie strony przez d2 s2bd...m (τ ) otrzymam:


ˆ abcd..nm
dRT
=0
d2 s2bd...m (τ )

(18)

dr ac...n −

d2 s2bd...m (τ )
=0
ˆ abcd..nm
dRT

(19)

1
dr ac...n
Podnoszę równanie do potęgi -1:

Wyciągam dr ac...n przed nawias:
"

dr

ac...n

#

d2 s2bd...m (τ )
=0
1−
ˆ abcd..nm dr ac...n
dRT

(20)

Żeby lepiej zrozumieć te równanie zacznę od przykładu dwóch ciał w czterech wymiarach.
Zapisujać to matemacyznie otrzymam:
#

"

dr

d2 s2bd (τ )
=0
1−
ˆ abcd dr ac
dRT

ac

(21)

Gdzie metrykę dla czterowymiarowej czasopstrzenni można zdefiniować jako iloczyn tensorowy współrzednych (dla dwóch ciał), żeby to zrobić muszę zapisać metrykę w postaci
macierza:
ds2 (τ ) =

4 h
X

i

ds2 (τ )A ⊗ ds2 (τ )B =

i=j=1

4 h
X

ds2 (τ )A (ds2 (τ )B )T

i1
2

(22)

i=j=1

Gdzie dolne indeksy oznaczają ciało pierwsze (A) oraz drugie (B). Dla N ciał, oraz m
wymiarów metryka będzie iloczynem tensorowym :
2

ds (τ ) =

m h
X

ds2 (τ )A ⊗ ds2 (τ )B ... ⊗ ds2 (τ )N

i=j=1

5

i

2
2N

(23)

4 Probalistyczne ujęcie pomiaru.
Pojedyńczy kwant energii może się poruszyć w czasie t = tp w czeterech możliwych kierunkach dla dwuwymiarowej czasoprzestrzeni. Dla czterech wymiarow czasoprzestrzeni
liczba ta wynosi, aż 16 możliwych ruchów co daje nam ogólny wzór na pierwszy ruch
kwantu enenergii:
Nm = 2am−1 ; N2 = 4
(24)
Gdzie m to liczba wymiarów, gdy rozważymy drugi ruch , musimy załozyć że kwant może
się też poruszyć do tyłu, co daje nam dodatkowo dwa do tej liczby dla dwóch wymiarów
lub do przodu gdy poruszał się do tyłu co daje nam 4 dodatkowe ruchy dla dwóch
wymiarów. Dla czterech wymiarów jet to 4*2*2=16 dodatkowych ruchów. Wprowadząc
poprawkę do poprzedniego wzoru otrzymam wzór na ogólny:
Nm = 4am−1 ; N2 = 4

(25)

Gdzie wzór ten nie uwzględnia ilości ruchów, ponieważ dla trzeciego ruchu wynosi on
dokładnie liczbe Nm ∗ 2 co daje nam wzór potęgowy z użyciem dwójki a raczej szereg:
S(n, m) =

τ
X

2m−2 4n + 2n(m−2)

(26)

n=1

Dzięki temu możemy policzyć prawdopodbieństwo znalezienia cząstki w stanie n dla m
wymiarów:
Pb
Z b
2m−2 4n + 2n(m−2)
Ψ(τ, m)dτ = Pn=a
≤1
(27)
τ
m−2 4n + 2n(m−2)
a
n=0 2
Należy pamiętać że w stanie n cząstka może być w wielu możliwych położeniach i co
za tym idzie dla danego τ prawdopodbieństwo zalezienia cząstki w pojedyńczym stanie
wynosi:


Z τ
τ
2m−2 4 + 2(m−2)
X
Ψ(τ, m)dτ =
≤1
(28)
2m−2 4n + 2n(m−2)
τ −tp
n=0
Ostatnim parametrem w równaniu jest energia, prawdopobieństwo zanalezenia obiektu
w danym stanie energii zależy od jej położenia, dla przykładu jeśli w pierwszym ruchu
energia wynosi E0 (τ ) w drugim ruchu im więcej czasu upłynie tym większa szansa że jest
ona równa E0 (τ ), gdy dochodzimy do skali Plancka szansa rośnie na to że energia wynosi
Emax (τ ) gdzie energia maksymalna to energia zerowa podzielona przez czas Plancka.
Składająć to wszystko do równania otrzymam:
Z b
a

Rb
E0a (τ )
b
π
τ =a tp cos 2 1 − a Ψ(τ, m)dτ + tp
hP
i
Rn
E0a (τ )
n
π
cos
(1

Ψ(τ,
m)dτ
+
t
)
p
τ =0 tp
τ =0
2
hP

Ψ(E a (τ ), m, τ )dτ =

 

i

(29)

Co oznacza że energia cząstki nie jest określona definitywnie im bardziej chcemy przybliżyć się do skali Plankca tym większa szansa że energia cząstki rośnie, im bardziej
odalamy od tej skali tym większa szansa że cząstka posiada energia równą swojej energii
zerowej.

6

5 Gęstość energii.
Gęstość energii jest dość istotnym parametrem, gdy badamy ją można stworzyć pole
grawitacyjne. Zacznijmy od tego by wyznaczyć gradient energii pomnożony przez wektor
rac... (τ ):
1
∇Tabcd... rac... (τ ) = drbd... (τ )
(30)
~
Gdzie ∇Tabcd... jest równe:
∂τ



∇Tabcd... = ~



∂xac... (τ )

τˆ

(31)

Ponieważ posiadamy gęstość energii mogę ją wkleić do głównego równania, co uprości
je, żeby to zrobić potrzeba wykonać troche prostych przekształceń matematycznych:
"

#

1
d2 s2bd...m (τ )
∇Tabcd... rac... (τ ) 1 −
=0
ˆ abcd..nm 1 ∇Tabcd... rac... (τ )
~
dRT
~

(32)

Najpierw przenniosę ~1 ∇Tabcd... rac... (τ ) na prawą stronę równania:
"

#

1
d2 s2bd...m (τ )
= − ∇Tabcd... rac... (τ )
1−
1
ˆ abcd..nm ∇Tabcd... rac... (τ )
~
dRT
~

(33)

Potem wyłącze przed nawias ~1 ∇Tabcd... rac... (τ ):
1
∇Tabcd... rac... (τ )
~

"

#

1
d2 s2bd...m (τ )
= − ∇Tabcd... rac... (τ )

1
ac...
ˆ
~
(τ ) dRTabcd..nm
~ ∇Tabcd... r
1

(34)

Podziele obustronnie przez ~1 ∇Tabcd... rac... (τ ):
d2 s2bd...m (τ )
= −1
ˆ abcd..nm
dRT

(35)

ˆ abcd..nm
1
dRT
∇Tabcd... rac... (τ ) − 2 2
= −1
~
d sbd...m (τ )

(36)

1
1
ac... (τ )
~ ∇Tabcd... r



Oraz podniose do potęgi -1:

Przenosze na prawą stronę równania czynnik

ˆ abcd..nm
dRT
d2 s2bd...m (τ )

oraz przemnoże całość przez ~:

ˆ abcd..nm
dRT
∇Tabcd... rac... (τ ) = ~ −1 + 2 2
d sbd...m (τ )

!

(37)

Dziele obustronnie przez rac... (τ ):
∇Tabcd... = −

~
rac... (τ )

ˆ

+

~dRTabcd..nm
d2 s2bd...m (τ )rac... (τ )

Co daje nam maksymalnie gęstość energii równą − t~p + ~.

7

(38)

6 Probalistyczne Pole grawitacyjne.
By opisać grawitacje jako pole, trzeba uwzględnić to że jest to pole w któym istnieje
pewnę prawdopodobieństwo bycia w jakimś stanie. nie ma definitywnych stanów, wynika
to z równania teorii, w zależności od liczby wymiarów i stanów istnieje wiele rozwiązań.
Dlatego korzystając z równania z rozdziału czwartego, chce miec nie tylko prawdopodbieństwo zanlezenia cząstki ale też energie związaną z tym prawdopodbieństwem, z czego
mogę wyliczyć poźniej możliwe położenie.
Z b

Ψ(E(τ ), m, τ, ∇E(τ ))dτ =

Z

Z

Ψ(E(τ ), m, τ )dτ
Vn

a

∇E(τ )dτ

(39)

Vn

Ponieważ możemy podzielić taką całke na pojedyńcze odcinki o długości czasu Plancka
da nam to dośc prostą sumę:
Z

mtp

Z

Vn

X

∇E(τ )dτ =

Ψ(E(τ ), m, τ )dτ
Vn

Ψ(E(τ ), m, τ )∇E(τ )

(40)

τ =0

Taki zapis jest dość nieścisły, pamiętajmy że w równaniu występuje tensor energii nie,
funkcja dlatego trzeba te równanie zapisać w pełnej formie:

Vn

mtp

Z

Z

Ψ(Tabcd... (τ ), m, τ )dτ

Vn

∇Tabcd... (τ )dτ =

X

Ψ(Tabcd... (τ ), m, τ )∇Tabcd... (τ ) (41)

τ =0

Ostatnim etapem jest wyznaczyć trajketorie dla danej cząstki, nie jest to prostę, ponieważ mamy sume ogromnej ilości ruchów. Zaczynając od przykłądu jednej cząstki,
równanie upraszcza się do:

Vn

mtp

Z

Z

Ψ(Tab (τ ), m, τ )dτ

Vn

X

∇Tab (τ )dτ =

Ψ(Tab (τ ), m, τ )∇Tab (τ )

(42)

τ =0

Rozpisując te równanie otrzymam:
Rb
E0a (τ )
b
π
τ =a tp cos 2 1 − a Ψ(τ, m)dτ + tp
hP
i
Rn
E0a (τ )
n
π
τ =0
τ =0 tp cos 2 (1 − τ =0 Ψ(τ, m)dτ + tp )
mtp

hP

 

i

X

ˆ ab
~dRT
~
− a
+ 2 2
r (τ ) d sb (τ )ra (τ )

!

(43)

By otrzymać przemieszczenie wystarczy pomnożyć gradient energii przez trajektorie,
oraz wyznaczyć całkę
Z
V

n

∇Tab (τ )ra (τ )dτ =

Z
V

dra (τ )dτ

(44)

n

Całka ta jest równa:
Z

mtp
a

dr (τ )dτ =
Vn

X
τ =0

!

ˆ ab
~dRT
~
ra (τ )
− a
+ 2 2
r (τ ) d sb (τ )ra (τ )

8

(45)

7 Osobliwość- metoda dynamiczna rozwiązywania równania.
Są dwa sposoby podejścia do rozwiązywania równania tej teorii. Pierwszy jest geometryczny, drugi mówi o gęstości energii. Przedstawie tutaj najpierw sposób geometryczny.
Zapisując jeszcze raz równanie :
"

dr

ac...n

#

d2 s2bd...m (τ )
1−
=0
ˆ abcd..nm dr ac...n
dRT

(46)

Z tego równania wynika że:
ˆ abcd..nm dr ac...n
d2 s2bd...m (τ ) = dRT

(47)

ˆ różcniczka tego operatora wynosi:
Istotna tutaj jest zmiena operatora, dR
(

ˆ=
dR

a=b

(dxa (τ ))3 a
c4
dr
~dγ 2 (τ )

to

;

a 6= b

2 (dx

−c

to

a (τ ))3

~dγ 2 (τ )

)

dr

a

(48)

Biorąć pod uwage różniczke operatora energii :


dTab = a = b

to

~
c2 dxa (τ )

a 6= b

;

to

~
dxa (τ )



(49)

Otrzymam:
n

ˆ ab dr a = a = b
d2 s2b (τ ) = dRT

− c2 (aa (t))2 d2 t2
(50)
Co daje mi dynamiczne rozwiązanie tego równania z przyśpieszeniem. Gdy podstawie
to dla jednego ciała, otrzymam macierz odległości:
to

c2 (aa (t))2 d2 t2

;

a 6= b

to





c2 (a1 (t))2 d2 t2 − c2 (a2 (t))2 d2 t2 ... − c2 (aa (t))2 d2 t2


2 2
...
d sb (τ ) = 

2
a
2
2
2
2
a−1
2
2
2
2
1
2
2
2
c (a (t)) d t − c (a (t)) d t ... − c (a (t)) d t

(51)

Wynika z tego całkiem ciekawa własność czasoprzestrzeni, możemy nie tylko mierzyć
różniczke odległości jej kwadrat, ale możemy też mierzyć różniczke drugiego stopnia.
2
Różniczka ta jest związana z przyśpieszniem. Wyrażana jest w jednostkach [ m
] co jest
s2
rozumiane jako przyśpieszanie odległości oraz czasu.
Gęstość energii zależy od przyśpieszenia oraz szybkosći zmiany czasu czyli przyśpieszania czasu, w przypadku ruchu liniowego (bez przyśpieszenia)wszystko się upraszcza do
dynamiki z pierwszego rozdziału. Natomaist gdy mówimy o przyśpieszeniu energia może
być mniej lub bardziej gęsta, co tworzy pole grawitacyjne. Dla czarnej dziury(osbliwości)
przyśpieszenie musi zawsze wynosić t1p dzieje się tak ponieważ gdy podstawimy wszędzie
czas Plancka otrzymamy:
c2 (a1 (t))2 d2 t2 = c2 (

t2p 2
)t = c2
t4p p

(52)

Co oznacza że we wnetrznu czarnej dziury czas przyśpiesza z prędkością światła to samo
się dzieje z przestrzenią.

9

o


Related documents


teoria
maszyny g rnicze wyk ady
sieci pojecja
jelen
fiza
tabela minera w

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file TEORIA.pdf