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On remplace maintenant dans notre exression de µp (n) − µp (n − 1) :


(
) ∑
(
)
p
p−l
1 ∑
p
+
1
p
+
1

l
 (−1)j
(−1)p−l
Bj  nl
l
j
p+1
j=0

l=0

selon la définition par récurrence des nobmre des bernoulli on peut simplifier
l’expression et obtenir :
(
)
1
p−p p + 1
× (−1)
np × 1 + 0
p
p+1
p
2
p
Ce qui donne p+1
p+1 n et on a donc ∀(n; p) ∈ N : µp (n) − µp (n − 1) = n
et donc gràce a la condition nécessaire et suffisante établi plus haut on en
déduit que ∀(n; p) ∈ N2 :
n

k=1

)
p (
1 ∑ p+1
k =
Bj np+1−j
j
p + 1 j=0
p

6