SS Ogr WZORY .pdf

File information


Original filename: SS Ogr_WZORY.pdf

This PDF 1.7 document has been generated by www.konwerter.net / *, and has been sent on pdf-archive.com on 06/10/2017 at 10:51, from IP address 109.173.x.x. The current document download page has been viewed 491 times.
File size: 977 KB (5 pages).
Privacy: public file


Download original PDF file


SS Ogr_WZORY.pdf (PDF, 977 KB)


Share on social networks



Link to this file download page



Document preview


SS Ogr I stop.

I. WZORY
Zmienna losowa skokowa

pi  P(X  xi )
p1  p2  ...  pn   pi  1

2017/2018

xi – punkty skokowe,
pi - skoki
warunek istnienia rozkładu zmiennej skokowej

i

Tabela rozkładu prawdopodobieństwa
xi
x1
x2

pi
p1
p2


F(x)  P(X  x)   pi
x i x

xn,
pn

dystrybuanta zmiennej losowej skokowej

Tabela dystrybuanty typu skokowego
x
F(x)

(-, x1>
0

(x1, x2>
p1




(x2, x3>
p1 +p2

(xn, )
p1 + …+pn = 1

Prawdopodobieństwa, gdy zmienna jest skokowa:
P(a  X  b)  F(b)  F(a )
P(a  X  b)  F(b)  F(a )  P(X  b)
P(X  b)  F(b)
P(X  b)  F(b)  P(X  b)
P ( X  b)  1  P ( X  b)
P ( X  b)  1  P ( X  b )

Parametry dowolnego rozkładu skokowego
1. E(X)  x1p1  x 2 p 2  ...  x n p n   x i p i

Wartość oczekiwana (średnia, przeciętna)

i

2. D 2 (X)  E[X  (E(X)]2  E(X 2 )  [E(X)]2 = x12 p1  x 22 p 2  ...  x 2n p n  [E(X)]2
3. D(X)  D 2 (X)

Odchylenie standardowe

Właściwości parametrów
E(a) = a
E(aX) = a E(X)
E(X + a) = E(X) + a
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(XY) = E(X)E(Y),
gdy X i Y są niezależne.
D2(a) = 0
D2(aX) = a2D2(X)
D2(X + a) = D2(X)
D2(X  Y) = D2(X) + D2(Y),

gdy X i Y są niezależne.

Rozkład dwumianowy

n
P(X  k )    p k q n  k
k
Parametry:
E(X) = np

gdzie q = 1 – p
D2(X) = npq

Wariancja

SS Ogr I stop.

II. WZORY
Zmienna losowa ciągła

2017/2018

Dowolny rozkład ciągły
x

F( x )  P(X  x )   f ( t )dt dla x  R

dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej

-

Niektóre właściwości funkcji gęstości


3) f ( x )  F( x )

2)  f ( x )dx  1

1) f(x)  0



Prawdopodobieństwa, gdy zmienna jest ciągła:

P(a  X  b) = P(a  X  b) = P(a  X  b) = P(a  X  b) = F(b)  F(a )

P(X  b)  P(X  b)  F(b)

P ( X  b ) = P ( X  b)  1  P ( X  b)

Parametry rozkładu


1.

  E(X)   xf ( x )dx

Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia)

 2  D 2 ( X)  E ( X 2 )   2

Wariancja



2.



gdzie E (X 2 )   x 2 f ( x )dx

moment zwykły drugiego rzędu



3.

  D(X)  D2 (X)

Odchylenie standardowe

Rozkład jednostajny:

 1
f ( x )  b a

0

dla

axb

dla

x  a oraz

Parametry:   E(X) 

ab
2

xb


0
 x  a
F( x )  
b  a
1


 2  D 2 ( X) 

(b  a ) 2
12

dla

xa

dla

axb

dla

xb

  D(X)  D2 (X)

Dowolny rozkład normalny - N(, ) lub N(, 2)
Funkcja gęstości :

f (x) 

1 exp{ ( x  ) }
 2
2 2
2

x,   R ,

  R+

Reguła trzech sigm
P(  -   X   +  )  0,68

P(  - 2  X   + 2 )  0,95

Standaryzowany rozkład normalny - N(0, 1)

U

X


Parametry:

zmienna losowa standaryzowana
E(U) = 0

D2(U) = 1

P(  - 3  X   + 3 )  0,999  1

SS Ogr I stop.

III-IV. WZORY
Statystyka opisowa jednowymiarowa i dwuwymiarowa

Charakterystyki próby

x  x 2  ...  x n 1 n
x 1
  xi
n
n i 1
R = xmax – xmin

Średnia (arytmetyczna)
Rozstęp

Średnie odchylenie kwadratowe (wariancja z próby):
n

n

n

n

S2 = 1  ( x i  x ) 2 = 1 [  x i2  1 (  x i )2 ] = = 1 [  x i2  n  (x)2 ]
n 1
n 1
n 1
n
i 1
i 1
i 1
i 1
Odchylenie standardowe z próby:

S  S2

Błąd standardowy średniej:

Sx 

Współczynnik zmienności:

w

S
S2

n
n
S
 100%
x

Empiryczna reguła trzech sigm:
Około 68% obserwacji
 [ x  S; x  S]
Około 95% obserwacji
 [ x  2S; x  2S]
Wszystkie obserwacje lub prawie wszystkie (ok. 99,7%)

 [ x  3S; x  3S]

Korelacja liniowa
n

Sxy  1  (xi  x )( yi  y) =
n 1

Kowariancja z próby

i 1

=
Współczynnik korelacji

n

r

n

n

i1

i1

 n1 (  x i )(  y i )] =

1 [ x y
n 1  i i
i1

S xy
Sx  Sy

n
1 ( xy

i i
n 1
i 1

,

gdzie Sx  S2x i Sy  S2y - odchylenia standardowe

Regresja liniowa
równanie regresji liniowej:
Sxy
gdzie b1 
,
S2x

y  b0  b1x
b0  y  b1x

wartość prognozowana cechy :

yˆ i  b0  b1xi ,

współczynnik determinacji

R2 (100%) = r2 (100%)

i = 1, 2, …, n

 n  x  y)

2017/2018

SS Ogr I stop.
V-VII. WZORY
Przedziały ufności i testy hipotez dla jednej i dwóch populacji

2017/2018

Przedziały ufności

x  t ; n 1  S    x  t ; n 1  S
n

(n  1)S2
 2
2

przedział ufności dla średniej populacji

n

 2 

; n 1

(n  1)S2

przedział ufności dla wariancji populacji

2 
1 ; n 1
2

L  U,

przedział ufności dla odchylenia stand. populacji

k (1  k )
n
n

k
 u
n

n

k
 p   u
n

k (1  k )
n
n

n

przedział ufności dla frakcji populacji

Testy hipotez
() K = (-, -t, n-1)  (t, n-1, )

test hipotezy dla średniej populacji

t0 

x  0
S
S2
, gdzie Sx 

Sx
n
n

(>) K = (t2, n-1, )
(<) K = (-, -t2, n-1)

test hipotezy dla wariancji populacji

(n  1)S
 02 
 02

() K = (0,  2 
)  (  2
, )
; n 1
1 ; n 1
2

2

(>) K =

k
 p0
n
p 0 (1  p 0 )
n

S2p 

x1  x 2

S p2



1
n1

 n12

Test hipotezy dla dwóch frakcji (n1 i n2  100)
U0 

k1 k 2

n1 n 2

pq
n
n1  n 2
n
n1  n 2

()
(>)
(<)
Test hipotezy dla dwóch średnich, próby niezależne,
n1; n2 – dowolne (wariancje populacji jednorodne)

t0 

)

(<) K = (0, 12 ; n 1 )

test hipotezy dla frakcji populacji (n  100)
U0 

2
2
(  ; n 1 ,



, gdzie

k1  k 2
; q  1 p ;
n1  n 2

K = (-, -u )  (u, )
K = (u2, )
K = (-, -u2)
() K = (-, -t, )  (t, , )
(>) K = (t2, , )
(<) K = (-, -t2, )
gdzie  = n1 + n2 - 2

( n1 1)S12  ( n 2 1)S22
n1  n 2  2

Test hipotezy dla dwóch średnich, próby zależne,
n par różnic.

d  0
t0 
, gdzie
Sd

, p

Sd 

Sd
n



Sd2
n

() K = (-, -t, n-1)  (t, n-1, )
(>) K = (t2, n-1, )
(<) K = (-, -t2, n-1)

SS Ogr I stop.

VIII. WZORY
Wnioskowanie ogólne o wielu średnich

2017/2018

Analiza wariancji (ANOVA)
a – liczba populacji (obiektów; poziomów czynnika w doświadczeniu), przy czym a > 2;

ni

– liczba powtórzeń (replikacji) i - tego obiektu, i = 1,2,…, a;

liczba wszystkich obserwacji:

n  n1  n 2  ...  n a

suma ogólna obserwacji:

G   xij
i j

Ti   xij , i = 1, 2, …, a;

sumy obiektowe:

j

przy czym T1  T2  ...  Ta  G
sumy kwadratów odchyleń:
G 2 = P (poprawka)
n

2

SSc    x ij2  Gn
i j

SS0 

T12
n1



T22
n2



T32
n3

 ... 

Ta2 G 2

na
n

SSe  SSc  SSo

Pozostałe wzory są zamieszczone w poniższej tabeli:

Tabela ANOVA (wnioskowanie ogólne)
Źródło
zmienności

Stopnie swobody
df

Suma kwadratów
SS

Średni kwadrat
MS

Między obiektami

a-1

SS0

MS 0  a 10

Fobl

Wartość
krytyczna

SS

Wewnątrz
obiektów (Błąd)

n-a

SSe

MSe 

Całkowita

n-1

SSC

----

SSe
n a

F0 

MS 0
MS e

----

UWAGA:
Zapis hipotezy ogólnej oraz wnioskowanie statystyczne - zobacz wykład
dotyczący ANOVA

Fa 1; n  a; 


Document preview SS Ogr_WZORY.pdf - page 1/5

Document preview SS Ogr_WZORY.pdf - page 2/5
Document preview SS Ogr_WZORY.pdf - page 3/5
Document preview SS Ogr_WZORY.pdf - page 4/5
Document preview SS Ogr_WZORY.pdf - page 5/5

Related documents


ss ogr wzory
egzamin
lab3 opis 12 11 12
ss ogr przyklady z wykladow
wzory 4
ss ogr zadania

Link to this page


Permanent link

Use the permanent link to the download page to share your document on Facebook, Twitter, LinkedIn, or directly with a contact by e-Mail, Messenger, Whatsapp, Line..

Short link

Use the short link to share your document on Twitter or by text message (SMS)

HTML Code

Copy the following HTML code to share your document on a Website or Blog

QR Code

QR Code link to PDF file SS Ogr_WZORY.pdf