Metody prob 1 (PDF)

Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 1
Powtórzenie, prawdopodobieñstwo
Teoria
Podstawowy pojêciem probabilistycznym ( zwi¹zanym z teori¹ prawdopodobieñstwa)
jest przestrzeñ probabilistyczna czyli trójka , F, P  gdzie  przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych czyli pewien zbiór, F jest  -ciaùem podzbiorów  , zaœ P miar¹
unormowan¹ na F czyli prawdopodobieñstwem. Zdefiniujmy wiêc te podstawowe
pojêcia:
Definicja 1
Rodzina zbiorów F nazywamy  -ciaùem na zbiorze  je¿eli speùnia nastêpuj¹ce
warunki:
(i)
F ,
(ii)
 A  F gdzie A oznacza   A czyli dopeùnienie zbioru A.
AF

(iii)

dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy

A

F .

A

F .

n

n

Ponadto z powy¿szej definicji wynika:
Wùasnoœã 1
Jeœli F jest  -ciaùem to:
(i)
dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy

n

n

(ii)
(iii)

Je¿eli A, B  F to A  B  F , A  B  F oraz A  B  F .
F

Dowód
(i)

Wynika z i¿

A

n

n

(ii)
(iii)



     An  oraz z warunków (i) i (ii) z Definicji 1.
 n


Ãwiczenie wùasne ( zauwa¿my ¿e dla dowolnych zbiorów A,B mo¿emy w
sposób sztuczny zbudowaã ci¹g nieskoñczony A, B, , , ,..... )
Zauwa¿my, ¿e     co daje tezê.

Podam teraz aksjomatyczn¹ definicjê prawdopodobieñstwa:
Definicja 2
Niech  pewien zbiór zaœ F  -ciaùo zdefiniowane na  . Prawdopodobieñstwem
nazywamy dowoln¹ funkcjê P okreœlon¹ na F i speùniaj¹c¹ warunki:
P : F  R
(i)
(ii)
P    1

1

(iii)

Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... oraz Ai  A j   dla i  j ,(czyli s¹ parami










i 1

rozù¹czne) to P  Ai    P Ai 
 i 1

Mo¿emy mówiã równie¿ o klasycznej definicji prawdopodobieñstwa która jest
szczególnym, intuicyjnym przypadkiem:
Definicja3 (Klasyczna definicja prawdopodobieñstwa)
Niech  zbiór skoñczony,   1 , 2 ,..., n , F  2  oraz wszystkie zdarzenia
elementarne s¹ tak samo prawdopodobne to prawdopodobieñstwem klasycznym
nazywamy funkcjê P okreœlon¹ na F wzorem:
A

P  A 

, oraz P  i  



1
.
n

Przykùad 1
Rzucamy kostk¹ do gry, wtedy   1,2,3,4,5,6, wszystkie wyniki s¹ tak samo
prawdopodobne zaœ np. prawdopodobieñstwo zdarzenia A- wyrzucenia parzystej
liczby oczek wynosi P A 

2,4,6
1,2,3,4,5,6



3
 0,5 .
6

Z powy¿szych rozwa¿añ oraz z aksjomatycznej definicji prawdopodobieñstwa
otrzymujemy:
Twierdzenie 1 ( Wùasnoœci prawdopodobieñstwa)
Je¿eli , F, P  jest przestrzeni¹ probabilistyczn¹ oraz A, B, A1 , A2 ,..., An  F , to
(i)
P    0
(ii)
P A  0,1
(iii) Skoñczona addytywnoœã. Jeœli mamy skoñczony ci¹g
 n
 n
P  Ai    P  Ai 
 i 1  i 1
Monotonicznoœã. Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy
P  A  P B  .
Przeliczalna subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... , to
Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , to

(iv)
(v)

  
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1

(vi)

Skoñczona subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,..., n , to
 n
 n
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1

(vii)

Ci¹gùoœã.

2







a. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
n 

 n 1 


b. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
 n 1  n 
(viii) Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy PB  A  PB   P A .
(ix)
P A  1  P A .
(x)
Dla dowolnych A, B  F mamy P A  B   P A  PB   P A  B  .
(xi) Dla dowolnych A, B, C  F mamy
P A  B  C   P A  PB   PC   P A  B   P A  C   PB  C   P A  B  C 

.
Dowód
(i)
Korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci prawdopodobieñstwa mamy
P   P      .....  P   P   P    ........ st¹d P    0
(ii)
Wyka¿ê (iv) wtedy (ii) jest oczywiste z faktu i¿ P   1 i P nieujemna
funkcja.
(iii) Weêmy Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , oraz dla i  n niech
An   wtedy korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci oraz z warunku (i)

(iv)

(v)

n
 n

  
mamy P  Ai   P  Ai    P Ai    P Ai 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
Skorzystamy z warunku (iii). Niech A, B  F takie, ¿e A  B , mamy wtedy:
PB   P A  B  A gdzie oczywiœcie oba skùadniki sumy s¹ rozù¹czne czyli
PB   P A  PB  A oraz PB  A  0 co daje tezê.
Dla Ai  F , i  1,2,3,... , zdefiniujmy w nastêpuj¹cy sposób ci¹g Bn . Niech

B1  A1 , Bn  An   A1  ...  An 1  , wtedy oczywiœcie mamy ci¹g zbiorów z F


rozù¹cznych parami i takich, ¿e



 Bn   An oraz dla ka¿dego n mamy
n 1

n 1

Bn  An czyli P Bn   P  An  . Policzmy wiêc:

 
  
P  Ai   P  Bi    P Bi    P  Ai  co daje tezê.
i 1
 i 1 
 i 1  i 1

(vi)
(vii)

Wniosek z (v) uzupeùniaj¹c ci¹g zbiorami pustymi.
Niech An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... Zdefiniujemy ci¹g C n w
nastêpuj¹cy sposób: C1  A1 , C 2  A2  A1 ,...., C n  An  An 1 ,.... wtedy
n

oczywiœcie zbiory C n nale¿¹ do F oraz s¹ rozù¹czne oraz An   C i , wiêc
i 1

mamy:
n
 
  
 n

P  Ai   P  C i    P Ci   lim  P C i   lim P  C i   lim P An 
n
n 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
 i 1  n 
(viii) Weêmy dowolne A, B  F takie, ¿e A  B mamy
PB   PB  A  A  PB  A  P A bo A  B, A rozù¹czne. Ostatnia

równoœã daje tezê.

3

(ix)

Weêmy dowolne A, B  F korzystaj¹c z algebry zbiorów oraz wùasnoœci
(viii) oraz (iii) mamy:

P A  B   P A  B  A  P A  PB  A  P A  PB   A  B   P A  PB   P A  B 

(x)

Do samodzielnej pracy.

Innym przykùadem prawdopodobieñstwa jest prawdopodobieñstwo geometryczne:
Definicja 4
Niech  podzbiór R n taki, ¿e gdzie n miara Lebesgu’a okreœlona na R n (w
uproszczeniu oznacza to dùugoœã w R ,pole w R 2 , objêtoœã w R 3 ), wtedy
prawdopodobieñstwem geometrycznym na  nazywamy miarê P okreœlon¹
  A
wzorem P A  n
gdzie A dowolny zbiór mierzalny wzglêdem miary
 n  
Lebesgu’a.
Przykùad 2
Z odcinka (0,2) losujemy 2 liczby. Policzê prawdopodobieñstwo zdarzenia A, ¿e ich
suma jest mniejsza ni¿ 1.
Rys 1

Zauwa¿my, ¿e losowanie 2 liczb z odcinka (0,2) polega na wylosowaniu punktu z
kwadratu 0,2  0,2 czyli  to ten kwadrat. Oczywiœcie 2    4 , mamy
ponadto A   x, y    : x  y  1 czyli  2  A 

1
1
, st¹d P  A  .
2
8

Dwoma podstawowymi pojêciami w teorii prawdopodobieñstw, których nie nale¿y
myliã s¹ rozù¹cznoœã i niezale¿noœã zdarzeñ, przypomnijmy zdarzenia A,B s¹
rozù¹czne tak jak zbiory, gdy A  B   . Niezale¿noœã oznacza zaœ nastêpuj¹c¹
wùasnoœã pary zbiorów:
Definicja 5
Zbiory A,B s¹ niezale¿ne jeœli speùniaj¹ warunek: P A  B   P A  PB  .
Przykùad 3

4

Rzucamy 2 razy monet¹ i rozwa¿my zdarzenia A- wylosowaliœmy 1 reszkê i 1 orùa i
B- w drugim rzucie wylosowaliœmy orùa. Zbadaj niezale¿noœã zdarzeñ A,B.
  o, o , r , r , o, r , r , o  i mamy model klasyczny czyli P  A 

A


P B  

B







2 1
 ,
4 2

2 1
A B 1
 oraz mamy P  A  B  
 , czyli P A  B   P A  PB  .
4 2
4


Zdarzenia A,B s¹ wiêc niezale¿ne.
Uwaga.
Dla trzech zdarzeñ A,B,C mówimy ¿e s¹ one niezale¿ne gdy niezale¿ne s¹ pary A,B
i B,C i A,C oraz zachodzi warunek P A  B  C   P A  PB   PC  .
Przejdêmy teraz do prawdopodobieñstwa warunkowego które pozwoli nam
wprowadziã twierdzenie o prawdopodobieñstwie caùkowitym i wzór Bayes’a.
Definicja 6
Prawdopodobieñstwem warunkowym zajœcia zdarzenia A pod warunkiem zajœcia
zdarzenia B, gdzie PB   0 , nazywamy liczbê
P A / B  

P A  B 
.
P B 

Przykùad 4
Rozwa¿my pewn¹ rodzinê z dwójk¹ dzieci. Obliczymy prawdopodobieñstwo tego,
¿e w rodzinie s¹ dwie dziewczynki, jeœli wiemy, ¿e w tej rodzinie:
(i)
mùodsze dziecko jest dziewczynk¹
(ii)
co najmniej jedno z dzieci jest dziewczynk¹
W obu przypadkach   d , d , d , c , c, d , c, c  i mamy do czynienia z modelem
klasycznym.
(i)

1
1
P d , d /d , d , c, d   4 
1 2
2

(ii)

1
1
P d , d /d , d , c, d , d , c   4  .
3 3
4

Zauwa¿my, ¿e prawdopodobieñstwo warunkowe przy ustalonym warunku speùnia
wszystkie aksjomaty prawdopodobieñstwa. (Ãwiczenie do samodzielnej pracy).
Definicja 7

5

Ukùadem zupeùnym zdarzeñ (rozbiciem przestrzeni  ) nazywamy skoñczony b¹dê
nieskoñczony ci¹g zdarzeñ B1 , B2 , B3 ,.... parami rozù¹cznych i daj¹cych w sumie
przestrzeñ  :
 Bn  , Bi  B j   , i  j .
n

Twierdzenie 2 ( Wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite)
Je¿eli B1 , B2 ,...., Bn  jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na  dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:
n

P  A   P A / Bi P Bi 
i 1

Dowód
n
 n
 n
P  A  P   A  Bi    P  A  Bi    P  A / Bi P Bi  .
i 1
 i 1
 i 1

Rys 2

Uwaga
Powy¿sze twierdzenie jest prawdziwe równie¿ dla przeliczalnej, nieskoñczonej
liczby zdarzeñ Bi .
Przykùad 5
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot
drugi ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle
samo zabawek na godzinê.
Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e losowo wybrana zabawka z tej fabryki oka¿e siê
brakiem?
A -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
B1 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 1.

6

B2 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od

robota 2.
B3 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 3.
3
1
1
1
1 1
P  A   P A / Bi P Bi   0,03   0,05   0,02   0,1  
3
3
3
3 30
i 1

Drugim z podstawowych twierdzeñ jest twierdzenie pozwalaj¹ce przeœledziã przebieg
doœwiadczenia na podstawie jego wyniku:

Twierdzenie 3 (Wzór Bayes’a)
Je¿eli B1 , B2 ,...., Bn  jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na  dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach i A dowolne zdarzenie o dodatnim prawdopodobieñstwie to
zachodzi wzór:
P B j / A 

P A / B j P B j 
n

.

 P A / B PB 
i

i

i 1

Dowód
Wystarczy skorzystaã ze wzoru na prawdopodobieñstwo warunkowe oraz ze wzoru na
prawdopodobieñstwo caùkowite aby otrzymaã:
P B j / A 

P B j  A
P A



P A / B j P B j 
n

 P A / B PB 
i

i

i 1

Wykorzystajmy sytuacjê z przykùadu 4 zmieniaj¹c tylko treœã pytania. Zauwa¿my, ¿e
znamy ju¿ wynik losowania a pytamy siê o przebieg losowania.
Przykùad 6
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot drugi
ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle samo
zabawek na godzinê.
Losujemy zabawkê, okazaùa siê ona brakiem. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e
pochodzi od robota nr 2?
A -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
B1 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 1.
B2 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 2.
B3 -zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 3.

7

P B 2 / A 

P  A / B2 P B2 
3

 P A / B PB 
i

i 1

i

0,05 


1
30

1
3  0,5 .

Definicja8
Schematem Bernoulliego nazywamy ci¹g niezale¿nych powtórzeñ tego samego
doœwiadczenia o dwu mo¿liwych wynikach nazwanych umownie sukcesem i pora¿k¹.
Poszczególne doœwiadczenia to próby Bernoulliego.
W powy¿szej sytuacji zachodzi wzór:
n
Pn k     p k q n  k
k 
gdzie: Pn k  prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego,
p prawdopodobieñstwo sukcesu w pojedynczej próbie, q  1  p prawdopodobieñstwo

pora¿ki w jednej próbie.

8

Zadania z przykùadowymi rozwi¹zaniami
Model klasyczny prawdopodobieñstwa
1. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisaã przestrzeñ
zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e otrzymamy wyraz
MATEMATYKA.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e klocki s¹ rozró¿nialne i oznaczmy
T  M 1 , M 2 , A1 , A2 , A3 , T1 , T2 , Y , K , E.
Wtedy przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie permutacje elementów ze zbioru
T czyli:
   x1 , x 2 ,..., x10 , xi  x j , xi  T . Zauwa¿my, ¿e ka¿de ustawienie klocków jest tak
samo prawdopodobne a  jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model klasyczny. Z
kombinatoryki wiemy, ¿e   10!
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na uùo¿eniu sùowa MATEMATYKA. £atwo widaã, z
kombinatoryki, ¿e A  2!3!2! 24 . St¹d:
P  A 

24
1

.
10! 151200

2. 2 chùopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg . Opisaã przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a) chùopcy stoj¹ obok siebie
b) chùopcy i dziewczynki stoj¹ na zmianê.
3. Cyfry 0,1,2,...,9 ustawiono losowo. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i
obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a) miêdzy 0 i 9 stoj¹ dokùadnie 4 cyfry
b) 1,2,3,4 bêd¹ staùy obok siebie.
4. Przy okr¹gùym stole usiadùo dziesiêã kobiet i dziesiêciu mê¿czyzn. Opisaã
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e osoby tej samej
pùci nie siedz¹ koùo siebie.
5. Z grupy 25 osób w której jest 10 kobiet i 15 mê¿czyzn wybrano
a) 3 osoby na stanowisko starszego specjalisty.
b) 3 osoby do zarz¹du firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i
wiceprezesa ds. produkcji)
Dla ka¿dego z przypadków opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã
prawdopodobieñstwo, ¿e wœród wybranych s¹ dokùadnie 2 kobiety.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e ludzie s¹ zawsze rozró¿nialne i oznaczmy T  k1 ,..., k10 , m1 ,..., m15 .
a) Poniewa¿ wybór 3 specjalistów nie wymaga uwzglêdnienia kolejnoœci wiêc
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie kombinacje 3 elementowe ze
zbioru T czyli:   x1 , x 2 , x3 , xi  x j , xi  T . Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób
jest tak samo prawdopodobny a  jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model
 25 

klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e     .
3

9