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Étude de la diffusion thermique et
l’échange de la chaleur entre deux
solides indéformables

Plan :
I. Étude théorique
II. Modèle expérimental, résultats
III. Analyse, conclusions

I. Etude théorique
1. Formule Flux-Effusivités








Tc (t) − T0
x
l1 (t)
→ Régime Q.S : ∆T = 0, donc :

Tc (t) − T0



x
 T2 = T (x ≥ 0) = Tc (t) −
l2 (t)
T1 = T (x ≤ 0) = Tc (t) +

→ Conservation de l’énergie de {1 + 2} :
Pc × t =

Z 0
−l1 (t)

ρ1 c1 S (T1 − T0 ) dx +

Z l2 (t)
0

#

"

ρ2 c2 S (T2 − T0 ) dx
#

"

Pc × t
Tc (t) − T0
Tc (t) − T0
= ρ1 c1 (Tc (t) − T0 ) l1 (t) −
l1 (t) + ρ2 c2 (Tc (t) − T0 ) l2 (t) −
l2 (t)
S
2
2
Pc × t
ρ1 c1 l1 (t) + ρ2 c2 l2 (t)
=
(Tc (t) − T0 )
S
2
→ Continuité du flux à la surface :
!

Pc
λ1
λ2
= jQ2 − jQ1 =
+
· (Tc (t) − T0 )
S
l1 (t) l2 (t)
!

ρ1 c1 l1 (t) + ρ2 c2 l2 (t)
λ1
λ2
t
=⇒
=
+
2
l1 (t) l2 (t)
s
λ1
l12 (t)
λ2
l22 (t)
λ2 ρ1 c1
Or : D1 =
∝
, et D2 =
∝
⇒ l2 (t) = l1 (t)
·
ρ1 c1
ρ 2 c2
t
λ1 ρ2 c2
t
s

q
l1 (t) 
ρ 1 c1 
ρ1 c1 + λ2 ρ2 c2 ×
=
soit :

2
λ1 
| {z }
β2

!

λ1
λ2
+
t
l1 (t) l2 (t)

√
1
λi ρi ci dite effusivité thermique (≡ J · K−1 · m−2 · s− 2 ).
li2(t) λ2i
En simplifiant (Cf. annexe 1), il vient :
= , i ∈ {1; 2}
2t
βi

On introduit alors la grandeur : βi =








Ainsi : 





Donc :





|Tc − T0 |
l1 (t)
|Tc − T0 |
|φ2 (0, t) | = S|jQ2 (0, t)| = Sλ2
l2 (t)
φ1 (0, t) | = S|jQ1 (0, t)| = Sλ1

 φ2 (0, t) 
φ2 (0, t)  λ2 l1 (t)

=
·
⇒ 

φ1 (0, t)
λ1 l2 (t)
φ1 (0, t)




=

β2
=a
β1

2. Température statique moyenne

Cf. annexe2 : Température moyenne du contact statique
au régime stationnaire : barycentre des températures affectées
aux effusivités respectives (facteurs de pondération) :

Tm =

β1T1 + β2T2
β1 + β2

II. Modèle expérimental, résultats

Figure 1: Dispositif expérimental

Fonte (1)
Aluminium (2)

λ

ρ

c

m

50W · K−1 · m−1

7.8 × 103 · kg · m−3

450J · K−1 · kg−1

335g

230W · K−1 · m−1 2.7 × 103 · kg · m−3

880J · K−1 · kg−1

170g

Figure 2: Valeurs des grandeurs physiques utiles des matériaux

Figure 3: Pièce (1)

Figure 4: Pièce (2)

β
1

1.3 × 104 · J · K−1 · m−2 · s− 2

Fonte (1)

a=

D

β2
β1

1.4 × 10−5 · m2 · s−1
1.76

Aluminium (2)

2.3 × 104 · J · K−1 · m−2 · s

− 12

10−4 · m2 · s−1

Figure 5: Grandeurs thermiques caractéristiques et rapport des effusivités

t

0s

20s

60s

120s

180s

240s

T1 (◦ C)

22.0

27.4

32.5

38.8

49.9

59.2

T2 (◦ C)

21.2

32.1

43.7

55.8

64.5

77.6

T3 (◦ C)

21.5

25.2

35.6

39.1

50.5

54.5

Figure 6: Récapitulatif des résultats de l’expérience

III. Analyse, conclusions

Figure 7: Dispositif
pendant l’expérience

Figure 8: Pièce (2) à
la fin de l’expérience

Script python :

# -*- coding: utf-8 -*"""
Created on Thu Jun 11 15:07:49 2015
@author: ELQATIB Nabil
"""
#%%
"""T.I.P.E : Diffusion-Échange thermique"""
from __future__ import division
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#Conductivités thermiques:
lambdaFonte=55
lambdaAlu=220
#Effusivités:
betaFonte=13247.6
betaAlu=23376.9 #Toutes exprimées dans le système d'unités international
a=betaAlu/betaFonte #( ~1.72)
S=pi*(2.7*10**-2)**2 #En m^2
#Masses:
mAlu=170*10**-3
mFonte=335*10**-3
#Capacités calorifiques massiques:
cFonte=450
cAlu=880
l=2*10**-2 #Épaisseur des disques

2 cm

#Relvés expérimentaux des températures:
t=[0,20,60,120,180,240]
T1=[22.0,27.4,32.5,38.8,49.9,56.2] #Surface_Fonte
T2=[21.2,32.1,43.7,55.8,64.5,77.6] #Surface_Aluminium
T3=[21.5,25.2,35.6,39.1,50.5,54.5] #Col

#Calcul des flux:
phi1,phi2=[],[]
phi1.append(mFonte*cFonte*(T1[1]-T1[0]))
phi1.append(mFonte*cFonte*(T1[3]-T1[2]))
phi1.append(mFonte*cFonte*(T1[5]-T1[4]))
phi2.append(mAlu*cAlu*((T2[1]-T2[0])-(T3[1]-T3[0])))
phi2.append(mAlu*cAlu*((T2[3]-T2[2])-(T3[3]-T3[2])))
phi2.append(mAlu*cAlu*((T2[5]-T2[4])-(T3[5]-T3[4])))
#Calcul des rapports expérimentaux:
rapport_Flux=[]
for i in [0,1,2]:
rapport_Flux.append(phi2[i]/phi1[i])
avg=average(rapport_Flux) #Moyenne des rapports obtenus (~1.37)

#Tracé de l'évolution temporelle des températures:
plt.plot(t,T1,'b-',label='Fonte',linestyle=':',marker='o')
plt.plot(t,T2,'r-',label='Aluminium',linestyle=':',marker='o')
1

plt.plot(t,T3,'k-',label='Col',linestyle=':',marker='o')
plt.xlabel('Temps(s)')
plt.ylabel('Température(°C)')
plt.title('Évolution des températures en fonction du temps')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
#Comparaison du rapport théorique et expérimental des flux:
plt.scatter([1,2,3],rapport_Flux,c='b',label='Rapport des flux')
plt.plot([1,2,3],[a,a,a],c='r')
plt.ylabel('Rapport des flux')
plt.xlabel('N° Mesure')
plt.annotate('Rapport des effusivités', xy=(2,a), xytext=(1.2, 2.2),
arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.1),
)
plt.title('Comparaison des rapports des flux au rapport des effusivités')
plt.legend()
plt.show()

#%%

2

Calcul des flux : bilan enthalpique :
? φ1(0, t) = m1c1∆T1 = m1c1 (T1(ti+1) − T1(ti))
? φ2(0, t) = m2c2 (∆T2 − ∆T3)