This PDF 1.3 document has been generated by pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!, and has been sent on pdf-archive.com on 24/05/2017 at 14:37, from IP address 81.190.x.x.
The current document download page has been viewed 479 times.
File size: 229.61 KB (20 pages).
Privacy: public file
Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 2
Zmienna losowa
Teoria
Definicja 1
Niech , F, P bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹. Zmienn¹ losow¹ nazywamy
ka¿d¹ funkcjê rzeczywist¹ X speùniaj¹c¹ jeden z poni¿szych warunków:
(i)
dla dowolnego a R mamy : X a F
(ii)
dla dowolnego a R mamy : X a F
(iii) dla dowolnego a R mamy : X a F
(iv) dla dowolnego a R mamy : X a F
(v)
dla dowolnego A R mamy X 1 A F ,
gdzie R -ciaùo zbiorów borelowskich na R.
Uwaga
-ciaùo zbiorów borelowskich na R to najmniejsze -ciaùo zawieraj¹ce wszystkie
przedziaùy.
Definicja 2 (Rozkùad zmiennej losowej)
Rozkùadem zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni , F, P nazywamy miarê
prawdopodobieñstwa okreœlon¹ wzorem: dla dowolnego A R
PX A P : X A P X 1 A .
Przykùad 1
Rzucamy 3 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów. Znajdêmy rozkùad X.
o, o, o , o, o, r , o, r , o , r , o, o , r , r , o , r , o, r , o, r , r , r , r , r . Mamy do
czynienia z modelem klasycznym czyli P A
A
, gdzie 8 . Zmienna X przyjmuje
wartoœci 0,1,2,3 odpowiednio z prawdopodobieñstwem:
PX 0 PX 0 P X 1 0 P r , r , r
1
8
PX 1 PX 1 P X 1 1 P r , r , o , r , o, r , o, r , r
3
8
PX 2 PX 2 P X 1 2 P r , o, o , o, o, r , o, r , o
PX 3 PX 3 P X 1 3 P o, o, o
1
.
8
Co mo¿emy zapisaã te¿ w tabeli:
1
3
8
xi
0
1
2
3
PX xi
1
8
3
8
3
8
1
8
Twierdzenie 1
Rozkùad zmiennej losowej jest miar¹ prawdopodobieñstwa na R, R .
Dowód
Niech PX rozkùad zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni , F, P okreœlony
wzorem dla dowolnego A R
PX A P : X A P X 1 A .
Poka¿emy, ¿e speùnia on aksjomaty z definicji 2 z czêœci 1.
(i)
oczywistym jest z definicji i¿ dla dowolnego A R mamy
PX A P X 1 A 0 .
(ii)
policzmy teraz PX R PX 1 R P 1 ,
(iii) Niech Ai R , i 1,2,3,... oraz Ai A j dla i j ,(czyli s¹ parami
rozù¹czne) to z wùasnoœci przeciwobrazu ( przeciwobraz sumy zbiorów
równy jest sumie przeciwobrazów i przeciwobrazy zbiorów rozù¹cznych s¹
rozù¹czne ) oraz z wùasnoœci P mamy
n
PX Ai P X 1 Ai P X 1 Ai P X 1 Ai PX Ai .
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
Pokazaliœmy, ¿e rozkùad jest miar¹ probabilistyczn¹ na R, R , rodzi siê pytanie
odwrotne: czy ka¿da miara unormowana na R, R . jest rozkùadem pewnej zmiennej
losowej?
Okazuje siê, ¿e odpowiedê jest pozytywna.
Twierdzenie 2
Ka¿da miara unormowana na R, R jest rozkùadem pewnej zmiennej losowej.
Dowód
Niech P pewna miara unormowana (probabilistyczna) na R, R , przyjmijmy teraz
R, F R oraz X zmienna losowa okreœlona wzorem X . Oczywiœcie
X : R oraz mamy dla dowolnego A R :
PX A P : X A P : A P A . St¹d P PX , czyli P rozkùad
pewnej zmiennej losowej X
Uwaga
Dlatego miary probabilistyczne na R, R nazywamy rozkùadami.
Definicja 3(Dystrybuanta rozkùadu)
2
Niech P rozkùad na R, R , dystrybuant¹ rozkùadu P nazywamy funkcjê F okreœlon¹
nastêpuj¹co: F : X 0,1 , F x P , x , x R .
Przykùad 2
Rzucamy 2 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów, X 0,1,2 i mamy:
0,
1
,
1
1
1
4
PX 0 , PX 1 , PX 2 , st¹d F x
4
2
4
1 1 ,
4 2
1,
x0
0 x 1
.
1 x 2
x2
Jest to przykùad dystrybuanty rozkùadu dyskretnego (patrz definicja 4), przykùad
dystrybuanty dla przypadku ci¹gùego(definicja 5) mamy po Twierdzeniu 5
Twierdzenie 3 ( wùasnoœci dystrybuanty )
Dystrybuanta F rozkùadu prawdopodobieñstwa P na R, R ma nastêpuj¹ce
wùasnoœci:
(i)
F niemalej¹ca,
(ii)
F lewostronnie ci¹gùa,
(iii)
lim F x 0, lim F x 1 .
x
Dowód
(i)
(ii)
x
Niech x1 x 2 wtedy , x1 , x 2 i z monotonicznoœci P mamy:
F x1 P , x1 P , x 2 F x 2 , czyli F niemalej¹ca.
Poka¿emy, ¿e lim F x F xO , Poniewa¿ F niemalej¹ca wiêc
x xO
granica lim F x istnieje i mo¿emy wzi¹ã dowolny rosn¹cy ci¹g x n zbie¿ny
x xO
lewostronnie do xO i zbadaã czy granica lim F x n F xO . Zauwa¿my, ¿e
xn xO
lim F xn lim P , x n P , x n P , xO F xO z
x n xO
x n xO
n 1
(iii)
ci¹gùoœci P.
Poniewa¿ F monotoniczna i ograniczona wiêc niew¹tpliwie posiada
skoñczone granice w i , policzymy je wiêc dla ustalonych ci¹gów
lim F n lim P ,n P , n P 0 i analogicznie
n
n
n 1
lim F n lim P , n P , n P 1 .
n
n
n 1
Wùasnoœã
F jako funkcja niemalej¹ca i ograniczona ma skoñczon¹ liczbê punktów nieci¹gùoœci.
Dowód
3
1
n
Rzeczywiœcie, niech dla n N, E n x R : F x F x (gdzie F x oznacza
granicê prawostronn¹ w punkcie x), wtedy En n . Istotnie przypuœãmy ¿e E n m n ,
wtedy mielibyœmy dla x1 x 2 x3 ... x m nale¿¹cych do E n :
F x .... F x F x 1n 1n ... 1n 1 bo m n ,
1 F x1 F x1 F x 2
2
m
m
czyli otrzymujemy sprzecznoœã. Tak wiêc E n n , zatem E E n jest przeliczalny.
n 1
Zauwa¿my jeszcze, ¿e E to zbiór punktów nieci¹gùoœci F i mamy tezê.
Twierdzenie 4
Ka¿da funkcja speùniaj¹ca warunki (i)-(iii) jest dystrybuant¹ pewnego, i jednego
rozkùadu na R, R .
Dowód
Poniewa¿ przedziaùy postaci , x generuj¹ R wiêc mo¿emy zdefiniowaã miarê
jednoznacznie na R, R wzorem P , x F x .
Wùasnoœci dystrybuanty:
Niech F bêdzie dystrybuant¹ rozkùadu P. Dla dowolnych a, b R , a b mamy:
(i)
P , b F b ,
(ii)
P , b F b ,
(iii) Pa, 1 F a ,
(iv)
P a, 1 F a ,
(v)
Pa, b F b F a ,
(vi)
P a, b F b F a ,
(vii) Pa, b F b F a ,
(viii) Pa, b F b F a ,
(ix)
P a F a F a .
Wùasnoœci te s¹ proste do wykazania i pozostawiam do samodzielnego dowodzenia.
Definicja 4
Rozkùad P nazywamy rozkùadem dyskretnym lub typu skokowego je¿eli istnieje zbiór
przeliczalny (mo¿e byã skoñczony) taki, ¿e E R i PE 1 .
Je¿eli E x1 , x 2 , x3 ,.... to aby zdefiniowaã rozkùad dyskretny wystarczy podaã
wartoœci P dla zbiorów jednopunktowych zawieraj¹cych elementy z E.
Jeœli Pxi pi to oczywiœcie
p
i
1.
i 1
Definicja 5
4
Rozkùad P nazywamy rozkùadem ci¹gùym lub typu ci¹gùego je¿eli istnieje taka funkcja
nieujemna f, f t dt 1 , zwana gêstoœci¹ rozkùadu P taka, ¿e dystrybuanta F rozkùadu
R
P wyra¿a siê wzorem:
x
F x
f t dt
lub równowa¿nie dla dowolnego A R mamy:
P A f t dt .
A
Zauwa¿my, ¿e gêstoœã nie jest wyznaczona jednoznacznie i jest to pewna klasa funkcji
równych sobie poza zbiorem miary 0.
Podstawowe rozkùady prawdopodobieñstwa:
Dyskretne:
a. rozkùad jednopunktowy.
1, a A
a R, Pa 1 . Wtedy P A
.
0, a A
b. rozkùad dwupunktowy.
a, b R , Pa p, Pb q, p q 1 . Rodzajem rozkùadu dwupunktowego
jest rozkùad 0-1 (zero-jedynkowy), gdy a=1, b=0
c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.
n
n N , dla dowolnego k 0,1,2,..., n mamy P k Pn k p k q n k , gdzie
k
p q 1 oraz zwyczajowo p nazywamy prawdopodobieñstwem sukcesu, a q
pora¿ki, zaœ Pn k oznacza prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach
n
(doœwiadczeniach). Oczywiœcie
P k 1 .
n
k 0
d. rozkùad Poissona z parametrem 0 .
Dla dowolnego k 0,1,2,.... , mamy Pk e
k
. Oczywiœcie
k!
Pk 1 .
k 0
e. geometryczny.
Dla dowolnego k 0,1,2,.... , mamy Pk q k p , gdzie p q 1 . Pk oznacza
prawdopodobieñstwo k pora¿ek poprzedzaj¹cych pierwszy sukces. Oczywiœcie
Pk 1 .
k 0
Ci¹gùe:
f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem a, b .
1
, x a, b
Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f x b a
.
0,
x a, b
g. rozkùad Couchiego.
5
Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f x
1
.
1 x2
h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami m, .( N m, )
Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: f x
1
2
e
x m 2
2 2
.
Dla rozkùadu Gaussa nie jesteœmy w stanie podaã wzoru na dystrybuantê, a
wartoœci dystrybuanty rozkùadu standardowego N 0,1 dla poszczególnych
punktów mo¿emy znaleêã w tablicach matematycznych. Aby móc z tego
skorzystaã zauwa¿my, ¿e jeœli X ma rozkùad N m, to zmienna Y
X m
ma
rozkùad N 0,1 i dziêki temu korzystamy z tablic dla dowolnego rozkùadu
Gaussa. Proces powy¿szy nazywamy standaryzacj¹ rozkùadu Gaussa.
Czasami stoimy przed odwrotnym problemem, zamiast na podstawie gêstoœci szukaã
dystrybuanty musimy znaj¹c dystrybuantê znaleêã gêstoœã, wtedy w okreœlonych
przypadkach mo¿emy zastosowaã wiedzê z analizy i otrzymujemy reguùê:
Twierdzenie 5
Je¿eli dystrybuanta F rozkùadu P jest funkcj¹ ci¹gù¹, ró¿niczkowaln¹ poza skoñczon¹
iloœci¹ punktów i jej pochodna jest ci¹gùa w swojej dziedzinie to funkcja f F
prawie wszêdzie (czyli poza zbiorem miary zero).
Dowód
Twierdzenie to jest wnioskiem z teorii caùki i pozostawiam je bez dowodu.
Przykùad 3
Z odcinka (-3,3) losujemy punkt. Niech zmienna X odlegùoœã punktu od 0.
Rys 1
Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje jej gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e
A
3,3, F R , P A
, czyli mamy do czynienia z prawdopodobieñstwem
6
geometrycznym. Policzmy teraz
0, dla t 0
F t P : X t P x 3,3 : X x t P t , t , dla 0 t 3
1, dla t 3
0, dla t 0
0, dla t 0
2t
t , t
, dla 0 t 3 , dla 0 t 3
3,3
6
1, dla t 3
1, dla t 3
Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {0,3}, liczymy jej
pochodn¹:
0, dla t 0 t 3
czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i
F t 1
3 , dla t 0,3
0, dla t 0 t 3
. Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym R .
f t 1
3 , dla t 0,3
Definicja 6
Wartoœci¹ oczekiwan¹ zmiennej losowej X nazywamy E X xPX d x , o ile
R
x P d x .
X
R
My jednak bêdziemy korzystaã z wzorów wynikaj¹cych z tej definicji odnosz¹cych siê
jednak bezpoœrednio do zmiennych typu dyskretnego lub typu ci¹gùego.
Przypadek dyskretny:
Niech taki, ¿e E R i PE 1 .
Je¿eli E x1 , x 2 , x3 ,.... taki, ¿e Pxi pi i
p
i
1 , wtedy mamy
i 1
EX
x
k
p k pod warunkiem, ¿e
k 1, 2 ,....
x
k
pk .
k 1, 2 ,....
Przypadek ci¹gùy:
Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy E X xf x d x , o ile
R
x f x d x .
R
Inne przypadki nie bêd¹ nas interesowaã.
Wùasnoœci wartoœci oczekiwanej
(i)
Jeœli X c z prawdopodobieñstwem 1 to E X c .
7
Jeœli istnieje E X oraz a dowolna staùa rzeczywista to istnieje E aX i
mamy równoœã: E aX aE X .
Jeœli istniej¹ E X oraz E Y to istnieje E X Y i mamy równoœã:
E X Y E X E Y .
(ii)
(iii)
Powy¿sze wùasnoœci wynikaj¹ z podstawowych wùasnoœci caùki.
Ponadto oczywistymi ale przydatnymi wzorami s¹ wzory na wartoœã oczekiwan¹
funkcji zmiennych losowych E g X mamy wtedy:
dla przypadku dyskretnego: E f X g x k p k pod warunkiem, ¿e
k 1, 2 ,....
g x p
k
k
.
k 1, 2 ,....
dla przypadku ci¹gùego: E X g x f x d x , o ile
R
g x f x d x .
R
Wartoœci oczekiwane podstawowych rozkùadów:
Dyskretne:
a. rozkùad jednopunktowy.
a R, Pa 1 . E X a
b. rozkùad dwupunktowy.
a, b R , Pa p, Pb q, p q 1 . E X ap bq , dla rozkùadu 0-1
mamy E X p .
c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.
n
n N , dla dowolnego k 0,1,2,..., n mamy P k Pn k p k q n k ,
k
n
EX
kp
n
k
k
q n k . . Policzmy:
k 0
n
p
n
k
k
k 0
n
kp
n
k
n
q n k p q , ró¿niczkuj¹c teraz stronami po p mamy:
k 1
q n k n p q
k 0
n
kp q
n
k
k
nk
n 1
n 1
np p q
, mno¿¹c teraz przez p otrzymujemy:
st¹d E X np , bo p q 1 .
k 0
d. rozkùad Poissona z parametrem 0 .
k
. Policzmy
k!
k
k 1
k
e
e
e e , czyli
k 1!
k 1 k 1!
k 0 k!
Dla dowolnego k 0,1,2,.... , mamy Pk e
E X ke
k 0
k
e
k! k 1
EX .
e. geometryczny.
Dla dowolnego k 0,1,2,.... , mamy Pk q k p , gdzie p q 1 . ãwiczenie dla
studentów.
Ci¹gùe:
8
f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem a, b .
1
, x a, b
Funkcja gêstoœci f: f x b a
. Policzmy
0,
x a, b
b
E X xf x d x x
R
a
b2 a2 b a
1
dx
.
ba
2b a
2
g. rozkùad Couchiego.
Gêstoœã f x
1
. Brak wartoœci oczekiwanej bo
1 x2
1
x 1 x d x
2
R
h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami m, .( N m, )
Funkcja gêstoœci f: f x
1
2
e
x m 2
2 2
. Po dùu¿szych wyliczeniach caùkowaniu
przez podstawienie i przez czêœci otrzymujemy E X m .
Mo¿na te¿ policzyã dla X standardowego (otrzymamy E X 0 ). A nastêpnie
dla dowolnego N m, mamy Y X m st¹d E Y E X m m .
Definicja 7
Wariancj¹ zmiennej losowej X posiadaj¹cej wartoœã oczekiwan¹ E X definiujemy
wzorem:
2
D 2 X E X E X .
Odchyleniem standardowym nazywamy D 2 X .
£atwo widaã, ¿e D 2 X E X 2 E X 2 . Znowu zajmiemy siê tylko przypadkami:
dyskretnym i ci¹gùym.
Przypadek dyskretny:
Niech taki, ¿e E R i PE 1 .
Je¿eli E x1 , x 2 , x3 ,.... taki, ¿e Pxi pi i
p
i
1 , wtedy mamy
i 1
2
D X x p k x k p k .
k 1, 2 ,....
k 1, 2,....
2
2
k
Przypadek ci¹gùy:
Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy
2
D X x f x d x xf x d x .
R
R
2
2
Wùasnoœci wariancji:
D 2 X 0 X c z prawdopodobieñstwem 1.
(i)
9
Metody prob 2.pdf (PDF, 229.61 KB)
Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..
Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)
Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog