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´
Algebra
Linear e Geometria Anal´ıtica
agrupamento IV – ECT, EET, EI
folha pr´atica 1
matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 5/8




2 −1
1
0 .
−4 2

1
30. Considere a matriz M =  2
−1

(a) Verifique que M satisfaz a equa¸c˜
ao M 3 − 4M 2 − I3 = 0.
(b) Prove, sem calcular o seu valor, que M −2 = M − 4I3 .
(c) Calcule M −1 pela equa¸c˜
ao da al´ınea anterior e verifique o resultado obtido.
31. Se A ´e uma matriz invert´ıvel e α ∈ R ´e n˜ao nulo, mostre que a matriz αA ´e invert´ıvel e (αA)−1 =

1 −1
.
αA

32. Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que, se AB ´e invert´ıvel, ent˜ao A e B tamb´em s˜ao.
33. Seja A uma matriz n × n qualquer. Suponhamos que existe um n´
umero natural k tal que Ak = O (matriz
nula n × n). Mostre que In − A ´e invert´ıvel, tendo-se
(In − A)−1 = In + A + A2 + · · · + Ak−1 .

1 −1
34. Usando o exerc´ıcio anterior, calcule a inversa da matriz M = 0 1
0 0


0
−1.
1

35. Encontre todos os valores de α para os quais

1
1
1

2
0
2


0
0
α

´e invert´ıvel.
36. Se A e B s˜
ao matrizes invert´ıveis, mostre que
A−1 + B −1 = A−1 (A + B)B −1 .
Que igualdade ´e esta no caso de matrizes 1 × 1?
37. Seja A uma matriz n × n tal que A4 = O (matriz nula n × n). Mostre que
(In + A)−1 = (In − A)(In + A2 ).
38. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n × m tais que Im − AB seja invert´ıvel.
(a) Prove que tamb´em In − BA ´e invert´ıvel, sendo (In − BA)−1 = In + B(Im − AB)−1 A.
(b) Verifique que A(In − BA)−1 = (Im − AB)−1 A e que (In − BA)−1 B = B(Im − AB)−1 .
39. Resolva a seguinte equa¸c˜
ao matricial relativamente `a matriz X:




1 0
1 1
1 0
X
=
.
0 −1
3 4
0 2
40. Considerando as matrizes



1 0 1
1
A = 1 1 1 ,
B = 0
0 0 1
1

1
1
2


0
0 ,
−2


2
C = 3
0


1
1 ,
1

D=

resolva as seguintes equa¸c˜
oes matriciais relativamente `a matriz X:

−1 −1
(a) (B −1 )T X
A = I;

T
(b) C T DT X = E.

ua

dmat


1
0

−2
1


1
,
1


E=

4
−4


0
,
8