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´
Algebra
Linear e Geometria Anal´ıtica
agrupamento IV – ECT, EET, EI
folha pr´atica 1
matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 1/8
Departamento de Matem´
atica

Universidade de Aveiro

Matrizes
1. Calcule

1
3 0
2

3
4
−3

2. Considere as matrizes


1 −2
A = 1 0  ,
2 3



2
2
−9 − 2 −5
1
2


1
B = 3
5



1
1
2  + 5 0
−3
2

0
−3
−8


2
4 ,
6


−1
C=
0

−5
−7
4


1
,
2

T
3
0 .
−4


0
D=
1

−1
0


0
.
2

Calcule
(a) A + B;

(b) B − 2A;

(c) AD;

(d) DA;

(e) ACD;

(f)

1
5



I2 − (DA)2 .

3. Considere as matrizes

1
A = 2
3

2
3
1


3
1 ,
2


−1
B= 2
1


0 −1
3 1 .
2 0

Calcule 2(A + B) − AB.
4. Escolha uma maneira de ordenar as matrizes

A=

1
−1


0 1
,
1 1


1
B=
1



 
1
C=
,
2

1
,
−1


1
D = 0
1


0
1 .
1

de modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule esse produto.
5. Calcule a primeira coluna e a segunda linha do produto


 1
1 1 −4 0 
2 0 1 −1  1
0
2 0 1
0
−1


3
1
.
−1
1

6. Mostre que se os produtos AB e BA est˜ao ambos definidos e A ´e uma matriz m × n, ent˜ao B ´e uma
matriz n × m.
7. Verifique que o produto de matrizes n˜
ao ´e

1 0
E = 3 1
0 0

comutativo, calculando EA e AE para



0
1 2 3
0
e
A = 4 5 6 .
1
7 8 9

Qual o efeito na matriz A ap´
os efectuar os produtos EA e AE?
8. Calcule

µ1

0

.
 ..

µ2
..
.

0

···

0

···
..
.
..
.
0

4
0
.. 
. 
 .

0
µn

´
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matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 2/8


9. Considere a matriz A =

1
−1


0
.
1

(a) Mostre que A2 = 2A − I2 .
(b) Mostre que A3 = 3A − 2I2 , recorrendo `a al´ınea anterior.
10. Verifique que as identidades alg´ebricas
i. (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2

ii. (A + B)(A − B) = A2 − B 2

iii. (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2

iv. (AB)2 = A2 B 2

nem sempre s˜
ao verdadeiras quando A e B s˜ao matrizes. Considere, por exemplo, as matrizes:








1 −1
1 0
2 0
1 0
(a) A =
, B=
;
(b) A =
, B=
.
0 2
1 2
−1 1
3 4
Corrija os segundos membros das identidades i – iv de forma a obter identidades verdadeiras para
quaisquer A e B matrizes n × n.
11. Indique, justificando, se as afirma¸c˜
oes seguintes s˜ao verdadeiras ou falsas.
(a) Se A, B, C s˜
ao matrizes tais que A + C = B + C, ent˜ao A = B.
(b) Se A, B, C s˜
ao matrizes tais que AB = AC, ent˜ao A = O (matriz nula) ou B = C.
(c) Se A ´e uma matriz tal que A2 = In , ent˜ao A = In ou A = −In .
12. Se A ´e uma matriz n × n tal que AAT = O, mostre que A = O (sendo O a matriz nula n × n).
13. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que A + AT ´e uma matriz sim´etrica. O que pode afirmar sobre a
matriz A − AT ?
 
c1
 .. 
14. Seja A = [aij ] uma matriz m × n e C =  .  uma matriz n × 1.
cn




a1i


Verifique que AC = c1 col1 (A) + · · · + cn coln (A), onde coli (A) =  ...  designa a coluna i de A.
ami
15. Usando o exerc´ıcio

1 2
(a) A = −1 2
0 1
(b) A =


1
2

anterior, calcule AC para

 
0
1
4, C = −1;
3
2
 

 
x
−1 0
0
, C = y  e determine C de modo que AC =
.
−1 1
1
z

16. Indique quais das seguintes matrizes



3 4
1 0 0
0 0
i. 3 3 3 ;
ii. 
0 0
0 0 1
0 0

s˜
ao matrizes na forma escalonada por linhas:



5 0

1 0 0 0
2 1
10
;


iii. 0 0 0 0 ;
iv.
0 5
0
0 0 0 5
0 0

Determine matrizes equivalentes por linhas `as matrizes dadas que estejam:
(a) na forma escalonada por linhas;
(b) na forma escalonada por linhas reduzida.

ua

dmat

14
2

25
2


10
.
1

´
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matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 3/8

Sistemas de Equa¸c˜
oes Lineares
17. Resolva, quando poss´ıvel, os seguintes sistemas usando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss (ou GaussJordan).


3x1 − x2 = 4
2x1 − 3x2 = 4
(b)
(a)
x1 − 3x2 = 1
2x1 − 12 x2 = 1


 x1 + x2 − x3 = 1
 x1 − 2x2 + 2x3 = 4
3x1 − x2 + x3 = 0
(c)
(d) −2x1 + x2 + x3 = 1


x1 − 3x2 + 3x3 = −2
x1 − 5x2 + 7x3 = −1


3x1 + 4x2 − 5x3 + 7x4 = 0


 4x1 + 3x2 + 2x3 = 1

2x1 − 3x2 + 3x3 − 2x4 = 0
x1 + 3x2 + 5x3 = 1
(e)
(f)
4x


1 + 11x2 − 13x3 + 16x4 = 0

3x1 + 6x2 + 9x3 = 2

7x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 0


x1 + x2
=1
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = −2








=4
− x5 = −3
 x1 + x2 + x3
 x1 + 2x2 − x3
x2 + x3 + x4
= −3
x1 − x2 + 2x3 − 3x4
= 10
(g)
(h)




x
+
x
+
x
=
2
x
−
x
+
x
−
2x


3
4
5
2
3
4
5 = −5




x4 + x5 = −1
2x1 + 3x2 − x3 + x4 + 4x5 = 1
18. Determine os valores de α para os quais os sistemas

(
−x + y = α


αx + y = 1
x + 2y + 3z = 2 ;
(a)
;
(b)

x + αy = 1

x − 3y − 2z = 7

(c)







x−y =3
5y − z = −3
2

α x + 4α2 y − z = α + 1

i. n˜
ao tem solu¸c˜
ao; ii. tem exatamente uma solu¸c˜ao; iii. tem uma infinidade de solu¸c˜oes.
19. Considere o sistema de equa¸c˜
oes


 x + βy + βz = 0
βx + y + z = 0 .


x + y + βz = β 2
(a) Discuta o sistema em fun¸c˜
ao de β.
(b) Considere o sistema homog´eneo associado a β = 0 e determine a sua solu¸c˜ao.
20. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares


 x−y−z =
x+y+z =


x − by + z =

a
a,
−b

onde a e b s˜
ao parˆ
ametros reais.
(a) Determine os valores de a e b para os quais o sistema ´e:

i. poss´ıvel e determinado; ii. imposs´ıvel.

(b) Sabendo que (1, −1, 1) ´e uma solu¸c˜ao do sistema, determine o conjunto de todas as solu¸c˜oes.
21. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares associado

1 α−1
0 α − 1
0
0

`a seguinte matriz ampliada:

α α−2
0
1 .
α α−3

Discuta o sistema em fun¸c˜
ao do parˆ
ametro α e apresente as correspondentes solu¸c˜oes (caso existam).

ua

dmat

´
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matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 4/8

22. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares associado `a seguinte matriz ampliada:


0
1 α−β
−1
0
αβ
α − 1 α − 1 .
β −β 2
1
β−α
Discuta o sistema em fun¸c˜
ao do parˆ
ametros α e β.
23. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares

2x1 + 4x2



 5x − 2x
1
2

3x
+
ax
1
2



4x1 + bx2

= 16
=4

.

=9
= −7

Determine a e b de forma que o sistema seja poss´ıvel e determine o conjunto de solu¸c˜oes nesse caso.
24. Considere o seguinte sistema, nas vari´
aveis x, y e z, com parˆametros reais a, b, c:


 x+y+z =a
2x − y + 3z = b .


4x + y + 5z = c
Verifique que o sistema ´e poss´ıvel se e s´o se 2a + b − c = 0.
25. Considere o sistema representado matricialmente por AX = B com




0
α+2
0
0
α + 1 1
e
B =  α .
A= 0
α+1
0
0
α
Diga, justificando, para que valores do parˆametro α o sistema ´e (a) imposs´ıvel; (b) poss´ıvel e determinado;
(c) poss´ıvel e indeterminado.
26. Seja A uma matriz qualquer. Se B ´e uma coluna de A, mostre que o sistema AX = B ´e poss´ıvel e
indique uma solu¸c˜
ao.

Matriz Inversa
27. Averigue se s˜
ao singulares as matrizes

2
A=
5

1
3

28. Considere as matrizes


2 3
A=
,
5 7


3
,
−2

B=


−7
5




e

3
−6

B=

C=


2
.
−4



17 −6
,
35 −12

D=


2
0


0
.
3

(a) Mostre que C = ADB.
(b) Verifique se B ´e a matriz inversa de A.
(c) Calcule C 5 , usando as al´ıneas anteriores.
29. Determine as inversas das seguintes matrizes:

3
(a)
5



4
;
7


1
(b) 0
0

1
1
0





1
1 ;
1

0
(c)  1
−2

ua

dmat

2
1
−5



−1
−1 ;
4


2
3
(d) 
4
5

3
3
4
5

4
4
4
5


5
5
.
5
5

´
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oes lineares
p´agina 5/8




2 −1
1
0 .
−4 2

1
30. Considere a matriz M =  2
−1

(a) Verifique que M satisfaz a equa¸c˜
ao M 3 − 4M 2 − I3 = 0.
(b) Prove, sem calcular o seu valor, que M −2 = M − 4I3 .
(c) Calcule M −1 pela equa¸c˜
ao da al´ınea anterior e verifique o resultado obtido.
31. Se A ´e uma matriz invert´ıvel e α ∈ R ´e n˜ao nulo, mostre que a matriz αA ´e invert´ıvel e (αA)−1 =

1 −1
.
αA

32. Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que, se AB ´e invert´ıvel, ent˜ao A e B tamb´em s˜ao.
33. Seja A uma matriz n × n qualquer. Suponhamos que existe um n´
umero natural k tal que Ak = O (matriz
nula n × n). Mostre que In − A ´e invert´ıvel, tendo-se
(In − A)−1 = In + A + A2 + · · · + Ak−1 .

1 −1
34. Usando o exerc´ıcio anterior, calcule a inversa da matriz M = 0 1
0 0


0
−1.
1

35. Encontre todos os valores de α para os quais

1
1
1

2
0
2


0
0
α

´e invert´ıvel.
36. Se A e B s˜
ao matrizes invert´ıveis, mostre que
A−1 + B −1 = A−1 (A + B)B −1 .
Que igualdade ´e esta no caso de matrizes 1 × 1?
37. Seja A uma matriz n × n tal que A4 = O (matriz nula n × n). Mostre que
(In + A)−1 = (In − A)(In + A2 ).
38. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × m tais que Im − AB seja invert´ıvel.
(a) Prove que tamb´em In − BA ´e invert´ıvel, sendo (In − BA)−1 = In + B(Im − AB)−1 A.
(b) Verifique que A(In − BA)−1 = (Im − AB)−1 A e que (In − BA)−1 B = B(Im − AB)−1 .
39. Resolva a seguinte equa¸c˜
ao matricial relativamente `a matriz X:

 
 

1 0
1 1
1 0
X
=
.
0 −1
3 4
0 2
40. Considerando as matrizes



1 0 1
1
A = 1 1 1 ,
B = 0
0 0 1
1

1
1
2


0
0 ,
−2


2
C = 3
0


1
1 ,
1

D=

resolva as seguintes equa¸c˜
oes matriciais relativamente `a matriz X:


−1 −1
(a) (B −1 )T X
A = I;


T
(b) C T DT X = E.

ua

dmat


1
0

−2
1


1
,
1


E=

4
−4


0
,
8

´
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matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 6/8

41. Sabendo que
A−1 =




1
1

1
−1

e

B=


2
0


0
,
−1

determine a matriz M que satisfaz a equa¸c˜ao matricial AM A = B.
42. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares


 4x + y + 3z = 1
3x + y + 3z = 0 .


5x + y + 4z = 1
(a) Mostre que a matriz dos coeficientes do sistema ´e invert´ıvel e calcule a sua inversa.
(b) Justifique que o sistema ´e poss´ıvel e determinado. Indique a sua solu¸c˜ao.
43. Mostre que se A ´e invert´ıvel, ent˜
ao AT tamb´em ´e invert´ıvel e (AT )−1 = (A−1 )T .
44. Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ıvel e a sua inversa coincidir com a sua transposta.
Mostre que
(a) o produto de duas matrizes ortogonais ´e ainda uma matriz ortogonal;
(b) a inversa de uma matriz ortogonal ´e ainda uma matriz ortogonal.

Aplica¸co
˜es
45. Considere o circuito el´ectrico representado na figura seguinte:

R1
+
−

VA

R2

R3
VB
+
−

constitu´ıdo por dois geradores de tens˜
ao VA = 7 V e VB = 5 V e trˆes resistˆencias R1 = 10 kΩ, R2 = 5 kΩ
e R3 = 15 kΩ. Determine a intensidade das correntes que passam pelas trˆes resistˆencias.
Observa¸
c˜
ao: Para resolver o exerc´ıcio ´e preciso aplicar as Leis de Kirchhoff:
(a) (lei dos n´
os) a soma das correntes que entram num n´o ´e igual `a soma das correntes que dele saem
(ou seja, um n´
o n˜
ao acumula carga);
(b) (lei das malhas) a soma da diferen¸ca de potencial el´ectrico ao longo de qualquer caminho fechado
(malha) ´e nula.
A dire¸c˜
ao escolhida para percorrer a malha determina o c´alculo das diferen¸cas de potencial consoante as
seguintes conven¸c˜
oes:

V = VA

VA

+
−

+
−

VA

V = −VA

R

V = RI
I

V = −RI

R
I

• Num gerador de tens˜
ao, a diferen¸ca de potencial el´ectrico medida do polo positivo para o polo
negativo ´e positiva; caso contr´
ario ´e negativa.
• Numa resistˆencia R percorrida por uma corrente I, a diferen¸ca de potencial el´ectrico, medida com
o mesmo sentido que a corrente, ´e dada pela Lei de Ohm, isto ´e, V = RI; caso contr´ario, V = −RI.
ua

dmat

´
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oes lineares
p´agina 7/8

46. A companhia a´erea Voabem serve quatro cidades, C1 , C2 , C3 e C4 . As liga¸c˜oes podem ser representadas
por um grafo orientado:
C2

• existem voos de C1 para C2 e C3 ;
• existem voos de C2 para C1 e C3 ;

C1

C3

• existem voos de C3 para C1 e C4 ;
• existem voos de C4 para C2 e C3 .

C4
(a) Escreva a matriz A = [aij ] 4 × 4 tal que
(
1, se existe um voo de Ci para Cj
aij =
0, caso contr´ario
chamada a matriz de adjacˆencia associada ao grafo.
(r)

(r)

(b) A matriz Ar = [aij ] ´e tal que aij representa o n´
umero de itiner´arios diferentes de liga¸c˜ao da cidade
Ci `
a cidade Cj utilizando r voos. Determine quantos itiner´arios diferentes existem para irmos da
cidade C4 para a cidade C3 utilizando:
i. apenas um voo;
ii. dois voos;
iii. trˆes voos.
Para cada uma das al´ıneas anteriores, determine explicitamente todos os itiner´arios.
47. Considere uma economia que consiste em trˆes setores interdependentes: ind´
ustria, agricultura e servi¸cos.
Cada um destes setores produz um bem e para produzir esse bem necessita de bens produzidos pelos
outros dois setores e por ele pr´
oprio.
Na tabela seguinte, as entradas de cada coluna representam as quantidades de produto dos trˆes setores
que s˜
ao necess´
arias para produzir uma unidade de produto do setor correspondente `a coluna. Por
exemplo, a entrada (2, 1) significa que s˜
ao precisas 0, 3 unidades da produ¸c˜ao agr´ıcola para cada unidade
produzida pela ind´
ustria.

Ind´
ustria
Agricultura
Servi¸cos

Ind´
ustria
0,1
0,3
0,2

Agricultura
0,2
0,2
0,2

Servi¸cos
0,1
0,2
0,1

Vamos assumir que a economia est´
a em equil´ıbrio: a quantidade de bens produzidos ´e igual `a procura,
ou seja, `
a soma da procura interm´edia (bens a serem consumidos pelos pr´oprios setores produtivos) e da
procura final (bens a serem consumidos por outros setores como, por exemplo, o consumidor final).
(a) Suponha que a ind´
ustria, a agricultura e os servi¸cos produzem c1 , c2 e c3 unidades, respetivamente.
i. Determine a procura interm´edia correspondente.
ii. Determine a procura final correspondente.
(b) Suponha que a procura final ´e de 8, 5, 9, 5 e 2 unidades para o setor da ind´
ustria, agricultura e
servi¸cos, respetivamente. Determine a produ¸c˜ao que os v´arios setores tˆem de ter para satisfazerem
esta procura final.
Nota: O que foi descrito ´e um exemplo de um modelo de economia aberta de Leontief. Wassily Leontief
recebeu, em 1973, o pr´emio Nobel da economia pelo desenvolvimento deste modelo, que continua a ser
utilizado na an´
alise de problemas da economia dos nossos dias.

ua

dmat

´
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matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 8/8

48. Uma unidade de torrefa¸c˜
ao de caf´e est´
a interessada em testar uma mistura de trˆes tipos de gr˜aos para
obter um lote final de 4400 kg com um custo de 1650 e. O primeiro tipo de gr˜ao custa 0, 44 e por
quilograma, enquanto o segundo custa 0, 37 e por quilograma e o terceiro 0, 41 e por quilograma.
Verifique se ´e poss´ıvel obter o lote anteriormente referido usando, na sua confe¸c˜ao, iguais quantidades
(a) do primeiro e segundo ou (b) do primeiro e terceiro tipos de gr˜ao.
49. O Sr. Silva ´e dono de um pinhal que explora para produ¸c˜ao de ´arvores de Natal. As ´arvores est˜
ao
catalogadas por faixas crescentes de altura em trˆes classes, a0 , a1 e a2 (note-se que a lei pro´ıbe a venda
das ´
arvores na classe a0 ).
O corte das ´
arvores para venda ´e feito no in´ıcio de dezembro e, por cada ´arvore cortada, ´e semeada
uma nova. Depois, de janeiro a dezembro, uma fra¸c˜ao g0 = 0, 25 das ´arvores da classe a0 e uma fra¸c˜
ao
g1 = 0, 2 das ´
arvores da classe a1 que n˜
ao foram cortadas, cresce o suficiente para passar a pertencer `
as
classes a1 e a2 , respetivamente, enquanto as restantes ´arvores continuam na mesma classe (sup˜oe-se que
n˜
ao h´
a perdas de ´
arvores durante o seu crescimento).
O Sr. Silva pretende implementar uma floresta¸c˜ao sustent´avel, isto ´e, pretende que a configura¸c˜ao do
pinhal (o n´
umero de ´
arvores em cada classe) antes do corte, em dezembro, seja igual `a do ano anterior.
(a) Sabendo que, inicialmente, o n´
umero de ´arvores nas classes a0 , a1 e a2 ´e, respetivamente, n0 = 450,
n1 = 350 e n2 = 400, determine o n´
umero de ´arvores a cortar para venda.
(b) Como os clientes procuram, em m´edia, 50 ´arvores da classe a1 e 100 da classe a2 , qual ser´a a melhor
configura¸c˜
ao do pinhal, mantendo o mesmo n´
umero total de ´arvores?

ua

dmat

´
Algebra
Linear e Geometria Anal´ıtica
agrupamento IV – ECT, EET, EI
solu¸c˜
oes 1
matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 1/3

1.

2.

3.

4.

5.

7.

8.

10.



−4 9
10
 5 −5 −19.
9
39
1







2 0
−1 6
−2 −1 −4
−1






(a) 4 4 ; (b) 1 4 ; (c) 0 −1 0 ; (d)
5
7 9
1 0
3 −2 6


−6 −8 3
3
1 3.
7 −1 6
 
 
5
8
ADBC =
ou BADC =
.
−2
0
 
2



A primeira coluna ´e 3 e a segunda linha ´e 3 4 .
2




1 2
3
7 2 3
EA = 7 11 15 6= AE = 19 5 6.
7 8
9
31 8 9

 4
µ1 0 · · · 0

.. 
 0 µ42 . . .
. 

.

.
.
.
.
.
.
.
. 0
.
0 ···
0 µ4n



−3
0
; (e)  1
4
8



1 −6
0

1 2 ; (f)
−3
2 16


0
.
−3

i. (A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 ; ii. (A + B)(A − B) = A2 − AB + BA − B 2 ;
iii. (A − B)2 = A2 − AB − BA + B 2 ; iv. (AB)2 = ABAB.

11. (a) Verdadeira; (b) falsa; (c) falsa.

 



−1
1−z
x−y
15. (a) AC =  5 ; (b) AC =
e C = 1 − z , z ∈ R.
2x − y + z
5
z




1 0 0 0
1 0 0



0
3
3
16. ii. e iv. (a) i.
; iii. 0 0 0 5.
0 0 1
0 0 0 0






1 34 0 0

1 0 0 0
1 0 0
0 0 1 0
; iii. 0 0 0 1; iv. 1 0
(b)
i. 0 1 0; ii. 
0 0 0 1
0 1
0 0 0 0
0 0 1
0 0 0 0

11
10

1

3 
10
1 .
2

17. (a) x1 = −2, x2 = −10; (b) x1 = 3, x2 = 23 ; (c) x1 = 41 , x2 = 34 + t, x3 = t, t ∈ R; (d) imposs´ıvel;
3
19
20
(e) x1 = t, x2 = 13 − 2t, x3 = t, t ∈ R; (f) x1 = 17
t1 − 13
17 t2 , x2 = 17 t1 − 17 t2 , x3 = t1 , x4 = t2 , t1 , t2 ∈ R;
(g) x1 = 6 − t, x2 = −5 + t, x3 = 3, x4 = −1 − t, x5 = t, t ∈ R; (h) imposs´ıvel.
18. (a) i. α = −1, ii. α 6= 1 e α 6= −1, iii. α = 1; (b) i. α 6= −5, iii. α = −5; (a)
ii. α 6= 1 e α 6= −1, iii. α = −1.


se β = 1;
imposs´ıvel
19. (a) O sistema ´e poss´ıvel e indeterminado de grau um se β = −1;


poss´ıvel e determinado
se β 6= 1 e β 6= −1.
(b) A u
´nica solu¸c˜
ao ´e a solu¸c˜
ao trivial, isto ´e, x = y = z = 0.
20. (a)

i. a ∈ R e b ∈ R \ {−1}; ii. a ∈ R \ {1} e b = −1. (b) {(1, −y, y) : y ∈ R}.

ua

dmat

i. α = 1,