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chapII mdf .pdf



Original filename: chapII mdf.pdf
Title: Microsoft Word - mdf_texte chapII
Author: user

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Chapitre II : Statique des fluides
1) Introduction :
On va considérer le cas des fluides au repos ou bien en déplacement sans mouvement relatifs entre
les particules. Dans les deux cas il n’y a pas de forces de frottement dans le fluide (pas d’effets de
viscosité), toutes les forces qui se développent sur les surfaces sont dues à la pression. Le but est donc
de connaitre la pression et sa variation à travers le fluide et son effet sur les surfaces submergées.
L’absence de frottement simplifie l’analyse et permet d’obtenir des solutions relativement simples à
quelques problèmes d’intérêt pratique.
2) Pression en un point :
Le terme pression est utilisé pour indiquer la force normale par unité de surface en un point et qui
agit sur un plan dans la masse du fluide en question. La force
engendrée par la pression P sur l’élément de surface dS s’écrit donc :

La force de pression agit toujours vers l’intérieur du volume délimité par l’élément de surface. La
pression est toujours indépendante de la surface et
de l’orientation de cette surface, on a :

La pression s’exprime en Pascal :

3) Loi fondamentale de la statique (Equation du champ de pression)
Considérons un élément de volume fluide de forme parallélépipédique, de volume dV=dxdydz
dans le repère (O,x,y,z). Deux types de forces s’appliquent sur l’élément de volume :
1



Forces de volume : Le poids (engendré par un champ) : dans ce cas le champ de gravité,



Forces de surface : Les forces de pression,

Les forces de volume représentées par le poids du fluide s’écrivent :
Les forces de surface peuvent être décomposées dans les trois directions x,y et z comme suit :
Ce sont des forces normales aux surfaces, leurs somme dans la direction z par exemple et qui agit sur la
surface dxdy donne:
Faisons le développement en série de Taylor du premier ordre, on aura :

Par analogie, on peut calculer les autres forces dans les directions x et y, on trouve :

La force de surface est donc :
Appliquons la deuxième loi de Newton :

Si le fluide est au repos (équation locale) :

C’est l’équation à résoudre pour connaitre la pression en tout point du fluide au repos.
2

Pour les liquides ou gaz au repos, le gradient de pression
dans la direction verticale à n’importe quel point du fluide
dépend seulement du poids spécifique du fluide en ce point.
4) Application aux fluides incompressibles :
Dans ce cas ρ=cste partout, on peut aussi considérer g comme constante et donc

=

=

,

par conséquent :
Pour calculer P procédons par intégration :

h est la hauteur du fluide sous le niveau de référence donc :
En général, on prend z0=0 le niveau de la surface libre (en contact avec l’air) est P0=Pa avec Pa=1.013
105 Pa. La grandeur h est dite hauteur, elle est interprétée comme la hauteur d’une colonne de fluide
d’un poids spécifique

nécessaire pour donner la différence de pression P-P0, si on prend par exemple

des récipients de formes différentes contenant le même liquide ( =

) avec le même niveau de la

surface libre, la pression le long de la ligne AB est constante.

3

5) Application aux fluides compressibles :
Généralement, ce sont les gaz qui sont compressibles puisque leurs masses volumiques varient avec
la pression et la température. On prend le cas d’un gaz parfait :

L’équation de la statique s’écrit :

6) Forces de pression sur une surface submergée (hydrostatiques) :
Lorsqu’une surface est submergée dans un fluide, des forces se développent sur la surface due
à la pression du fluide. Le calcul de ces forces est important dans la conception des réservoirs, bateaux,
barrages et d’autres structures hydrauliques. On a

=−

de surface ds. Pour connaitre la force totale, il suffit d’intégrer


est la force élémentaire sur un élément
sur toute la surface S.

=−

Cas d’une plaque plane immergée :

4

Si l’épaisseur de la plaque est négligeable, une force de direction opposée mais de même intensité
s’applique sur la face opposée ce qui implique que la résultante des forces exercées sur la plaque est
nulle.


Cas d’une plaque paroi d’un réservoir:

Dans ce cas la plaque fait partie du réservoir et elle limite et supporte le poids du liquide.

7) Détermination du point d’application d’une force hydrostatique :
Soit

une force hydrostatique s’exerçant sur une surface S, alors on a besoin de connaitre le point

d’application A de cette force. Le moment de la force

par rapport à un point O quelconque, doit être

égal à la résultante des moments élémentaires par rapport à ce même point O :
Remarque : En général le point O est choisi sur la surface S.

Cas général :
Soit FR la force résultante appliquée sur la parois au point Cp de profondeur hcp et de coordonnées
(xcp, ycp) dans le repère (O,x,y). La force FR s’écrit :

5

L’intégrale

est dite moment du premier ordre de la surface A par rapport à x, on écrit

alors :
yG est la coordonnée y du barycentre de la surface S mesurée à partir de l’axe x et qui passe par O.
On écrit :

ou simplement :

La position de FR peut être obtenue si on calcule le moment :

L’intégrale

est dite le moment du second ordre (moment d’inertie) de la surface,

Ix, par rapport à un axe formé par l’intersection du plan contenant la surface et la surface libre. On écrit :

On peut utiliser le théorème de Huygens :

6

Ou Ixc est le moment du second ordre de la surface par rapport à l’axe qui passe par le barycentre et
parallèle à x, alors :
La force résultante ne passe pas par le barycentre mais pour les surfaces non horizontales, elle passe
toujours au-dessous, car

.

La coordonnée xR, de la force résultante est déterminée par la même méthode.

Ixyc est le produit d’inertie par rapport à un système orthogonal passant par le barycentre de la surface
et formé par la translation du système x-y.
Si la surface est symétrique par rapport à un axe passant par le barycentre et parallèle à x ou y, FR
doit être le long de x=xc, car Ixyc=0.

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