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´
Algebra
Linear e Geometria Anal´ıtica
agrupamento IV – ECT, EET, EI
folha pr´atica 1
matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 4/8

22. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares associado `a seguinte matriz ampliada:


0
1 α−β
−1
0
αβ
α − 1 α − 1 .
β −β 2
1
β−α
Discuta o sistema em fun¸c˜
ao do parˆ
ametros α e β.
23. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares

2x1 + 4x2



 5x − 2x
1
2

3x
+
ax
1
2



4x1 + bx2

= 16
=4

.

=9
= −7

Determine a e b de forma que o sistema seja poss´ıvel e determine o conjunto de solu¸c˜oes nesse caso.
24. Considere o seguinte sistema, nas vari´
aveis x, y e z, com parˆametros reais a, b, c:


 x+y+z =a
2x − y + 3z = b .


4x + y + 5z = c
Verifique que o sistema ´e poss´ıvel se e s´o se 2a + b − c = 0.
25. Considere o sistema representado matricialmente por AX = B com




0
α+2
0
0
α + 1 1
e
B =  α .
A= 0
α+1
0
0
α
Diga, justificando, para que valores do parˆametro α o sistema ´e (a) imposs´ıvel; (b) poss´ıvel e determinado;
(c) poss´ıvel e indeterminado.
26. Seja A uma matriz qualquer. Se B ´e uma coluna de A, mostre que o sistema AX = B ´e poss´ıvel e
indique uma solu¸c˜
ao.

Matriz Inversa
27. Averigue se s˜
ao singulares as matrizes

2
A=
5

1
3

28. Considere as matrizes


2 3
A=
,
5 7


3
,
−2

B=


−7
5




e

3
−6

B=

C=


2
.
−4



17 −6
,
35 −12

D=


2
0


0
.
3

(a) Mostre que C = ADB.
(b) Verifique se B ´e a matriz inversa de A.
(c) Calcule C 5 , usando as al´ıneas anteriores.
29. Determine as inversas das seguintes matrizes:

3
(a)
5



4
;
7


1
(b) 0
0

1
1
0





1
1 ;
1

0
(c)  1
−2

ua

dmat

2
1
−5



−1
−1 ;
4


2
3
(d) 
4
5

3
3
4
5

4
4
4
5


5
5
.
5
5