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ce qui se simplifie par :



)
p (

(
)
1
p+1
Bj np+1−j − (n − 1)p+1−j 
µp (n) − µp (n − 1) = 
j
p + 1 j=0

On développe maintenant (n − 1)p+1−j pour obtienir :

(
)
)
(
)
p (
p+1−j


1
p+1
p+1−j
µp (n)−µp (n−1) = 
Bj np+1−j −
nl (−1)p+1−j−l 
j
l
p + 1 j=0
l=0

On simplifie l’expression entre paranthèses et on abaisse de 1 l’exposant de
-1 pour changer sa parité et ainsi annuler le signe moins devant la somme :


)
)
p (
p−j (


1
p+1
p+1−j
µp (n) − µp (n − 1) = 
Bj
nl (−1)p−j−l 
j
l
p+1
j=0

l=0

réarengeons les termes :
)(
)
p p−j (
1 ∑∑ p + 1 − j
p+1
Bj nl (−1)p−j−l
l
j
p + 1 j=0
l=0

La définition par récurrence des nombres de Bernoulli nous apprend que lorsque
n>0:
(
)
n

n+1
(−1)k
Bk = 0
k
k=0

Il s’agit donc de faire apparître une expression de cette forme dans notre expression de départ avec nos notations cela donnerait un expression de cette forme :
p−l

j=0

(
(−1)j

)
p−l+1
Bj = 0
j

Or dans l’expression de µp (n) − µp (n − 1) avec laquel nous sommes entrain
de trvailler on peut remarquer le produit de coeffecient binomial suivant :
(
)(
)
p+1−j
p+1
l
j
)( )
(
p−l+1
a
tentons donc de transformer ce produit en un produit de la forme
:
j
b
(
)(
)
(p + 1)!(p + 1 − j)!
p+1−j
p+1
=
=
l
j
(p + 1 − j)!j!(p + 1 − j − l)!l!
(p + 1)!
(p + 1)!(p + 1 − l)!
=
=
j!(p + 1 − j − l)!l!
(p + 1 − l)!j!(p + 1 − j − l)!l!
5

(

p+1−l
j

)(

p+1
l

)