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Université du Québec à Montréal

FIN8650 : Essai

Modélisation de la structure par terme
des taux d’intérêts avec des modèles à
copules

Superviseurs : Amaya Guio,
Diego Andres Ph.D.

Auteur : Adel Morsli

Ben-Abdallah, Ramzi Ph.D.

Essai présenté comme exigence partielle
du programme de Maîtrise en finance appliquée
de
l’École des sciences de la gestion
ESG-UQAM

24 novembre 2014

i

Modélisation de la structure par terme
des taux d’intérêts avec des modèles à
copules

Résumé
Cet essai étudie la dépendance non linéaire dans la structure par terme des US Treasuries
et traite des implications sur la gestion des risques de portefeuilles de revenu fixe. Nous
spécifions la dynamique de notre courbe de taux à l’aide d’un modèle de Diebold et
Li, et appliquons une variété de copules statiques et dynamiques aux innovations de
ces facteurs. Notre analyse révèle une structure de dépendance symétrique, en large
partie négative et où la corrélation suit des changements significatifs dans le temps. La
meilleure copule est une copule t Student dynamique où le paramètre de corrélation
suit un processus DCC. Ces conclusions ont des effets sur certaines mesures de gestion
des risques. Un exemple est donné en démontrant les biais de sur-estimations des durées
modifiées et des prix d’obligations qui surviennent lorsqu’on ne spécifie pas correctement
cette structure de dépendance.

Remerciements
À mes parents, pour leur support inconditionnel.
À Émilie.

ii

Table des matières
Résumé

i

Remerciements

ii

Table des matières

iii

Liste des figures

iv

Liste des tableaux

v

1 Introduction

1

2 Revue de littérature
2.1 Dépendance et non-linéarité de la structure par terme
2.2 Structures de dépendance non gaussiennes . . . . . . .
2.3 Copules, gestion des risques et évaluation de dérivés .
2.4 Copules dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3
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8
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9
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10
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12

3 Concepts importants
3.1 Taux spot et taux court . . . . . . .
3.2 Analyse en composantes principales .
3.3 Modèle de Nelson-Siegel . . . . . . .
3.4 Corrélation excédentaire . . . . . . .
3.5 Tau de Kendall . . . . . . . . . . . .
3.6 Copules statiques . . . . . . . . . . .
3.6.1 Le modèle DCC . . . . . . .

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4 Données
13
4.1 Données pour l’analyse non paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Données pour l’analyse paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Analyse non paramétrique
5.1 Extraction des facteurs . . . . . . . . . . . . .
5.2 Analyse univariée et multivariée des facteurs .
5.3 Analyse de la dépendance . . . . . . . . . . .
5.4 Dérivation des innovations . . . . . . . . . . .
iii

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16
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Table des matières
5.5

iv

Estimation des copules statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Analyse paramétrique
6.1 Extraction des facteurs . . . . . . . . . .
6.1.1 Regressions transversales . . . .
6.1.2 Dérivation des innovations . . .
6.1.3 Analyse de la dépendance . . . .
6.1.4 Estimation des copules statiques
7 Application : gestion des risques
7.1 Application . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mesures de gestion des risques
7.1.2 Méthodologie . . . . . . . . . .
7.1.3 Résultats . . . . . . . . . . . .

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25
25
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35
35
35
35
37

8 Conclusion

39

A Tableaux

40

B Figures

45

C Copules
C.0.4
C.0.5
C.0.6
C.0.7
C.0.8

48
49
49
50
50
51

Bibliographie

Copule
Copule
Copule
Copule
Copule

gaussienne
t Student .
de Clayton
de Gumbel
de Frank .

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52

Liste des figures
4.1

Structure par terme des US Treasuries de 1990 à 2014. . . . . . . . . . . . 13

5.1

Loadings des facteurs extraient par l’ACP sur la structure par terme des
US treasuries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QQ-plots des 3 facteurs extraient par L’ACP. . . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des corrélations excédentaires entre les 3 paires de facteurs de
la structure par terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des rolling correlations entre les paires de facteurs de la structure par terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des fonctions d’autocorrélations des résidus et des résidus au
carré des 3 facteurs de la structure par terme . . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des fonctions d’autocorrélations et d’autocorrélations partielles
des 3 facteurs de la structure par terme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2
5.3
5.4
5.5
5.6

6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7

7.1

. 17
. 18
. 19
. 20
. 21
. 21

Graphique opposant la courbe construite avec les paramètres NelsonSiegel estimés par MCO cross-sectional et la courbe de taux empirique . .
Graphique opposant les niveaux, pentes et courbures empiriques des taux
à ceux estimées avec les paramètres Nelson-Siegel . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des fonctions d’autocorrélations et d’autocorrélation partielle
des 3 facteurs Nelson-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des fonctions d’autocorrélations des résidus et des résidus au
carré des 3 facteurs Nelson-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des corrélations excédentaires entre les 3 paires de facteurs
Nelson-Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphique des rolling correlations entre les paires de facteurs Nelson-Siegel.
Scatter plots des relations entre les résidus standardisés des facteurs NelsonSiegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
27
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28
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30
31

Graphique des structures par terme Nelson-Siegel estimées avec les différentes combinaisons de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B.1 Graphiques des corrélations à travers le temps pour les différentes paires
de facteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.2 Graphique de la corrélation à travers le temps entre le facteur β1 et le
facteur −β2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

v

Liste des tableaux
4.1
4.2

5.1
5.2
5.3
6.1
6.2
6.3

7.1

Statistiques descriptives pour les niveaux de taux d’intérêts des US Treasuries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Statistisques descriptives pour les variations de taux d’intérêts des US
Treasuries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tableau descriptif des résultats de l’analyse en composantes principales
sur les US Treasuries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Statistiques descriptives pour les 3 facteurs de l’ACP . . . . . . . . . . . . 18
Résultats de l’estimation des différentes copules sur les paires de facteurs 24
Statistiques descriptives pour les paramètres Nelson-Siegel résultants de
l’estimation MCO cross-sectional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Résultats de l’estimation des différentes copules sur les paires de facteurs 32
Résultats de l’estimation des copules dynamiques gaussiennes et T Student
sur les paires de facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Résultats des différentes analyses de risque sur les paramètres des quatres
méthodologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.1 Statistiques descriptives pour les taux d’intérêts zéro-coupon des US Treasuries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Tableau présentant les p-values de tests de ARCH sur les 3 facteurs de la
structure par terme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Tableau des estimés des paramètres pour les modèles ARMA-GARCH
respectifs de chacun des facteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Tableau des estimés des paramètres pour les modèles AR(1) de chacun
des facteurs Nelson-Siegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

. 41
. 42
. 43
. 44

Liste des tableaux
—————————————————————————————-

vii

Chapitre 1

Introduction
Junker et al. (2006) [23] sont les premiers à introduire le concept de dépendance non
linéaire transversale dans la structure par terme. À l’aide d’un modèle de taux exponentiel affine à deux facteurs, ils démontrent que la structure de dépendance des facteurs de
leur structure par terme contient des non-linéarités, caractérisées par de la dépendance
extrême. Les auteurs modélisent ensuite cette dépendance à l’aide de copules et trouvent
que les biais entrainés par une mauvaise spécification de cette structure de dépendance
ont des effets économiquement significatifs sur plusieurs mesures de risque, notamment
la VaR. Puis, face au même problème de l’inefficience des mesures de corrélation traditionelles en contexte de non normalité, Martellini et Meyfredi (2007) [28] mesurent la
VaR de portefeuilles d’obligations en spécifiant la structure de dépendance d’une structure par terme Nelson-Siegel (1987) [30] à l’aide d’une copule t Student.
À la lueur de ces développements, nous testons à notre tour pour la présence de dépendance non linéaire dans la structure par terme. La principale motivation derrière ce
travail est de combler un manque dans la littérature à ce sujet. En effet, aucune étude, à
notre connaissance, ne s’est portée sur l’analyse dynamique de cette structure de dépendance. Ainsi, nous étendons ces développements en proposant l’utilisation d’une copule
dynamique pour tenter de capter la dépendance transversale et temporelle de la structure par terme.
Les problématiques seront donc d’identifier la présence de non-linéarités et de caractériser ces non-linéarités pour éventuellement parvenir à modéliser le plus fidèlement
possible la structure de dépendance des facteurs de la structure par terme. Pour ce faire,
nous aurons recours à deux types d’analyse : une analyse paramétrique et une analyse
non paramétrique.
1