Metody prob 1.pdf

Rzucamy 2 razy monet¹ i rozwa¿my zdarzenia A- wylosowaliœmy 1 reszkê i 1 orùa i
B- w drugim rzucie wylosowaliœmy orùa. Zbadaj niezale¿noœã zdarzeñ A,B.
  o, o , r , r , o, r , r , o  i mamy model klasyczny czyli P  A 

A


P B  

B







2 1
 ,
4 2

2 1
A B 1
 oraz mamy P  A  B  
 , czyli P A  B   P A  PB  .
4 2
4


Zdarzenia A,B s¹ wiêc niezale¿ne.
Uwaga.
Dla trzech zdarzeñ A,B,C mówimy ¿e s¹ one niezale¿ne gdy niezale¿ne s¹ pary A,B
i B,C i A,C oraz zachodzi warunek P A  B  C   P A  PB   PC  .
Przejdêmy teraz do prawdopodobieñstwa warunkowego które pozwoli nam
wprowadziã twierdzenie o prawdopodobieñstwie caùkowitym i wzór Bayes’a.
Definicja 6
Prawdopodobieñstwem warunkowym zajœcia zdarzenia A pod warunkiem zajœcia
zdarzenia B, gdzie PB   0 , nazywamy liczbê
P A / B  

P A  B 
.
P B 

Przykùad 4
Rozwa¿my pewn¹ rodzinê z dwójk¹ dzieci. Obliczymy prawdopodobieñstwo tego,
¿e w rodzinie s¹ dwie dziewczynki, jeœli wiemy, ¿e w tej rodzinie:
(i)
mùodsze dziecko jest dziewczynk¹
(ii)
co najmniej jedno z dzieci jest dziewczynk¹
W obu przypadkach   d , d , d , c , c, d , c, c  i mamy do czynienia z modelem
klasycznym.
(i)

1
1
P d , d /d , d , c, d   4 
1 2
2

(ii)

1
1
P d , d /d , d , c, d , d , c   4  .
3 3
4

Zauwa¿my, ¿e prawdopodobieñstwo warunkowe przy ustalonym warunku speùnia
wszystkie aksjomaty prawdopodobieñstwa. (Ãwiczenie do samodzielnej pracy).
Definicja 7

5