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Probl`
eme

On a des points (ai )i et (bi )i et on veut savoir si un des [ai ; bi ] recouvre
tous les autres (en prenant le segment [ai ; bi ] dans le sens horaire).
Soit ei l’´ev`enement le segment [ai ; bi ] recouvre tous les autres, on recherche
la probabilit´e p = P(∪i ei )

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Simplification au calcul de P(e1)

P
Les ei sont incompatibles donc p = P(∪i ei ) = i P(ei ) et les ´ev`enements
sont sym´etriques donc P(ei ) = P(e1 ) et donc p = 50 × P(e1 ).

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Reformulation de P(e1) en crit`
ere sur les
permutations

On parcourt le cercle dans le sens horaire en partant de 1 et on note vi
le i-`eme point rencontr´e ; il est facile de se convaincre que v1 = 1 mais que
v2 . . . v100 forme une permutation de 2 . . . 100 et qu’il y a conservation des
probabilit´es.
L’´ev`enement e1 se traduit sur la suite (vi ) de la fa¸con suivante :
— v100 = 2
— si vi = 2k + 1 et vj = 2k + 2 alors i < j pour 1 ≤ k ≤ 49

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Calcul de P(e1)

Il y a 99! permutations qui laissent v1 = 1. Il y a 98! permutations qui
placent v100 = 2.
En partant d’une partition satisfaisant e1 on peut intervertir les positions
de vi = 2k + 1 et vj = 2k + 2 pour chaque 1 ≤ k ≤ 49 et retrouver toutes les
permutations qui placent v1 = 1 et v100 = 2.
Il y a donc 298!
49 permutations qui satisfont e1 sur 99! au total donc P(e1 ) =
98!
1
= 99×249 .
99!×249

50
Conclusion p = 99×2
49
1