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Algebra
Linear e Geometria Anal´ıtica
agrupamento IV – ECT, EET, EI
folha pr´atica 1
matrizes e sistemas de equa¸c˜
oes lineares
p´agina 6/8

41. Sabendo que
A−1 =




1
1

1
−1

e

B=


2
0


0
,
−1

determine a matriz M que satisfaz a equa¸c˜ao matricial AM A = B.
42. Considere o sistema de equa¸c˜
oes lineares


 4x + y + 3z = 1
3x + y + 3z = 0 .


5x + y + 4z = 1
(a) Mostre que a matriz dos coeficientes do sistema ´e invert´ıvel e calcule a sua inversa.
(b) Justifique que o sistema ´e poss´ıvel e determinado. Indique a sua solu¸c˜ao.
43. Mostre que se A ´e invert´ıvel, ent˜
ao AT tamb´em ´e invert´ıvel e (AT )−1 = (A−1 )T .
44. Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ıvel e a sua inversa coincidir com a sua transposta.
Mostre que
(a) o produto de duas matrizes ortogonais ´e ainda uma matriz ortogonal;
(b) a inversa de uma matriz ortogonal ´e ainda uma matriz ortogonal.

Aplica¸co
˜es
45. Considere o circuito el´ectrico representado na figura seguinte:

R1
+


VA

R2

R3
VB
+


constitu´ıdo por dois geradores de tens˜
ao VA = 7 V e VB = 5 V e trˆes resistˆencias R1 = 10 kΩ, R2 = 5 kΩ
e R3 = 15 kΩ. Determine a intensidade das correntes que passam pelas trˆes resistˆencias.
Observa¸

ao: Para resolver o exerc´ıcio ´e preciso aplicar as Leis de Kirchhoff:
(a) (lei dos n´
os) a soma das correntes que entram num n´o ´e igual `a soma das correntes que dele saem
(ou seja, um n´
o n˜
ao acumula carga);
(b) (lei das malhas) a soma da diferen¸ca de potencial el´ectrico ao longo de qualquer caminho fechado
(malha) ´e nula.
A dire¸c˜
ao escolhida para percorrer a malha determina o c´alculo das diferen¸cas de potencial consoante as
seguintes conven¸c˜
oes:

V = VA

VA

+


+


VA

V = −VA

R

V = RI
I

V = −RI

R
I

• Num gerador de tens˜
ao, a diferen¸ca de potencial el´ectrico medida do polo positivo para o polo
negativo ´e positiva; caso contr´
ario ´e negativa.
• Numa resistˆencia R percorrida por uma corrente I, a diferen¸ca de potencial el´ectrico, medida com
o mesmo sentido que a corrente, ´e dada pela Lei de Ohm, isto ´e, V = RI; caso contr´ario, V = −RI.
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dmat