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Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides

Chapitre III : Dynamique élémentaire des fluides
1-Introduction : On va considérer le mouvement d’un fluide non visqueux, c’est-à-dire qu’on va
négliger les forces dues aux contraintes de frottement τ. On applique la deuxième loi de Newton à une
particule de fluide. Ainsi, l’écoulement d’un fluide non visqueux est fonction des forces de pression et
de gravité.

⃗ qui représente une quantité
Le mouvement de la particule fluide est décrit par le vecteur vitesse 𝑉
⃗ |) et une direction. Dans son mouvement, la particule suit
vectorielle avec une intensité ( vitesse 𝑉 = |𝑉
un chemin dont la forme est définit par la vitesse. La position de la particule le long du chemin est
fonction de sa position initiale, du temps initial et de sa vitesse.
Si l’écoulement est permanent ( les paramètres de l’écoulement V, P,…ne varient pas en fonction du
temps), les particules fluides suivent le même chemin, pour ce cas le chemin ne varie pas dans l’espace.

Pour chaque position, les particules suivent des chemins fixes dans le temps.
Ecoulement permanent : C’est un écoulement indépendant du temps où les particules fluides glissent le
long des trajectoires. Ces chemins ou trajectoires sont dits lignes de courant. On peut décrire
l’écoulement en fonction de la distance « s » le long de la ligne de courant à partir d’une origine et un
rayon de courbure local R=R(s). La vitesse est donc :
L’accélération est :
Si on considère deux dimensions de l’espace, une le long de la ligne de courant « s » et l’autre
perpendiculaire « n », l’accélération aura deux composantes 𝑎𝑠 et 𝑎𝑛 . On aura donc :

1

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
L’accélération 𝑎𝑠 est le résultat de la variation de la vitesse le long de la ligne de courant ; par contre 𝑎𝑛
est l’accélération centrifuge, elle est donnée par :

R est le rayon de courbure local.

2- Application de la deuxième loi de Newton le long d’une ligne de courant (Equation de Bernoulli) :

Soit une particule fluide de taille 𝛿𝑠𝛿𝑛 dans le plan. Pour un écoulement permanent, l’application de la
loi de Newton dans la direction s s’écrit :

Avec 𝛿𝑦 est la direction perpendiculaire à s-n. Le poids de la particule (l’effet de la force de gravité)
s’écrit :
La composante de la force de gravité (poids) dans la direction s est :

La pression aussi dépend de la position de la particule fluide P=P(n,s). Si la pression au centre de la
particule est notée par P, sa valeur moyenne sur les faces dans la direction perpendiculaire à la ligne de

2

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
courant sont :

et

. Puisque la particule est petite on utilisera le développement

en série de Taylor pour le champ de pression dans le calcul de :

On néglige les termes d’ordres deux et supérieurs, ce qui donne :
Alors, si

est la force nette de pression sur la particule dans la direction de la ligne de courant,

cela donne :

Les forces visqueuses sont nulles

En remplaçant

pour le fluide non visqueux. La force totale est donc :

par sa valeur :

La variation de la vitesse de la particule fluide est due à la combinaison du gradient de pression et du
poids de la particule le long de la ligne de courant.
L’équation
on note que

peut être arrangée et intégrée si
on peut écrire aussi

Le long de la ligne de courant « LC » n est constant dn = 0 alors

le long d’une LC.

Qui se simplifie à :
Il faut connaitre

pour intégrer l’équation. Pour les liquides, la masse volumique est

constante, on obtient l’équation de Bernoulli :

Pour un écoulement permanent non visqueux, l’effet de la somme d’une certaine pression, vitesse et
élévation est constant le long d’une LC.
3-Application de la deuxième loi de Newton per perpendiculairement à une ligne de courant :
Soit la composante normale dans la direction n :
La composante du poids :
Celle de la force de pression :

3

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
Physiquement, cela veut dire que le changement de direction d’une particule fluide (trajectoire avec 𝑅 <
∞) est accomplie par une combinaison d’un gradient de pression et du poids de la particule normal à la
LC( Le poids et /où la pression peuvent produire des LC courbées). Pour une grande masse volumique
ou vitesse ou un petit rayon de courbure, il faut vaincre une grande force pour changer de direction.
Dans les cas gaz ou des plans horizontaux, on a :
Ce qui veut dire que la pression augmente en s’éloignant du centre de courbure (Pour avoir

négatif).

Alors, la pression à l’extérieur d’une tornade est plus grande que celle au centre. Multipliant l’équation :
Par dn et utilisant le fait que

pour s

constant et intégrant dans la direction n, on aura :

Perpendiculaire à la LC, il faut connaitre que

pour

accomplir l’intégration. Pour un écoulement incompressible, on a :

Perpendiculairement à la LC.

4- Pression statique, de stagnation, dynamique et totale :
Chaque terme dans l’équation de Bernoulli a la dimension d’une pression (force par unité de surface).
Le premier terme « P » est dit pression thermodynamique du
fluide lorsqu’il s’écoule, elle est aussi dite « pression statique ». Pour mesurer cette pression, on utilise
un tube piézométrique monté perpendiculairement à la surface qui contient le fluide (figure).

4

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
Le deuxième terme de l’équation

est dit « pression dynamique », elle est due à la vitesse de

l’écoulement. Le troisième terme est appelé « pression hydrostatique » (déjà vu).
La pression de « stagnation ou d’arrêt » est la somme de celle statique et dynamique
De la figure :
D’où :
La pression statique est

est la pression de stagnation.
dans le point (1).

La pression de stagnation ou d’arrêt est la plus grande pression le long d’une LC. Elle représente la
conversion de toute l’énergie cinétique en pression.
La somme de la pression statique, hydrostatique et dynamique est dite pression totale PT. La relation de
Bernoulli énonce que la pression totale est constante le long d’une LC.
4-1.Tube de Pitot : Ce tube mesure la vitesse par la conversion de la pression en vitesse. La connaissance
de la pression statique et de stagnation implique que la
vitesse peut être calculée. C’est le principe du tube de
« Pitot statique». Il est formé par deux tubes concentriques
attachés à deux manomètres de telle façon à pouvoir calculer
la différence entre la pression d’arrêt et statique.
Si les élévations « Z » sont négligeables,

5- Exemples d’utilisation de l’équation de Bernoulli :
5-1. Jet libre : Soit un jet de liquide de diamètre d qui s’écoule à travers un orifice avec une vitesse v.
L’application de l’équation de Bernoulli entre deux points (1) et (2) de la ligne de courant donne :

Le fluide quitte en « jet libre »

cela donne

Qui est dite relation de Torricelli.
5-2. Ecoulements confinés : Ce sont des écoulements
de fluides limités physiquement par des parois solides,
comme par exemple les tubes. Soit la figure montrant
une conduite avec une section variable dans laquelle
s’écoule un fluide. On définit les quantités suivantes :

5

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
5-2-1 : Débit massique et débit volumique :
Le débit masse est noté par :
Où ρ est la masse volumique et Q est le débit volumique , avec :
v étant la vitesse de l’écoulement et S la section de la conduite. Alors :
Pour que la masse soit conservée, les débits massiques à l’entrée et à la sortie doivent être éguax.
6- Equation de la conservation de la masse ou de continuité :
Elle définit le principe de conservation de la masse (lamasse ne peut être crée ou détruite),

Si la masse volumique est constante :

7- Mesure des débits :
Plusieurs types d’instruments utilisant l’équation de Bernoulli sont développés pour la mesure des
vitesses et débits des écoulements. Le tube de Pitot statique présente un exemple. D’autres exemples
pour la mesure des débits sont montrés par la figure.
L’idée est de placer une restriction dans le tube et de
Mesurer la différence de pressions entre l’écoulement
à grande pression et petite vitesse (1) et petite pression
et grande vitesse et petite pression (2). Les trois instruments
sont basés sur le principe « une augmentation de vitesse
provoque une diminution de pression ».
Si l’écoulement est horizontal

, stationnaire,

non visqueux et incompressible entre (1) et (2), l’équation
de Bernoulli s’écrit :
Si les vitesses sont uniformes aux sections (1) et (2) on a
donc :
Ce qui donne :

6

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
8- Autres formes de l’écriture de l’équation de Bernoulli :
L’équation de Bernoulli s’écrit en divisant les termes par le poids volumique comme suit :

Chaque terme a l’unité d’une longueur [m] et représente un type d’hauteur.


Le terme Z, est relatif à l’énergie potentielle de la particule et dit « hauteur d’élévation ».



Le terme de pression

est dit « hauteur de pression » et représente la hauteur d’une

colonne de fluide nécessaire pour produire la pression P.


Le terme de vitesse

est la « hauteur de vitesse » qui représente la distance verticale

nécessaire à la chute libre sans frottement du fluide pour atteindre, à partir de la stagnation ou
l’arrêt, la vitesse v.
L’équation de Bernoulli énonce que la somme des hauteurs le long d’une ligne de courant est constante.
Cette constante est dite la « hauteur totale H », on écrit donc :
Une autre interprétation de l’équation de Bernoulli est faite en utilisant la notion de « ligne
piézométrique » LP et « ligne d’énergie » LE. Ces notions utilisent une interprétation géométrique de
l’écoulement.
La ligne d’énergie LE représente la hauteur totale disponible pour le fluide. Son élévation peut être
mesurée par un Pitot en mesurant la pression de stagnation. La seconde prise ou sonde station de Pitot
donne la somme de la pression statique ou « hauteur de pression » et la hauteur de l’élévation,

.

Cette somme est souvent dite hauteur pièzométrique.

La hauteur totale LE est constante le long d’une LC. La hauteur d’élévation de vitesse et de pression
peuvent varier d’une position à une autre.

7

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
Par exemple les lignes d’énergie et piézométrique pour un barrage ou réservoir sont montrées par les
figures.

9- Equation de Bernoulli le long d’une LC avec échange de chaleur et de masse :
Dans le cas des machines hydrauliques, le fluide échange du travail et de la chaleur dans la machine
avec une hélice qui fait tourner un arbre. Prenons la première loi de la thermodynamique :

Par unité de débit on a :
Pour les machines rotatives, le transfert de puissance,
rotatif,

,et la vitesse angulaire

, est fonction du moment appliqué sur l’arbre

. Il s’écrit :

La puissance transférée par le travail des forces de pression est :
La puissance totale est :

En intégrant entre deux sections (1) et (2) le membre de gauche donne :

L’équation s’écrit donc :
On divise les deux membres par le débit

:

Avec :
En réarrangeant les termes, on aura :

8

Chapitre III Dynamique élémentaire des fluides
L’équation de Bernoulli pour le cas d’un écoulement stationnaire incompressible est non-visqueux
s’écrit :
Si le travail de l’arbre est nul, la comparaison entre les deux équations donne :
Pour l’écoulement non visqueux sans frottement.
Si les frottements existent, donc :
En intégrant le travail de l’arbre on obtient :
Divisons par g et notons :
est la hauteur du travail de l’arbre et

est la hauteur des pertes, cela donne :

Donc :

10- Théorème d’Euler (théorème de la quantité de mouvement):
Ce théorème résulte de l’application du théorème de la quantité de mouvement à l’écoulement d’un
fluide :
Ce théorème permet de déterminer les efforts exercés par e fluide en mouvement sur les objets qui
l’entourent. La résultante des actions mécaniques extérieures exercées sur un fluide isolé (fluide contenu
dans l’enveloppe limitée par les surface S1 et S2) est égale à la variation de la quantité de mouvement du
⃗ 1 et sort par S2 à la vitesse 𝑉
⃗2 :
fluide qui entre par S1 à la vitesse 𝑉

9

Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels

1. Régimes d’écoulements et expérience de Reynolds
Il existe deux régimes d’écoulement pour les fluides : Laminaire et turbulent, Dans le
premier régime le fluide s’écoule en lamelles qui glissent les unes sur les autres ; les lignes de
courant sont bien définies. Par contre, dans le régime turbulent les lignes de courant se mélangeant
donnant des formes chaotiques. Osborne Reynolds (1842-1912) est le premier à distinguer la
différence entre ces deux régimes d’écoulements. Il utilise un écoulement d’eau dans une conduite
circulaire de diamètre D avec une vitesse V. Reynolds injecte un filet neutre de colorant dans l’eau ;
pour les petites vitesses le filet reste bien distinct avec un léger épaississement dû à la diffusion du
colorant dans l’eau. Pour un débit plus important (vitesse plus grande), le filet de colorant
commence à fluctuer dans le temps et dans l’espace avec des ruptures intermittentes et irrégulières
le long de la conduite. Pour les grands débits, le filet devient rapidement non distinct et diffuse
dans la conduite de façon aléatoire. Ces trois phénomènes sont dits régimes : laminaire, transitoire
et turbulent.

Les fluctuations turbulentes sont la cause de la dispersion du colorant dans la conduite. En
écoulement laminaire la vitesse a une seule composante

. Pour celui turbulent la direction

prédominante est celle le long de la conduite accompagnée des composantes normales à la
conduite :

. Le paramètre important qui détermine le régime d’écoulement

dans la conduite est dit « nombre de Reynolds » :

où v est la vitesse

1

moyenne dans la conduite, ainsi l’écoulement est laminaire si
si

, il est turbulent

entre les deux c’est la transition.
2. Longueur d’entrée et écoulement développé :
L’entrée d’une conduite est dite région « d’entrée », le fluide entre avec une vitesse presque

constante (section (1)). Lors de son mouvement, les effets visqueux forme une couche près de la
paroi dite « couche limite », dans cette couche la vitesse diminue vers la paroi jusqu’à s’annuler
sur cette dernière sous l’effet de la viscosité. A partir d’une distance de l’entrée le profil de vitesse
reste inchangé, l’écoulement est dit alors « totalement développé ». Pour un écoulement laminaire,
la longueur d’entrée est donnée par :
Pour l’écoulement turbulent elle est :

3. Pertes de charges linéaires
Dans cette partie on va calculer les pertes de pression ou de hauteur dites « pertes de charges »,
ces dernières sont dues aux frottements entre les particules fluides et les parois solides des
conduites. On va considérer l’écoulement totalement développé dans les conduites, ensuite on
calculera les pertes de charges (ΔP) le long de la conduite. Pour cela prenons un élément
cylindrique de fluide de longueur l et de rayon r centré à l’axe x horizontal dans une conduite de
diamètre D.

2

On représente le cylindre aux temps t et t+Δt ; l’écoulement étant développé alors le profil
de vitesse est constant ce qui veut dire que l’accélération locale est nulle (dv/dt=0). Si les effets de
la gravité sont négligés (g=0), la pression est constante dans les sections transversales et varie le
long de la conduite d’une section à une autre. Prenons deux points (1) et (2), au point (1) P=P 1 au
point (2) P=P2, puisque il y’a perte de charge (de pression) alors P2= P1- ΔP avec ΔP la chute de
pression entre les points (1) et (2) (ΔP˃0).
La contrainte visqueuse est fonction de r, τ=τ(r), appliquons la deuxième lois de Newton F=ma au
cylindre dans la direction x : Fx=m.ax dans ce cas ax=0 (écoulement totalement développé), on a
donc :

Puisque ΔP et l ne dépendent pas de r, il est logique que

n’en dépendent pas aussi, c.a.d. ,

τ=cte.r. Appliquons les conditions aux limites pour calculer cette constante.
A r=0 on a , τ=0 pas de frottement, et à r=D/2 (sur la paroi de la conduite) la contrainte est
maximale, elle est dite , τp où τw donc τw= c. D/2 ce qui donne c=2 τw/D et on obtient la contrainte
en fonction de r :
Cette contrainte varie linéairement en fonction de r. Si on remplace τ dans la relation :

3

On trouve :
Une valeur modérée de τw peut produire une perte de charge importante si la conduite est
suffisamment longue l/D˃˃1.

On sait que la contrainte de frottement dans un fluide newtonien est proportionnelle au gradient de
la vitesse :

pour notre cas

, le signe (-) est inclut pour donner τ˃0

pour du/dr ˂ 0. En combinant les équations :

L’intégration donne le profil de la vitesse

C1 est constante, appliquons les conditions aux limites pour la trouver

La vitesse est donc :


est la vitesse au centre de la conduite.

Une autre expression alternative peut être trouvée en utilisant :

Le débit volume à travers la conduite est calculé par :

Par définition, la vitesse moyenne est le débit divisé par la section transversale :
4

Cette relation montre que pour un écoulement laminaire dans une conduite horizontale, le débit
est directement proportionnel à la chute de pression et au diamètre de la conduite ; inversement
proportionnel à la viscosité et à la longueur de la conduite l.
L’extension pour les conduites inclinées sera faite en prenant une conduite inclinée avec l’angle θ
par rapport à l’horizontale.

Les forces appliquées sur l’élément cylindrique sont :

Donc tous les résultats de la conduite horizontale sont valides pourvu que

sera remplacée

, d’où la vitesse moyenne sera :

par
Et le débit :

4. Analyse dimensionnelle
Le but de l’analyse dimensionnelle est de déterminer et de réduire les paramètres qui
influent un phénomène physique. Prenons par exemple le cas de la conduite et cherchons la chute
de pression par l’analyse dimensionnelle.
Soit l’écoulement stationnaire, incompressible d’un fluide newtonien de viscosité μ et de
masse volumique ρ avec une vitesse v à travers une conduite lisse de longueur l et de diamètre D.
On veut trouver la chute de pression ΔP dans la conduite en fonction des autres paramètres de
l’écoulement. Pour le faire on utilise le théorème de Buckingham ou théorème π.

5

5. Calcul à partir de l’analyse dimensionnelle
Soit l’écoulement d’un fluide visqueux dans une conduite
circulaire, on va utiliser l’analyse dimensionnelle pour trouve les
termes qui influent la perte de charge.
Théorème de Buckingham Pi (π).
Le théorème énonce que « Si une équation qui nécessite k variable est homogène
dimensionnellement, elle peut être réduite à une relation de k-r produits adimensionnels, où r est le
nombre minimal de dimensions nécessaires pour décrire toutes les variables ». Les produits sont
notés par « les termes πi ». Soit une équation à k variables tels que :
Selon le théorème Pi, l’équation peut être réarrangée sous la forme :
La détermination des termes Pi se fait dans les étapes suivantes :
Etape 1 : Lister toutes les variables nécessaires dans le problème, elles doivent être indépendantes
(on ne peut pas par exemple choisir γ=ρg et ρ ou g) ; dans notre exemple on a :
Etape 2 : Choisir un système d’unité de base FLT où MLT et exprimer les variables dans ce
système, dans notre cas on a :

Etape 3 : Le nombre de termes Pi est égale à k-r, avec k le nombre de variables (étape1) et r le
nombre de dimensions nécessaire pour exprimer les termes Pi (étape2). Dans notre cas :
Etape 4 : Sélectionner un nombre r de variables répétitifs, ces variables ne doivent pas contenir la
variable dépendante qui va faire l’objet de l’étude. Dans notre cas on choisit :
Etape 5 : Former les termes Pi par la multiplication des variables non répétitives par le produit de
celle répétitives élevée à une puissance qui fait que la combinaison soit adimensionnelle. Chaque
6

terme Pi a la forme :



les variables répétitives et les exposants

est variable non répétitive ;

sont

sont déterminés pour avoir une combinaison

sans dimension. Dans notre cas les termes Pi sont :

Etape 6 : Vérifier que les termes trouvés sont adimensionnels.
Etape 7 : Former l’expression :
Dans notre cas on trouve :
Puisque la chute de pression est proportionnelle linéairement à la longueur de la conduite, on peut
écrire :

c est une constante

On a aussi le débit:
La constante c doit être déterminée par la théorie ou l’expérience, pour les conduites circulaires
c=32.
Cette équation est toujours écrite sous la forme :

Où la quantité adimensionnelle

est dite « coefficient de

frottement ». Pour un écoulement laminaire totalement développé dans une conduite :

7

6. Equation de Bernoulli pour l’écoulement dans une conduite avec perte de charge.
L’équation d’énergie sous sa forme générale pour un écoulement incompressible stationnaire
entre deux stations (1) et (2) s’écrit :
Les facteurs α1 et α2 compensent le profil de vitesse qui n’est pas uniforme, si ce dernier est
uniforme α1 = α2 =1. La hauteur de pertes est due aux pertes visqueuses, la comparaison antre :

Et

car

Donne

d’autre part

7. Pertes de charges linéaires
Soit une conduite circulaire dans laquelle s’écoule un fluide. Si l’écoulement est développé, la
chute de pression est :

Si on suppose que la chute de pression est proportionnelle à l/D on peut écrire :

Le terme

est dit coefficient de frottement f. Alors pour une conduite horizontale :

Pour un écoulement laminaire totalement développé
un écoulement turbulent

indépendamment de

. Pour

.

L’équation d’énergie s’écrit :

hl est la perte de charge linéaire. Si
8

cela donne
La dépendance de

est tracé sur un diagramme dit de MOODY où f

est donné en fonction du Re et de la rugosité relative

.

Pertes de charge singulières
Elles sont présentes lors du passage du fluide à travers les vannes, coudes, té,… La perte de charge
dans ces organes est notée par

.

Pour déterminer cette perte de charge on spécifie un coefficient de perte singulière

qui est

défini par :

Telle que

En général

dépend de la géométrie et de la vitesse, parfois les pertes singulières sont données

en terme d’une longueur équivalente,

, d’où :

9


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