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´
Algebra
Linear e Geometria Anal´ıtica
agrupamento IV – ECT, EET, EI
folha pr´atica 1
matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 3/8

Sistemas de Equa¸c˜
oes Lineares
17. Resolva, quando poss´ıvel, os seguintes sistemas usando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss (ou GaussJordan).


3x1 − x2 = 4
2x1 − 3x2 = 4
(b)
(a)
x1 − 3x2 = 1
2x1 − 12 x2 = 1


 x1 + x2 − x3 = 1
 x1 − 2x2 + 2x3 = 4
3x1 − x2 + x3 = 0
(c)
(d) −2x1 + x2 + x3 = 1


x1 − 3x2 + 3x3 = −2
x1 − 5x2 + 7x3 = −1


3x1 + 4x2 − 5x3 + 7x4 = 0


 4x1 + 3x2 + 2x3 = 1

2x1 − 3x2 + 3x3 − 2x4 = 0
x1 + 3x2 + 5x3 = 1
(e)
(f)
4x


1 + 11x2 − 13x3 + 16x4 = 0

3x1 + 6x2 + 9x3 = 2

7x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 0


x1 + x2
=1
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = −2








=4
− x5 = −3
 x1 + x2 + x3
 x1 + 2x2 − x3
x2 + x3 + x4
= −3
x1 − x2 + 2x3 − 3x4
= 10
(g)
(h)




x
+
x
+
x
=
2
x

x
+
x

2x


3
4
5
2
3
4
5 = −5




x4 + x5 = −1
2x1 + 3x2 − x3 + x4 + 4x5 = 1
18. Determine os valores de α para os quais os sistemas

(
−x + y = α


αx + y = 1
x + 2y + 3z = 2 ;
(a)
;
(b)

x + αy = 1

x − 3y − 2z = 7

(c)







x−y =3
5y − z = −3
2

α x + 4α2 y − z = α + 1

i. n˜
ao tem solu¸c˜
ao; ii. tem exatamente uma solu¸c˜ao; iii. tem uma infinidade de solu¸c˜oes.
19. Considere o sistema de equa¸c˜
oes


 x + βy + βz = 0
βx + y + z = 0 .


x + y + βz = β 2
(a) Discuta o sistema em fun¸c˜
ao de β.
(b) Considere o sistema homog´eneo associado a β = 0 e determine a sua solu¸c˜ao.
20. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares


 x−y−z =
x+y+z =


x − by + z =

a
a,
−b

onde a e b s˜
ao parˆ
ametros reais.
(a) Determine os valores de a e b para os quais o sistema ´e:

i. poss´ıvel e determinado; ii. imposs´ıvel.

(b) Sabendo que (1, −1, 1) ´e uma solu¸c˜ao do sistema, determine o conjunto de todas as solu¸c˜oes.
21. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares associado

1 α−1
0 α − 1
0
0

`a seguinte matriz ampliada:

α α−2
0
1 .
α α−3

Discuta o sistema em fun¸c˜
ao do parˆ
ametro α e apresente as correspondentes solu¸c˜oes (caso existam).

ua

dmat