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Problemas y ejercicios de analisis matem .pdf



Original filename: Problemas_y_ejercicios_de_analisis_matem.pdf
Title: Problemas y ejercicios de análisis matemático - Demidovich
Author: Demidovich

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PROBLEMAS DE EJERCICIOS
DE
ANALISIS MATAMATICO

www.FreeLibros.me

G. B a r a n e n k o v , B , D e m id o v i c h , V . E fim e n k o , S . K o g a n y
G. L u n ts t É . P o r s h n e v a , Z?. Siofeoya, 5 . F r o l o v , ñ . Shostak
y A . Y a n p o ls k í

PROBLEMAS Y EJERCICIOS
DE
ANALISIS MATEMATICO
.floyisac/o p o r

p ro/esor

D em id o v ich

S egu n d a edición

EDITORIAL MIR • M o s c ú
19 6 7

www.FreeLibros.me

PRO LO G O

E n el

p resen te

li b r o , lo s p r o b le m a s y

e je r c ic io s de a n á lisis

m a t e m á t ic o se h a n e s c o g id o de acu erdo c o n el program a m á x im o
d e l c u r s o general de m a te m á tic a s su periores q u e se estudia en lo s
c e n tr o s

de

enseñanza

t é c n ic a

su p erior.

C o n tien e

m ás

de

3000

p ro b le m a s s is te m a tiz a d o s en c a p ít u lo s (I — X ) y abarca la t o t a li­
dad de la s p a r te s q u e c o n s t i t u y e n el cu rso de m a te m á tica s su periores
de lo s

m e n cio n a d o s c e n tr o s de en señ a n za (e x c e p t o la g eom etría

a n a lític a ). S e ha prestado e s p e cia l a t e n c ió n a la s partes q u e, por
ser m ás im p o r ta n te s , requ ieren una m a y o r p r á c tica (d e te rm in a ció n
de l ím it e s , t é c n ic a de d ife r e n c ia c ió n , c o n s tr u c c ió n de las g rá fic a s
de la s fu n c io n e s , t é c n ic a de in t e g r a c ió n , a p lic a c ió n de las in te ­
g rales d e fin id a s , series y r e s o lu c ió n de e cu a cio n e s d ife re n cia le s ).
T e n ie n d o

en

c u e n ta

que

en

alg u n os

c e n tr o s

de ensoñanza

s u p e r io r se e x p lic a n c a p ít u lo s su p le m e n ta rio s al c u r s o de m a te­
m á t ic a s , lo s a u tore s h a n in c lu id o p ro b le m a s de te o ría de lo s ca m p o s ,
del m é t o d o de F o u r ie r y

de cá lcu lo s

a p ro x im a d o s.

La

práctica

p e d a g ó g ic a dem u estra q u e el núm ero de p rob lem a s que se ofrecen ,
no s ó l o es m á s q u e s u f ic ie n t e para c u b r ir la s necesidades de los
e s t u d ia n te s
c a p ítu lo s

para r e fo r z a r p r á c tic a m e n te e l c o n o c im ie n t o de los

co r re s p o n d ie n te s,

s in o que

ta m b ié n da al

p ro fe s o r la

p o s ib ilid a d de h a c e r una s e l e c c i ó n v ariad a de lo s p rob lem a s dentro
de lo s

lim it e s de c a d a ca p ítu lo y de e le g ir lo s n e ce sa rios

para

la s ta re a s de resum en y l o s tr a b a jo s de c o n tr o l.
A l p r i n c i p i o de ca d a c a p ít u lo se da u n a b re v e in tro d u c ció n
t e ó r ic a y las d e f in ic io n e s y fórm u la s m ás im p o r ta n te s relativas
a la p a rte co rre s p o n d ie n te del c u r s o . A l m is m o tie m p o se ofrecen
e je m p lo s de re s o lu c ió n de lo s problem as típ ic o s más interesantes.

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6

P ró lo g o

C on e llo creem os h a b er fa c ilita d o a lo s e stu d ia n te s el e m p le o de
este m a n u a l de p ro b le m a s a l r e a liz a r sus tr a b a jo s in d iv id u a les.
Se dan la s s o lu c io n e s de todos lo s problem as do c á lc u lo . En
las s o lu c io n e s de aqu ellos problem as q u e v a n m arcados c o n un
a ste ris co (*), o c o n dos (**), se i n c lu y e n b rev es in d ic a c io n e s para
su r e s o lu c ió n o r e s o lu c io n e s . P arte de lo s p ro b le m a s se ilu stra n
con fig u ra s para h a cerlo s más co m p r e n s ib le s .
E ste m anual de

problem as es el resu ltado de la r g o s años de

enseñanza de la d is c ip lin a , p o r p a rte do los autores, en los cen tros
de enseñanza té c n ic a de la U n ió n
problem as

y

e jo r c ic io s

o rig in a le s ,

S o v ié tica .
se

h an

p rob lem a s c u y o co n o c im ie n t o es genoral.

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E n é l, adem ás de
re c o g id o

n u m erosos

C a p ítu lo I

IN T R O D U C C IO N A L A N A L I S I S

§ 1, Concepto de fu n c ió n
I o. N ú m e r o s r e a l e s . Lo s nú m eros racion a les e irra cio n a le s se
d e n o m in a n nú m eros reales. P o r valor absoluto de u n núm ero real a so e n t ie n ­
do u n núm ero 110 n e g a tiv o |a|, d e term in a d o p o r las c o n d icio n e s : \ a \ ~ a y
s i a ^ O y \ a \ = — a, si a < 0 . Para d os números reales cualesquiera a y b
so v e r i f i c a la d esig u a ld a d

2o. D e f i n i c i ó n d e l a f u n c i ó n . Si a cada u n o do ios v a lores *)
q ue puedo to m a r u n a m a g n itu d v a r ia b le x , perten ecien te a un determ inado
c o n ju n t o E y c o rre s p o n d o u n v a l o r ú n ico , f in it o y d eterm inado do la m ag­
nitud y , esta m a g n itu d y recib e e l nom b re de /unción (uniform o) de x y
o de variable dependiente determ in a d a on el c o n ju n to E\ x se llam a argumento
O variable independiente. E l hecho do q ue y sea fu n ció n de x so expresa
ab revia d a m en te p o r m e d io de las n o ta cio n e s: y = f ( x ) o y = F { x ) y etc.
Si a ca d a uno de lo s v a lo re s q ue pueda lom a r x y perten ecien te a un
d e t e r m in a d o c o n ju n to E , corresp on d e n uno o v a rios v a lores do la m agnitud
v a ria b lo y y esta m a g n itu d y so llam a función m ultiform e de x y d eterm iuada
en el c o n ju n t o E . fcn lo su cesivo , co n la palabra « fu n c ió n » designarem os
ú n ic a m e n te las fu n cio n e s u n i f o r m e s , siem pre que de fo rm a e x p líc it a no
se p re v e n g a lo con trario.
3°. C a m p o d e e x i s t e n c i a d o l a f u n c i ó n . E l c o n ju n to de
v a lores do x y que d e te rm in a n la fu n c ió n dada, so llam a campo de existencia
o campo de definición de la fu n ción .
E n los casos más elem e n ta les, e l ca m p o de e x isten cia de las funciones
representa: o u n segmento [a y b), os d e cir, u n c o n ju n to de núm eros reales x t
que sa tis fa ce n a las desigualdades
o u n intervalo (a, b )y es decir,
un c o n ju n t o de n ú m o r o s rea les x , que sa tis fa ce n a las desigualdades a <^x <^b.
Pero la estru ctu ra d e l cam po de ex isten cia de las fu n cio n e s puode ser aún
m ás c o m p le ja (véase, p o r o j . , el p ro b le m a 21).
Ejem plo

1.

D e te rm in a r el cam po de e x iste n cia de la fun ción

1

u — -----------Solución.

.

La f u n c i ó n estará d e fin id a si
* 2- l >

0,

es d e cir, s í |^ |> 1. Do esta fo rm a , el cam po de ex isten cia de la fun ción
representa u n c o n ju n to de dos in te r v a lo s : — o o O
< — 1 y 1< * < -| -co .
*) En adelanto, to d o s lo s v a lo re s de las inagnitudos que se exam ínen se
supondrán reales, siem pre q ue de m anera e x p líc it a n o se indique lo co n tra rio .

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8

Introducción al análisis

4 o. F u n c i o n e s i n v e r s a s . Si la e c u a c ió n y = j (s) a d m ite s o lu c ió n
ú n ic a resp ecto a Ja v a ria b io x y es d e cir, s i e x is te una fu n ció n x = g ( y )
t a l, que y = j [ g { y ) I, la fu n c ió n ar= £ ( y ) , o s ig u ie n d o las n o ta cio n e s usuales
y — g( z ) > se llam a inversa co n r e la c ió n a y = f { x ) . Es e v id e n te q ue g [ f ( x )j =
= x , es decir, que las fu n cion e s / (x) y g ( x ) son recíprocam ente inversas.
En el caso general, la ecuación y = f ( x ) determinará una función mul­
tiforme inversa x = = f - * { y ) tal, que y = / ( / “ * (y)) para todas las y , que sean
valores de la función j (x).

Ejem plo

2.

Determinar la inversa do la función
y = 1 — 2~*.

Solución.

(1)

Resolviendo la ecuación (1) respecto a x, tendremos:
2” x =

1— y

y


lg 2
Es

e v id e n te

q ue

el

ca m p o

de

d e f in ic i ó n

(2)
de

la

fu n c ió n

(2)

será:

—a > < y < l .
5o. F u n c i o n e s c o m p u e s t a s o i m p l í c i t a s . La función y de
x, dada por una cadena de igualdades y = /(u ), donde u = (p(x), etc,, se llama
compuesta o junción de junción.
La fu n ció n dada por una e c u a c ió n que n o está resuelta c o n respecto
a la v a ria b le d ependiente, r e c ib o el nom b ro de im plícita. P o r e je m p lo ,
la e c u a c ió n x 3 + y :* = 1 determ ina a y com o fu n ció n im p lí c it a de x .
6o. R e p r e s e n t a c i ó n
g r á f i c a d e l a s f u n c i o n e s . E l con­
ju n to de pu n tos (x , y ) de un p la n o X O Y f cu yas coordenadas estén rolacionadas
e n t r e s í p o r la e c u a c ió n y = / { x ) , s o denom ina gráfica do d ich a fu n ción .

i* * .

D em ostrar, que si a y b so n n ú m eros reales
I M ~ - | f r | | < | a — fcl < l « l + I H

2. D em ostra r la s s ig u ie n te s ig u a lda des:
a) |« 6 ( = ¡a | -j & |;

c ) |~ |

b) | a |2 = a 2;

d)

(b

0 );

y«*= | a| .

3. R e s o lv e r la s in ecu a cio n e s:
a) 1íc — 1 j <

3;

b) | * + 1 1> 2 ;

c)

| 2 a ?+ l| < l;

d) \ x — 1 1< [ a : - ( - l |.

4. H a lla r / ( — 1). / ( O ) , / ( 1 ) , / ( 2 ) , / ( 3 ) y / ( 4 ) , si f ( x ) = x s — 6a:2 + l i s — 6 .
5 . H a lla r / ( O ) ,
= /

/ (

.

/(-* ),

/ (± ) .

^

, si / ( * ) =

1 4 -x*.
*) lg x = log 10x, como siempre, designa el logaritmo decimal del número x.

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Concepto d e la ju nción

6 . Sea / ( x) = a re e o s (Ig z ) . H a lla r / ( ¿ ) ,

9

/ ( 1 ) Y / (10).

7. L a fu n c ió n f ( x) es lin e a l. H a lla r dicha f u n c ió n , si
/ ( — 1) — 2 y / ( 2 ) = - B .
8 . H a lla r la fu n c ió n entera y ra cion a l de segu n do grado } (x),
si / (0) = 1, / (1) = 0 y / (3) = 5.
9. S e sabe que, / ( 4 ) = — 2 y / ( 5 ) = 6 . H a lla r el v a lo r apro­
x im a d o de / (4 , 3), con sid era n do q u e la fu n c ió n / (£ ), en el seg­
m e n to 4 < £ < 5 , es lin e a l ( in ter p o la ció n lin e a l d e fu n cio n es).
• 1 0 . E s c r ib ir una s o la fó rm u la q u e exprese la fu n c ió n

0 , si £ < 0 ,
/< * ) =

x , si x > 0 ,

em pleando el sign o de v a lo r a b s o lu to .
D eterm in ar e l ca m p o de e x iste n cia de la s sig u ie n te s fun ciones:

11 . a) y = V x + 1 ;
12 .

J

b ) y = y rx + L

4 — ar2

13. a) y - V z * — 2;

b) y ^ = x Y ^ ~ 2 -

1 4 * ..

y ^ Y 2 -\ -x — x'K

15.

y —V — £ +

16.

y = Y x ~ £ 3,

17-

V=

4o

i

1/ 2 - 1-

— 3* + 2

19.

y = are eos 73— .
1n~x

20 .

y = are sen ^ lg

21.

y — Y sen2x.

22.

Sea / (£) = 2 a 4 — 3£3 — 5 í 2 - f 6x — 1 0 . H a lla r

.

<f(x) = - j [ f ( x ) + f ( - x ) ]
23.

y

= T l/(* )“ /(-* )!■

La

fu n c ió n / ( s ) , determ inada
en e l c a m p o sim é trico

se denom ina
par, si / ( — z ) = / ( z ) >
e
si
/ ( - * ) = — /(£ ).

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10

Introducción al análisis

D etorm in ar,
cu á les impares:

cu á les de las sig u ien tes

a) / ( * ) - i - (a* + 0

fu n c io n e s

son

pares

y

;

b) f { x ) = Y í + x + x 2— ] /r l — x + x*;
c) / (*) = ^ ( S + I ) 5+
d) / (* ) = i g | í f ;
e) / ( x ) = l g (a:+ 1 /1 + **).
24*. D em ostrar que cu a lq u ie r fu n c ió n / (a:), determ inada en el
in te rv a lo — l < C x < l , puede representarse com o la suma de una
fu n c ió n par y otra impar.
25. D em ostrar q u e el p r o d u cto de dos fu n cion es pares o de
d o s impares es una fu n c ió n par, m ien tra s que el p ro d u cto de una
fu n c ió n par por otra im par e s una fu n c ió n impar.
2 6 . La fu n c ió n / (x) se llam a p e r ió d ic a , si e x iste un número
p o s it iv o T (p erío d o d e la ,f u n ción ) ta l, que f ( x + T) = f ( x )
para todos lo s v a lores de x perten ecien tes al c a m p o de e x is te n cia
de la fu n c ió n f ( z ) .
D e te rm in a r cuáles de las fu n cio n e s que so enum eran a c o n t i­
n u ación son periód ica s y h a lla r el período m ín im o T de la s m is­
mas:
a) / (x) = 10 sen 3x;
b) / ( x) = a sen X z + b eos X x ;
c) f ( x) =

y

tgx;

d) / ( s ) = sen* x ;
e) f ( x ) ^ s e n { V x ) .
27. E xpresar la lo n g itu d del segm en to y = M N y el área S
de la
fig u r a A M N com o f u n c i ó n de x = A M
( f i g . 1). C on struir
Jas g rá fic a s de estas fun ciones.
28. Las densidades lin eales (es d e cir, la masa de una unidad de
lo n g itu d ) de una barra A B = l { fig . 2 ) en sus porcion es A C — l i9
C D = l 2 y D B = l3 ( l { + l 2~\- k = l) son resp ectiva m en te ig u a les a qi9
?2 y <?3- Expresar la masa m do una p o r c ió n v a r ia b le A M = x de
esta m ism a barra, com o fu n c ió n de x . C on stru ir la g r á fic a de
esta fu n c ió n .
29. H a lla r q>[i|)(:r)| y ip [q> (o:)], si y ( z ) = z 2 y ^ ( x) = 2x .
30.

H a lla r / { / [ / ( * ) ] } ,

si

f ( x ) = T~ .

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11

Concepto de la función

3 1 . H a lla r / (a:
1 ), si / ( x — l ) = x2.
3 2 . Sea f (re) la suma de n m iem b ros de
m ética .
D em ostrar que:

una progresión arit­

/ ( n + 3 ) - 3 / ( i» + 2 ) '+ 3 /( n + l ) - / ( n ) « 0.
3 3 . D em ostrar quo, si
f(x ) = kx + b
y lo s núm eros x , t x¡¡ y x 3 c o n s titu y e n una progresión a ritm é tic a ,
ta m b ié n form arán una progresión a ritm é tic a lo s núm eros f f a ) ,

/ { * a ) y /(a ra ).

3 4 . D em ostra r q u e, s i f ( x ) es una fu n c ió n
d e cir, f { x) = ax ( a > 0 ), y lo s núm eros x u y x s

a

ex p on en cia l, es
co n stitu y e n una

M
l r■'/ü-

Fig. 2

Fig. 1

progresión a r itm é tic a , lo s núm eros f ( x 4), f ( x 2) y
una progresión geom étrica.
3 5 . Sea

f ( x 3) forman

D em ostrar, que:

36.

Sea q > ( a ) = - j (ax + a~x) y i|) (x ) = y

(ax — a~x).

que:
«p ( * + » ) = q> ( * )

( 0 ) + ♦ ( * > ♦ (if)

y
•ty{x + y ) = tf(x)-ty ( y) + cp ( y)
37.

(«)•

H a lla r / ( - 1 ) , / (O) y / ( l ) , si
/(* )=

are sen z ,

para

a re tg x ,

para 0 < x < + c o .

— l < z < 0,

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Demostrar


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