Metody prob 1.pdf

(iii)

Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... oraz Ai  A j   dla i  j ,(czyli s¹ parami










i 1

rozù¹czne) to P  Ai    P Ai 
 i 1

Mo¿emy mówiã równie¿ o klasycznej definicji prawdopodobieñstwa która jest
szczególnym, intuicyjnym przypadkiem:
Definicja3 (Klasyczna definicja prawdopodobieñstwa)
Niech  zbiór skoñczony,   1 , 2 ,..., n , F  2  oraz wszystkie zdarzenia
elementarne s¹ tak samo prawdopodobne to prawdopodobieñstwem klasycznym
nazywamy funkcjê P okreœlon¹ na F wzorem:
A

P  A 

, oraz P  i  



1
.
n

Przykùad 1
Rzucamy kostk¹ do gry, wtedy   1,2,3,4,5,6, wszystkie wyniki s¹ tak samo
prawdopodobne zaœ np. prawdopodobieñstwo zdarzenia A- wyrzucenia parzystej
liczby oczek wynosi P A 

2,4,6
1,2,3,4,5,6



3
 0,5 .
6

Z powy¿szych rozwa¿añ oraz z aksjomatycznej definicji prawdopodobieñstwa
otrzymujemy:
Twierdzenie 1 ( Wùasnoœci prawdopodobieñstwa)
Je¿eli , F, P  jest przestrzeni¹ probabilistyczn¹ oraz A, B, A1 , A2 ,..., An  F , to
(i)
P    0
(ii)
P A  0,1
(iii) Skoñczona addytywnoœã. Jeœli mamy skoñczony ci¹g
 n
 n
P  Ai    P  Ai 
 i 1  i 1
Monotonicznoœã. Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy
P  A  P B  .
Przeliczalna subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,... , to
Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , to

(iv)
(v)

  
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1

(vi)

Skoñczona subaddytywnoœã. Jeœli Ai  F , i  1,2,3,..., n , to
 n
 n
P  Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1

(vii)

Ci¹gùoœã.

2