Metody prob 1.pdf

Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 1
Powtórzenie, prawdopodobieñstwo
Teoria
Podstawowy pojêciem probabilistycznym ( zwi¹zanym z teori¹ prawdopodobieñstwa)
jest przestrzeñ probabilistyczna czyli trójka , F, P  gdzie  przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych czyli pewien zbiór, F jest  -ciaùem podzbiorów  , zaœ P miar¹
unormowan¹ na F czyli prawdopodobieñstwem. Zdefiniujmy wiêc te podstawowe
pojêcia:
Definicja 1
Rodzina zbiorów F nazywamy  -ciaùem na zbiorze  je¿eli speùnia nastêpuj¹ce
warunki:
(i)
F ,
(ii)
 A  F gdzie A oznacza   A czyli dopeùnienie zbioru A.
AF

(iii)

dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy

A

F .

A

F .

n

n

Ponadto z powy¿szej definicji wynika:
Wùasnoœã 1
Jeœli F jest  -ciaùem to:
(i)
dla dowolnego ci¹gu zbiorów A1 , A2 , A3 ,... nale¿¹cych do F mamy

n

n

(ii)
(iii)

Je¿eli A, B  F to A  B  F , A  B  F oraz A  B  F .
F

Dowód
(i)

Wynika z i¿

A

n

n

(ii)
(iii)



     An  oraz z warunków (i) i (ii) z Definicji 1.
 n


Ãwiczenie wùasne ( zauwa¿my ¿e dla dowolnych zbiorów A,B mo¿emy w
sposób sztuczny zbudowaã ci¹g nieskoñczony A, B, , , ,..... )
Zauwa¿my, ¿e     co daje tezê.

Podam teraz aksjomatyczn¹ definicjê prawdopodobieñstwa:
Definicja 2
Niech  pewien zbiór zaœ F  -ciaùo zdefiniowane na  . Prawdopodobieñstwem
nazywamy dowoln¹ funkcjê P okreœlon¹ na F i speùniaj¹c¹ warunki:
P : F  R
(i)
(ii)
P    1

1