Metody prob 1.pdf


Preview of PDF document metody-prob-1.pdf

Page 1 2 34519

Text preview








a. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
n 

 n 1 


b. Jeœli An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... to P  An   lim P An  .
 n 1  n 
(viii) Dla dowolnych A, B  F takich, ¿e A  B mamy PB  A  PB   P A .
(ix)
P A  1  P A .
(x)
Dla dowolnych A, B  F mamy P A  B   P A  PB   P A  B  .
(xi) Dla dowolnych A, B, C  F mamy
P A  B  C   P A  PB   PC   P A  B   P A  C   PB  C   P A  B  C 

.
Dowód
(i)
Korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci prawdopodobieñstwa mamy
P   P      .....  P   P   P    ........ st¹d P    0
(ii)
Wyka¿ê (iv) wtedy (ii) jest oczywiste z faktu i¿ P   1 i P nieujemna
funkcja.
(iii) Weêmy Ai  F , i  1,2,3,..., n oraz Ai  A j   dla i  j , oraz dla i  n niech
An   wtedy korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci oraz z warunku (i)

(iv)

(v)

n
 n

  
mamy P  Ai   P  Ai    P Ai    P Ai 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
Skorzystamy z warunku (iii). Niech A, B  F takie, ¿e A  B , mamy wtedy:
PB   P A  B  A gdzie oczywiœcie oba skùadniki sumy s¹ rozù¹czne czyli
PB   P A  PB  A oraz PB  A  0 co daje tezê.
Dla Ai  F , i  1,2,3,... , zdefiniujmy w nastêpuj¹cy sposób ci¹g Bn . Niech

B1  A1 , Bn  An   A1  ...  An 1  , wtedy oczywiœcie mamy ci¹g zbiorów z F


rozù¹cznych parami i takich, ¿e



 Bn   An oraz dla ka¿dego n mamy
n 1

n 1

Bn  An czyli P Bn   P  An  . Policzmy wiêc:

 
  
P  Ai   P  Bi    P Bi    P  Ai  co daje tezê.
i 1
 i 1 
 i 1  i 1

(vi)
(vii)

Wniosek z (v) uzupeùniaj¹c ci¹g zbiorami pustymi.
Niech An  F oraz An  An 1 dla n=1,2,3,.... Zdefiniujemy ci¹g C n w
nastêpuj¹cy sposób: C1  A1 , C 2  A2  A1 ,...., C n  An  An 1 ,.... wtedy
n

oczywiœcie zbiory C n nale¿¹ do F oraz s¹ rozù¹czne oraz An   C i , wiêc
i 1

mamy:
n
 
  
 n

P  Ai   P  C i    P Ci   lim  P C i   lim P  C i   lim P An 
n
n 
i 1
 i 1 
 i 1  i 1
 i 1  n 
(viii) Weêmy dowolne A, B  F takie, ¿e A  B mamy
PB   PB  A  A  PB  A  P A bo A  B, A rozù¹czne. Ostatnia

równoœã daje tezê.

3