FLU Versuchsanleitung (PDF)

Flüssigkeiten - FLU

Fakultät für Physik der Ludwig-Maximilians-Universität Mün hen  Grundpraktikum für Humanmediziner

(20. MÄRZ 2018)

MOTIVATION UND VERSUCHSZIELE
Die Lehre des Flieÿ- und Verformungsverhaltens von Materie nennt man Rheologie. Für diesen
Versu h werden Sie den mikroskopis hen Aufbau von Flüssigkeiten rekapitulieren, um damit ihr
rheologis hes Verhalten zu verstehen. Spezis he Flieÿeigens haften bestimmen z.B. die Vorgänge
im mens hli hen Blutkreislauf, die pharmazeutis he Entwi klung von Salben und Suspensionen oder
die Flieÿges hwindigkeit der Lava eines Vulkans und des Magmas im Erdmantel. In diesem Zusammenhang tau hen die Begrie Viskosität, Volumenstromstärke und Oberä henspannung auf.
Die V iskosität einer Flüssigkeit ist ein Maÿ für ihre Zähigkeit und hängt von den wirkenden Kräften zwis hen den Molekülen ab. Bei der Sedimentationsanalyse heterogener Dispersionen kommt
die Viskosität zum Tragen, denn vers hiedene Flüssigkeitsmoleküle bremsen sinkende Objekte unters hiedli h stark. Die Viskosität beeinusst au h die V olumenstromstärke, die allerdings no h von
den geometris hen Eigens haften der Umgebung, beispielsweise eines Rohres, abhängt. Die Konsequenzen von Gefäÿverengungen auf den Blutkreislauf können mit dem H agen-Poiseuilles hen Gesetz
erklärt werden.
Die an der Grenzä he Wasser-Luft auftretende O berä henspannung lässt Wasserläufer auf einem
See laufen, ist aber au h für Tropfenbildung verantwortli h. Beim Abwas hen stört die hohe Oberä henspannung von Wasser, weshalb sie dur h Zugabe von Spülmittel herabgesetzt wird.
Innerhalb einer ruhenden Flüssigkeit glei hen si h Temperatur- oder Konzentrationsunters hiede
aufgrund der Browns hen Molekularbewegung mit der Zeit aus. Konzentrationsunters hiede sind
beispielsweise für Nährstotransporte, den Austaus h von Sauersto in den Zellen und Stowe hselprozesse verantwortli h. Wenn die Bewegung der Moleküle dur h eine Membran, die nur gewisse
Molekülarten passieren lässt, einges hränkt wird, spri ht man von Osmose. Wassertransport und
Turgordru k in Panzen, sowie die Entstehung des Membranpotentials von Nerven- und anderen
Zelltypen basieren auf diesem Vorgang. Auf dem glei hen Prinzip beruht au h das Verfahren der
Dialyse, bei der Blut im Krankenhaus von Harnstoen gereinigt wird.
Analog zur Sedimentationsanalyse messen Sie im ersten Teilversu h (K ugelfallviskosimeter) die
Sinkges hwindigkeit einer Stahlkugel in Öl und bestimmen daraus die Viskosität des Öls. Im zweiten Teilversu h werden Sie die Viskosität von Wasser mit einem K apillarviskosimeter dur h Messen des Volumenstromes bestimmen. Dabei stellt die Kapillare einen Strömungswiderstand für die
Flüssigkeit dar. Die Abreiÿmethode (dritter Teilversu h) ist ein Verfahren zur Bestimmung der
Oberä henspannung von Flüssigkeiten. Eine Flüssigkeitslamelle wird solange vergröÿert bis sie
abreiÿt; die dazu nötige Kraft wird direkt gemessen. Im vierten Teilversu h bestimmen Sie mittels D oppler-Sonographie die Flieÿges hwindigkeiten in einem Wasserkreislauf mit unters hiedli hen Röhrendi ken und überprüfen somit die Kontinuitätsglei hung. Mit einem Osmometer wird
in Teilversu h 6 der Diusionsstrom aufgrund des osmotis hen Dru kes zwis hen Wasser und einer
Glu oselösung gemessen.
Die Begrie Stromstärke und Widerstand werden in der Elektrizitätslehre analog verwendet. Daher kann die Flüssigkeitsme hanik als ans hauli hes Erklärungsmodell für die Bes hreibung von
Stromkreisen herangezogen werden.

Contents
I. Teilversu he
II. Physikalis he Grundlagen

II.1. Mikroskopis hes Bild von Flüssigkeiten
II.2. Hydrostatik
II.3. Hydrodynamik
1. Kontinuitätsglei hung
2. Doppler-Eekt
II.4. Viskosität
II.5. Stokess hes Gesetz
II.6. Hagen-Poiseuilles hes Gesetz
II.7. Grenzä hen
1. Oberä henspannung
2. Kapillarität
II.8. Diusion
II.9. Osmose

2
2
2
3
4
4
5
6
7
8
9
9
11
12
12

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN

Flüssigkeiten - FLU

III. Te hnis he Grundlagen

13
13
13
14
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15
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15
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16
16
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17

IV. Versu hsdur hführung

17
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20
20

III.1. Kugelfallviskosimeter
1. S hraubenmikrometer
2. Aräometer
III.2. Kapillarviskosimeter
Wägung
III.3. Abreiÿmethode zur Bestimmung der Oberä henspannung
III.4. Ultras hall-Puls-Doppler FlowDop
III.5. Software FlowView
III.6. Rohrsystem
III.7. Messs hieber
III.8. Kraftmessung
III.9. Osmometer
IV.1. Kugelfallviskosimeter
1. Teilversu h
2. Messgröÿen
3. Dur hführung
IV.2. Kapillarviskosimeter
1. Teilversu h
2. Messgröÿen
3. Dur hführung
IV.3. Bestimmung der Oberä henspannung von Wasser na h der Abreiÿmethode
1. Teilversu h
2. Messgröÿen
3. Dur hführung
IV.4. Überprüfung der Kontinuitätsglei hung mittels Doppler-Sonographie
1. Teilversu h
2. Messgröÿen
3. Dur hführung
IV.5. Gefäÿdiagnostik mit Ultras hall, Angiologie (freiwillig)
IV.6. Osmometer
1. Teilversu h
2. Messgröÿen
3. Dur hführung

V. Auswertung
V.1.
V.2.
V.3.
V.4.
V.5.
V.6.

20
20
20
20
21
21
21

Kugelfallviskosimeter
Kapillarviskosimeter
Bestimmung der Oberä henspannung von Wasser na h der Abreiÿmethode
Überprüfung der Kontinuitätsglei hung mittels Doppler-Sonographie
Gefäÿdiagnostik mit Ultras hall, Angiologie (freiwillig)
Osmometer

VI. Anhang

21

II. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN

I. TEILVERSUCHE

II.1. Mikroskopis hes Bild von Flüssigkeiten

1. Kugelfallviskosimeter: Bestimmung der Viskosität
von Öl.

Anders als im Festkörper bewegen si h die Moleküle

2. Kapillarviskosimeter: Bestimmung der Viskosität

einer Flüssigkeit oder eines Gases innerhalb ihres Volu-

von Wasser.

mens relativ frei und ungeordnet (vgl. Versu h

3. Abreiÿmethode:

Bestimmung

der

GAS).

Browns he Molekularbewegung
oder thermis he Bewegung, da die Ges hwindigkeit der

Oberä hen-

Dies bezei hnet man als

spannung von Wasser.

Bewegung der Temperatur der Flüssigkeit bzw. des

4. Doppler-Eekt: Überprüfung der Kontinuitäts-

Gases entspri ht. Temperaturerhöhung führt zu einer

glei hung.

Verstärkung der Browns hen Molekularbewegung. Gase füllen das vorhandene Volumen eines Behälters voll-

5. Gefäÿdiagnostik mit Ultras hall, Angiologie (frei-

ständig und glei hmäÿig aus. Die Form und Oberä he

willig).

einer Flüssigkeit hingegen kann si h verändern, während
ihr Gesamtvolumen

6. Osmometer: Bestimmung der Permeabilität einer

Zwis hen

semipermeablen Membran.

2

V

dasselbe bleibt.

Flüssigkeitsmolekülen

wirken

elektris he

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN

Flüssigkeiten - FLU

II.2. Hydrostatik

Kräfte, die Moleküle in einem Teil henverbund zusammenhalten. Die Rei hweite dieser Kräfte ist sehr gering,
so dass sie nur zwis hen bena hbarte Teil hen wirken.
Man unters heidet zwis hen

Wie der Name s hon sagt, bes häftigt man si h in

Adhäsionskräften, die zwi-

der Hydrostatik mit ruhenden Flüssigkeiten. Um die

s hen den Flüssigkeitsmolekülen und den Molekülen eines angrenzenden Mediums auftreten und

kräften,

einfa hsten Phänomene zu verstehen, brau ht man ei-

Kohäsions-

nige physikalis he Gröÿen, wel he die wesentli hen Ei-

die untereinander zwis hen den Molekülen ei-

gens haften ruhender Flüssigkeiten bes hreiben.

ner Flüssigkeit herrs hen.
Bei einem bestimmten Abstand

r0

zwis hen den Mo-

lekülen benden si h die Moleküle im Kräfteglei hgewi ht. Aufgrund der thermis hen Bewegung bleiben sie
allerdings ni ht wie bei einem Festkörper an ihrem
Platz, sondern bewegen si h innerhalb des Volumens.
Vergröÿert si h der Abstand zwis hen zwei Molekülen,
so ziehen sie si h an (Abb. 1).

r0

Abb. 1: Anziehende Kräfte zwis hen Molekülen an der Oberä he

Abb. 3: Zur Denition von Stempeldru k.
Wenn ein Molekül bewegt wird, bewirkt der vergröÿerte Abstand zu den Na hbarmolekülen eine resultierende
rü ktreibende Kraft

Fres ,

In Abb. 3 wird eine s hwerelose Flüssigkeit, die si h in

die es in Ri htung seines ur-

F wirkt
A. Im Behälter

einem Behälter bendet, gezeigt. Eine Kraft

sprüngli hen Platzes zurü kzieht (Abb. 2).

senkre ht auf einem Stempel der Flä he

baut si h ein Dru k auf, der in allen Ri htungen und an
allen Stellen des Behälters herrs ht. Dieser Dru k wird

Stempeldru k

genannt:

Fres

pst =

N
F
, [p] = 2 = Pa
A
m

(1)

Unter Einwirkung des Stempeldru ks wird das Volumen
eines Gases reduziert (vgl. Versu h

r0

GAS),

während

das Gesamtvolumen der meisten Flüssigkeiten unver-

Abb. 2: Rü ktreibende Kraft auf ein ausgelenktes Oberä hen-

ändert bleibt. Die Form und Oberä he der Flüssigkeit

molekül

hingegen wird si h an die Form des Behälters anpassen.
Wenn die Flüssigkeit si h im S hwerefeld der Erde bendet, ändert si h die Situation. Abb. 4 links stellt eine

Also versu hen alle Moleküle einer Flüssigkeit, den Abstand

r0

Flüssigkeit dar, die si h in einem quaderförmigen Be-

zu ihren Na hbarmolekülen einzunehmen, um

hälter der Flä he

si h mit ihnen im Kräfteglei hgewi ht zu benden.

A bendet. Der Quader ist so gestellt,

dass die Erdanziehungskraft parallel zu seiner Höhe ein-

Diese Kräfte sind der Grund für viele Eigens haften ei-

wirkt.

ner Flüssigkeit. Sie treten als Reibungskraft auf, denn

Betra hten wir eine horizontale Flä he, die si h in einer

wenn si h ein Molekül bewegt, wird es von seinen Na h-

Tiefe

barn abgebremst. Sie ers hweren es, dass Moleküle die

kraft

Oberä he einer Flüssigkeit verlassen. Sollte die ther-

h bendet. Auf diese Flä he wirkt die Gewi htsF = mg der Flüssigkeit der Masse m oberhalb der

Flä he ein. Diese Flüssigkeitssäule ist no hmals separat

mis he Bewegung einzelner Moleküle allerdings zu groÿ

pschw , der in der
genannt:

in Abb. 4 re hts dargestellt. Der Dru k

sein, können diese do h den Flüssigkeitsverbund ver-

Tiefe

lassen (hinausdiundieren). Bei Gasen ist diese Bewe-

h

herrs ht, wird

S hweredru k

gung deutli h gröÿer, als dass die wirkenden Kräfte die
Moleküle zu einem Flüssigkeitsverbund zusammenhal-

pschw =

ten könnten.

3

F
mg
=
A
A

(2)

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
A

Flüssigkeiten - FLU

A

die folgenden Überlegungen nur einges hränkt gültig.
Wenn si h das makroskopis he Bild als Funktion der

stationär laminarer Strömung. Ein Beispiel für stationäre laminare
Strömung ohne Reibung ist in Abb. 5 gezeigt. Die BahZeit dabei ni ht ändert, spri ht man von

F

h

ρ

h

nen der Flüssigkeitspartikel, sog. Stromlinien sind au h
dargestellt. Man sieht, dass die Strömung laminar ist,
weil die Bahnen si h ni ht kreuzen und keine Wirbel
(Turbulenzen) vorhanden sind.

p

1.

Kontinuitätsglei hung

A1

Abb. 4: Zur Denition von S hweredru k.

A2
v1

v2
s2

Um diese Formel weiter zu vereinfa hen wird der Begri
Di hte

ρ

(grie h.  Rho ) benötigt:

s1

m
ρ=
V
mit dem Volumen

V = A·h

(3)

Abb. 5: Laminare Strömung bei Veränderung der Quers hnitts-

ä he.

der Flüssigkeit oberhalb

der betra hteten Flüssigkeitsä he. Das Einsetzen von

m von Gl. 3 und V

In Abb. 5 ndet die Strömung in einem zylindris hen

in Gl. 2 führt zu dem am häugsten

verwendeten Ausdru k für

pschw ,

Rohrsystem statt. Auf der linken Seite ieÿt die Flüs-

nämli h

Mit anderen Worten, der S hweredru k - au h hydro-

ρ1 und Ges hwindigkeit v1 in ein
A1 hinein und auf der re hten
Seite ieÿt die Flüssigkeit mit der Di hte ρ2 und Ges hwindigkeit v2 dur h ein Rohr mit Quers hnitt A2
heraus. Unter Massenstrom J versteht man die Masse
∆M der Flüssigkeit, die pro Zeiteinheit ∆t dur h einen

statis her Dru k genannt - steigt linear mit der Tiefe

Rohrquers hnitt ieÿt:

sigkeit mit der Di hte

Rohr mit Quers hnitt

pschw =

ρ·V ·g
ρ·A·h·g
=
= ρ·g ·h
A
A

(4)

h.
J=

Warum in der Hydrostatik lieber mit Di hte statt mit
Masse gearbeitet wird, zeigt das sog. Hydrostatis he

∆V
∆M
=ρ
= ρIV .
∆t
∆t

(5)

Volumenstromstärke. Dann ist der Mas-

IV = ∆V
∆t ist die
senstrom dur h die Flä he

Paradoxon. Es besagt, dass der S hweredru k ni ht von
der Form und vom Volumen der Flüssigkeit oberhalb
der zu untersu henden Stelle abhängt, sondern nur von

J1 = ρ 1

der Tiefe (Höhe) der Flüssigkeitssäule. Z. B. wird der
S hweredru k im Fuÿ einen stehenden Mens hen bestimmt von der Höhe der am hö hsten liegenden Ka-

A1

∆s1
A1 · ∆s1
∆V1
= ρ1
= ρ1 · A1
= ρ1 · A1 · v1
∆t
∆t
∆t

und dur h die Flä he

pillare in seinem Kopf.

A2

entspre hend

J2 = ρ2 · A2 · v2 .

Re henaufgabe 1: Bere hnen Sie den S hweredru k im Fuÿ
eines stehenden Mens hen, wenn seine Gröÿe h = 180 cm ist.
Dazu wird angenommen, dass das Blut die glei he Di hte hat
wie Wasser, nämli h ρW = 1, 0 g/ m3

Die

Kontinuitätsglei hung

besagt, dass die Masse die

hineingeossen ist, au h herausieÿen muss bzw., dass
dabei ni hts verloren geht:

II.3. Hydrodynamik

J1 = J2 = J = konst
oder J = ρ1 · A1 · v1 = ρ2 · A2 · v2 = konst.

(6)

Die Hydrodynamik bes häftigt si h mit der Physik ieÿender Flüssigkeiten. Um dieses Phänomen quantitativ

Für die Flüssigkeiten, die als inkompressible gelten, z.

zu modellieren, unterteilt man die Flüssigkeit in einzel-

B. Wasser, gilt

ρ1 = ρ2 = ρ und die Kontinuitätsglei hung wird vereinfa ht na h

ne sehr dünne S hi hten, die parallel zur Bewegungsri htung liegen. Diese gleiten in der Flüssigkeit anein-

J1
J2
J
=
= = IV = konst
ρ
ρ
ρ
oder IV = A1 · v1 = A2 · v2 = konst.

ander entlang. Wenn sie si h dabei gegenseitig ni ht

laminarer Strömung. AnStrömung turbulent, dann sind

vermis hen, spri ht man von
sonsten nennt man die

4

(7)

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN

Flüssigkeiten - FLU

D.h, dass die Strömungsges hwindigkeit an einer engen
Stelle zunimmt.
In dieser Anleitung werden weiter die Flüssigkeiten als
inkompressible betra htet. Deshalb wird statt dem Massenstrom die Volumenstromstärke verwendet.

Abb. 6: Beoba hter bewegt si h auf S hallquelle zu

IV
bekannt ist, die Ges hwindigkeit der Flüssigkeit dur h

Es ist oensi htli h, dass, wenn der Massenstrom
einen Quers hnitt

A von Gl. 7 bestimmen werden kann:
v=

IV
A

(8)

c+v
c+v
c+v
vrel
=
= c = f0 ·
=
λ
λ
c
f0
v
= f0 · (1 + )
c

⇒ f′ =

Für ideale Flüssigkeiten ist die Ges hwindigkeit glei h
in jedem Punkt des Quers hnitts des Rohrs. Wie wir
weiter sehen werden, ist das ist ni ht der Fall für reale
viskose Flüssigkeiten. Trotzdem kann man die Gl. 8 verwenden um eine mittlere Ges hwindigkeit

v¯

Sind S hallausbreitungsri htung und Bewegungsri h-

des Fluids

tung des Beoba hters ni ht parallel zueinander, so gilt

dur h einen beliebigen Quers hnitt zu bere hnen:

v¯ =

IV
.
A

im Allgemeinen:
(9)

f ′ = f0 · (1 +

Re henaufgabe 2: Beim Mens hen ieÿt das Blut vom linken
Ventrikel dur h die Aorta und von dort in die groÿen Arterien,
die zu den vers hiedenen Organen abzweigen. Diese verzweigen si h immer weiter und am Ende wird die Blutversorgung
der Gewebe von sehr, sehr vielen kleinen Kapillaren gewährleistet. Von den Kapillaren gelangt das Blut in die Venolen,
die si h zu kleinen Venen zusammens hlieÿen. Die kleinen Venen vereinigen si h zu gröÿeren Venen und zum S hluÿ errei ht
das Blut den re hten Vorhof. Die Aorta hat einen Radius von
rA = 1, 1 cm und das Blut ieÿt mit einer Ges hwindigkeit von
vA = 20 cm/s hindur h. Die Kapillaren haben typis herweise
einen Radius von rK = 6 · 10−4 cm und das Blut ieÿt mit
einer Ges hwindigkeit von vK = 3 · 10−2 cm/s hindur h. Bestimmen Sie mit Hilfe der Kontinuitätsglei hung, wie groÿ die
gesamte Quers hnittä he AK aller Kapillaren ist? Bere hnen
Sie ungefähr die Zahl NK der Kapillaren im Körper.

Dabei ist

α

v
· cos α)
c

der Winkel zwis hen

v

und der Wellennor-

malen.
Der

bewegte

Beoba hter

wiederum

reektiert

das

Signal wieder zurü k und wird somit quasi zu einem
bewegten Sender. Für die zweimal vers hobene Fre′′
quenz f , die beim Sender gemessen wird, gilt:

f ′′ = f ′ ·

c
1
= f′ ·
c−v
1−

v
c

Sind au h hier S hallausbreitungsri htung und Bewegungsri htung des Beoba hters ni ht parallel zueinander, so gilt im Allgemeinen:

f ′′ = f ′ ·
2.

Doppler-Eekt
Dabei ist au h hier

β

1−

v
c

1
· cos β

der Winkel zwis hen

v

und der

Wellennormalen.
Die Strömungsges hwindigkeit einer Flüssigkeit kann
mit Hilfe von Doppler-Eekt bestimmt werden (vgl.
Versu h

SON).

Sind eine S hallquelle und ein Beob-

a hter zueinander in Ruhe, so registriert der Beoba h-

⇒ f ′′ = f0 ·

ter genau die Frequenz (Tonhöhe), die von der S hall-

1+
1−

v
c
v
c

· cos α
· cos β

quelle abgegeben wird. Bei einer Relativbewegung zwis hen S hallquelle und Beoba hter ist ein anderer Ef-

Dur h eine Näherung mittels Taylor-Entwi klung folgt

fekt festzustellen. Der österrei his he Physiker CHRI-

daraus:

STIAN DOPPLER entde kte, dass zwis hen der von einem Beoba hter wahrgenommenen Tonhöhe (Frequenz)

⇒ f ′′ = f0 + f0 ·

und der Bewegung einer S hallquelle ein Zusammenhang besteht. Diesen Eekt kennt man aus dem All-

v
· (cos α + cos β)
c

Dadur h gilt dann für die Frequenzvers hiebung:

tag z.B. von einem vorbeifahrenden Krankenwagen mit
Martinshorn. Dabei ist der Ton der Sirene beim Annähern des Krankenwagens höher als beim Entfernen.
c
c
Allgemein gilt: c = λ · f0 ⇔ f0 =
λ ⇔ λ = f0
Bewegt si h der Beoba hter auf die ruhende S hallquelle

⇒ ∆f = f ′′ − f0 = f0 ·

zu, so misst der Beoba hter eine erhöhte relative S hallges hwindigkeit:

vrel = c + v

v
· (cos α + cos β)
c

Hier im Versu h trit eine Ultras hallwelle der Frequenz

f0

(siehe Abb. 6).

5

(2 MHz) auf eine si h bewegende Flüssigkeit, wo-

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
dur h eine Frequenzvers hiebung

∆f

Flüssigkeiten - FLU

II.4. Viskosität

entspre hend dem

Doppler-Eekt verursa ht wird. Für ein Impuls-E hoSystem mit einem Ultras hallsensor gilt

α = β:

Die Anziehungskräfte zwis hen Flüssigkeitsmolekülen
ma hen si h als innere Reibungskräfte bemerkbar: Sie

v
⇒ ∆f = 2 · f0 ·
· cos α
cL

bremsen die Molekülbewegungen bei einer strömenden

(10)

Flüssigkeit ab. Jetzt gleiten die Flüssigkeitss hi hten

reibend

aneinander entlang.

Hierbei ist v die Flieÿges hwindigkeit der Flüssigkeit, cL
die S hallges hwindigkeit in der Dopplerüssigkeit und

α

der sogenannte Dopplerwinkel. Dieser kann über das

Bre hungsgesetz von Snellius bestimmt werden (siehe
Versu h

LIN):

1
1
· sin αL =
· sin αP
cL
cP
cL
)
⇒ αL = arcsin(sin αP ·
cP

⇒ α = 90◦ − αL = 90◦ − arcsin(sin αP ·
mit dem Prismenwinkel
S hallges hwindigkeit

αP (15◦ , 30◦

cP

und

cL
)
cP

60◦ )

(11)

und der

im Prisma (siehe Abb. 7).

r0

Abb. 8: Bewegte Moleküls hi ht und wirkende Kräfte zwis hen
ihr und den beiden Na hbars hi hten

Abb. 7: Winkel am Prisma

Abb. 8 zeigt die drei Moleküls hi hten im Abstand
Die Doppler-Sonographie ndet in der medizinis hen

∆x

Diagnostik

von

Wenn si h die S hi hten relativ zueinander ni ht be-

wie

wegen, tritt keine Reibung zwis hen den Molekülen auf

Anwendung

Bewegungsabläufen

und

bei

der

Untersu hung

bewegten

Strukturen

voneinander, die wie Platten nebeneinander liegen.

z.B. kardiologis he Diagnostik, arterielle und venöse

(Abb. 8a). Bes hleunigt man die mittlere Platte um

Gefäÿdiagnostik, Hirndur hblutung und postoperative

muss man mit einer Kraft ziehen, deren Betrag der in-

Gefäÿkontrolle.

neren Reibungskraft

F

∆v ,

entspri ht. Dabei ist die Relativ-

ges hwindigkeit zwis hen den Platten ents heidend. Je

∆v

∆x ist, desto gröÿer
F . Auÿerdem ist diese Kraft proportional
A der aneinander vorbeigleitenden S hi h-

(Abb. 8b) pro Abstand

(Für weitere Informationen bzgl. Sonographie siehe Ver-

gröÿer

su h

ist die Kraft

SON)

zur Flä he

Re henaufgabe 3: Eine ruhende Quelle emittiert eine S hallwelle mit einer Frequenz von fQ = 1000 Hz , die an einer
bewegten Oberä he reektiert wird. Die Oberä he bewegt
si h in Ri htung der Quelle und ihre Ges hwindigkeit beträgt
v = 5, 00 m/s. Wel he Frequenz fB wird ein ruhender Beoba hter, der si h in der Nähe der Quelle bendet, detektieren? Die
S hallges hwindigkeit beträgt 333 m/s.

ten.
Die bremsende Kraft

F

lässt si h also dur h folgenden

Zusammenhang bes hreiben:

F ∝A
6

∆v
.
∆x

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
Um das Proportionalitätszei hen

∝

Flüssigkeiten - FLU

II.5. Stokess hes Gesetz

dur h ein Glei h-

heitszei hen ersetzen zu können, führt man eine dimensionsbehaftete Konstante, die sogenannte (dynamis he)

Viskosität η

Bewegt si h ein Körper in einer Flüssigkeit oder einem

(grie h.  Eta ) der Flüssigkeit, ein:

∆v
F = η·A
.
∆x

Gas, wird er dur h We hselwirkung mit den Molekülen
des Mediums abgebremst. Ist dieser Körper eine klei-

(12)

ne Kugel, die si h relativ langsam in einer Flüssigkeit
bewegt, so entstehen wie bei laminarer Strömung keine

Die Einheit [η ℄ dieser Konstante (Pas alsekunde) ergibt

Verwirbelungen. Dabei ist wi htig, dass die Flüssigkeit

si h aus den restli hen Einheiten auf beiden Seiten der

weit ausgedehnt ist, es also keine Beeinussung dur h

Glei hung:

eine Gefäÿwand in der Nähe der Kugel gibt. Unter die-

= [η] · m ·
2

N

⇒ [η] =

N·

s
m2

m/s
m

=

N
m2

= [η] ·

m

sen Bedingungen gibt das

2

bungskraft

s

· s = Pa·s

Fr

Stokess he Gesetz

die Rei-

an, die auf eine Kugel mit dem Radius

ausgeübt wird, wenn sie si h mit der Ges hwindigkeit
(Pas alsekunde)

in einer Flüssigkeit mit der Viskosität

.

hängig von der Flieÿges hwindigkeit

v

η

bewegt

Fr = −6πrηv .

Die Viskosität ist harakteristis h für die jeweilige Flüssigkeit und ein Maÿ für ihre Zähigkeit. Wenn

η

unab-

r
v

(13)

Abb. 9 zeigt eine Kugel, die in einer Flüssigkeit auf-

ist, spri ht man

grund der S hwerkraft

Newtons hen Flüssigkeit und bezei hnet Gl.
Newtons hes Reibungsgesetz. Die meisten rei-

Fa

Fg

sinkt. Sie wird dur h die

von einer

Auftriebskraft

(12) als

bremst. Deshalb errei ht die Kugel na h einer Bes hleu-

und die Stokess he Reibungskraft ge-

nen Flüssigkeiten sind Newtons h, z.B. Wasser (im Versu h wird nur mit Newtons hen Flüssigkeiten gearbeitet).
Aufgrund

der thermis hen

Bewegung

der Moleküle

nimmt die Viskosität von Flüssigkeiten mit steigender
Temperatur

T

stark ab (siehe Tab. I und Abb. 30).

Abb. 9:

Sinkende Kugel in viskoser Flüssigkeit und
die an ihr angreifenden
Kräfte:
S hwerkraft Fg , Auftrieb Fa und Stokess he
Reibung Fr .

Beispiele:
Honig oder Öl sind zähüssiger als Wasser, aber dieses Verhältnis quantitativ anzugeben, fällt s hwer. Und die wenigsten würden erwarten, dass  wie man aus den Versu hen
sehen wird  Öl um den Faktor 1000 viskoser als Wasser
ist. Im Alltag erlebt man Unters hiede in der Zähigkeit beim
Ausgieÿen von Flüssigkeiten, dem Ausdrü ken von Tuben
oder beim Flieÿen von Flüssigkeiten dur h ein Rohr.
Glas wird oft für einen Festkörper gehalten, strukturell entspri ht es aber einer Flüssigkeit mit sehr hoher Viskosität,
da si h die für einen Festkörper notwendige Kristallstruktur
ni ht ausbildet. Die Viskosität von Kieselglas ist bei
a.

12

10

-mal so groÿ wie die von Wasser bei

◦

20

nigungsphase eine konstante Endges hwindigkeit, aus

400◦ C

der si h die Viskosität wie folgt bere hnen lässt.

C. Die gröÿ-

Die auf die Kugel (K) wirkende S hwerkraft ist

ten Linsen für Teleskope, die je gebaut wurden, haben a.
einen Meter Dur hmesser. Aufgrund der S hwerkraft beginnt

Fg = mK g =

eine so groÿe Linse, si h ieÿend zu verformen und bildet
deshalb ni ht mehr ri htig ab. Heutzutage verwendet man
daher Spiegelteleskope.

wobei si h die Masse

Beim Was hen mit Wasser ma ht si h die Temperaturabhän-

gelvolumen

V

m

4 3
πr · ρK · g ,
3

(14)

ρ

und dem Ku-

aus der Di hte

bere hnet:

gigkeit der Viskosität bemerkbar, da warmes Wasser dünn-

m = V ·ρ =

üssiger und damit besser zum Abwas hen geeignet ist. Beim
Starten eines Dieselmotors im Winter wird eine s hwa he
Batterie es ni ht s haen, den Motor zur Selbstzündung zu

Na h dem

bringen, da Diesel und S hmieröl bei Minusgraden um ein

4 3
πr · ρ .
3

Ar himedis hen Prinzip

ist der Auftrieb (die

Auftriebskraft) betragli h genau glei h der Gewi hts-

vielfa hes zäher sind als im Sommer. Die Temperaturabhän-

kraft der verdrängten Flüssigkeit (Fl):

gigkeit ma hen si h au h Glasbläser zunutze: Sie erhitzen
Glas und erniedrigen damit dessen Viskosität, um es lei h-

4
Fa = −mFl g = − πr3 · ρFl · g .
3

ter verformen zu können.

7

(15)

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN

Flüssigkeiten - FLU

Besonders interessante Erfahrungen mit der Auftriebskraft kann man im Toten Meer sammeln. Wegen der
gröÿeren Di hte des Salzwassers im Verglei h zum
Süÿwasser (ρSalzW > ρW ), erfährt man eine starke Auftriebskraft, die das Sinken mens hli her Körper
(ρSalzW > ρMensch) ins Wasser des Toten Meeres verhindert und das übli he S hwimmverhalten stark verändert.
Die Vorzei hen in den Gln. (15) lassen erkennen, dass
Reibungs- und Auftriebskraft na h oben wirken, während die S hwerkraft na h unten wirkt. Die beiden letzteren Kräfte sind konstant, während die Reibungskraft
mit zunehmender Ges hwindigkeit

v

gröÿer wird.

Abb. 10: Zum Hagen-Poiseuilles hen Gesetz

Sobald die Kugel na h einiger Zeit mit konstanter Ges hwindigkeit sinkt, gilt na h Newtons 1. Gesetz: Die
Summe aller Kräfte auf einen Körper (die Kugel) ist
genau dann glei h null, wenn er si h mit konstanter

auf die Flüssigkeit der Flä he

Ges hwindigkeit fortbewegt oder in Ruhe bleibt. Konstante Ges hwindigkeit heiÿt also

Fg + Fa + Fr = 0,

serpegel in den Säulen bewirken dann einen hydrosta-

4
4 3
πr ρK g − πr3 ρFl g − 6πrηv = 0
3
3
η

die si h unterhalb die-

bau des S hweredru ks pschw = mg/A (au h hydrostatis her Dru k genannt). Die unters hiedli h hohen Was-

so

dass

aus den Gln. (15) folgt. Und Auösen na h

A

ser Wassersäule bendet. Diese Kraft führt zum Auf-

tis hen Dru kunters hied. Um diesen Unters hied auszuglei hen, ieÿt Wasser dur h das enge Rohr von links
ergibt

2gr2
2gr2
η=
(ρK − ρFl ) =
∆ρ .
9v
9v

na h re hts. Physikalis h ausgedrü kt ergibt si h ein Volumenstrom dur h das Rohr, für den folgendes gilt:

(16)
 Zwis hen den Enden des Rohres sind Höhenunters hied

Als Sedimentation bezei hnet man das Absetzen von festen

∆h

und Dru kunters hied

∆p

zueinander

proportional:

Teil hen aus Flüssigkeiten unter dem Einuss einer äuÿeren Kraft. Bei der Sedimentationsanalyse werden Teil hen

∆p =

unters hiedli her Di hte voneinander getrennt, z.B. bei der
Blutsenkung Erythrozyten vom Blutplasma, oder es werden

∆mFl g
∆V ρFl g
∆hAρFl g
=
=
= ∆hρFl g
A
A
A

(18)

aus der Sedimentationsges hwindigkeit Rü ks hlüsse auf die

(A = Quers hnittsä he der Wassersäule(n),

Gröÿe der sinkenden Körper gezogen. Da Moleküle und klei-

= Di hte der Flüssigkeit,

ne Körper sehr langsam sinken, ersetzt man die S hwerkraft

Wassermasse).

∆mFl

ρFl

= dur hgeossene

dur h die Zentrifugalkraft. Eine Ultrazentrifuge kann die Sedimentationsges hwindigkeit um das

106 -fa he

steigern.

 Je gröÿer

Bei einem Falls hirmsprung kann das Stokess he Gesetz

∆p

ist, desto gröÿer ist das Ausglei hs-

bestreben und damit die Volumenstromstärke, es

zwar ni ht mehr zur exakten Bes hreibung verwendet wer-

gilt

den, qualitativ ist aber der Fall in der Luft sehr ähnli h.

IV ∝ ∆p.

Da die Luftreibung mit zunehmender Ges hwindigkeit im Der Volumenstrom

mer gröÿer wird, kann man im freien Fall hö hstens a.

IV

hängt au h von der Flüs-

sigkeit selbst ab. Er ist umso niedriger, je viskoser

200 km/h und mit geönetem S hirm a. 10 km/h errei hen.

 also zähüssiger  die Flüssigkeit ist:

II.6. Hagen-Poiseuilles hes Gesetz
Unter der

Volumenstromstärke IV

man das Flüssigkeitsvolumen

∆t

∆V ,

 Alle weiteren Abhängigkeiten liegen in dem dünnen zylindris hen Rohr, der

Kapillare.

Bei sehr

groÿem Quers hnitt und geringer Länge würde

(vgl. Gl. 5) versteht

der Ausglei h zwis hen den Wassersäulen sofort

das pro Zeiteinheit

ges hehen. Das lange dünne Rohr ers hwert den

dur h einen Rohrquers hnitt ieÿt:

IV =

IV ∝ 1/η .

Volumenaustaus h. Je länger und je enger es
ist, desto s hwä her ist die Volumenstromstärke.

∆V
.
∆t

Während

(17)

IV

und Rohrlänge

L

zueinander um-

gekehrt proportional sind, steigt die Volumenstromstärke mit gröÿerem Radius

Von wel hen physikalis hen Gröÿen die Volumenstrom-

r mit der zunä hst
IV ∝ rk /L.

stärke beim Fluss dur h ein Rohr abhängt, wird anhand
von Abb. 10 verans hauli ht:

r.

Hierbei geht

unbekannten Potenz

k

ein:

Eine hohe und eine niedrige Wassersäule sind über ein
enges Rohr mit Radius

r

de Wassersäule der Höhe

und Länge

h

L

verbunden. Je-

Mit wel her Potenz der Radius eingeht, sieht man an ei-

mg

nem Einheitenverglei h unter Berü ksi htigung der Pro-

übt die Gewi htskraft

8

II PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
portionalität von

Ansatz:

IV

zu

∆p, 1/η , 1/L

IV = ∆p ·
m

3

=

s

⇒

4

m

=

und

Flüssigkeiten - FLU

rk :

Herzarbeit gering hält. Arteriosklerotis he Veränderungen
verengen den Gefäÿquers hnitt (Radius ho h 4!), wodur h

1 1 k
· ·r
η L

Pa · m

k

Pa·s · m
k
m
⇒

=

m

das Blut im Engpass s hneller strömen muss. Dort s hlägt
die laminare Strömung in eine turbulente Strömung um, was

k

den Blutstrom stark behindert. Daher fällt der Dru k hinter
der Engstelle stark ab, wodur h die dahinter liegenden Or-

s·m

gane s hle hter mit Blut versorgt werden.

k=4.

Die Tatsa he, dass die Dur hussmenge stark vom Radius
abhängt, nutzt der Körper aus: Mit kleinen Änderungen des

Die formale Herleitung liefert einen zusätzli hen Faktor

π/8.

Gesetz,

Damit erhält man das

Hagen-Poiseuilles he

Kapillardur hmessers steuert er die Dur hblutung und damit
au h den Wärmeverlust. Bei Kälte ziehen si h die Blutge-

das der deuts he Ingenieur Hagen (1839) und

fäÿe ein wenig zusammen und senken so die Wärmeabgabe,

der französ he Arzt Poiseuille (1840) in einer Untersu-

denn weniger Blut gibt weniger Wärme ab. Groÿe Gefahr

hung über den Blutkreislauf unabhängig voneinander

besteht allerdings bei hohem Alkoholkonsum im Winter. Al-

aufstellten:

kohol weitet die Blutgefäÿe, weshalb ein Betrunkener in ei-

π r4
IV = ·
· ∆p
8 ηL

ner kalten Winterna ht sehr s hnell erfrieren kann.

(19)

Am Hagen-Poiseuilles hes Gesetz lässt si h die Analogie zwis hen den Strömungen von Elektrizität und Flüs-

Mit Hilfe der Gl. 9 kann die mittlere Ges hwindigkeit

sigkeiten zeigen. Als

der Flüssigkeit dur h eine zylindris he Kapillare der Ra-

man

dius

r

bere hnet werden:

RV =
v¯ =

1 r2
π r4
1
IV
= ·
· ∆p · 2 = ·
· ∆p.
A
8 ηL
πr
8 ηL

Strömungswiderstand RV deniert

8ηL
∆p
=
IV
πr4

analog zu

R=

U
.
I

(20)

Bei laminarer Strömung ist RV konstant und entspri ht
formal dem Ohms hen Widersand  Volumenstrom und

Das Hagen-Poiseuilles he Gesetz gilt nur unter den fol-

Dru kunters hied entspre hen der elektris hen Strom-

genden fünf Idealbedingungen:

stärke und Spannung. In hintereinandergesetzten Rohren mit beliebigen Radien ist die Volumenstromstär-

1. Es sollen nur die erwähnten inneren Reibungs-

ke glei h groÿ und der Gesamtströmungswiderstand ist

kräfte auftreten. Das bedeutet, dass die Teil hen

RV,ges = RV,1 + RV,2 .

während der Bewegung ni ht mehr bes hleunigt
werden, es si h also um eine sogenannte statio-

ken

näre Strömung handelt (waagre htes Rohr oder

aus

ges hlossener Kreislauf ).
2. An der Rohrwand soll

v = 0

S haltet man dagegen zwei

Rohre parallel, so addieren si h die Volumenstromstär-

IV,ges = IV,1 + IV,2 . Den Widerstand
1/RV,ges = 1/RV,1 + 1/RV,2 . Parallel

erhält man
angeordne-

te Blutgefäÿe (Kapillarisierung) begünstigen die Dur hblutung, der Gesamtströmungswiderstand nimmt ab.

sein. Es wird nur

die Reibung der inneren Flüssigkeitss hi hten berü ksi htigt und vereinfa hend davon ausgegan-

II.7. Grenzä hen

gen, dass die äuÿerste Flüssigkeitss hi ht an der
Rohrwand haftet.

1.

3. Es handelt si h um eine Newtons he Flüssigkeit,
d.h.

η

Oberä henspannung

ist konstant. Die Viskosität soll si h ni ht

mit der Volumenstromstärke bzw. der Flieÿge-

Die Oberä he einer Flüssigkeit ist bestrebt, so klein

s hwindigkeit ändern.

wie mögli h zu sein.

1 Dieses Phänomen wird wieder

dur h die zwis henmolekularen Kräfte erklärt. An der

4. Das ieÿende Medium soll inkompressibel sein, al-

Oberä he einer Flüssigkeit gelingt es vereinzelten Mo-

so glei hbleibende Di hte bei jedem Dru k haben.

lekülen aufgrund der thermis hen Bewegung, diese zu

Dies ist für Flüssigkeiten meist gültig, für Gase

verlassen, wodur h die Di hte in der Rands hi ht der

aber ni ht!

Flüssigkeit absinkt (Abb. 11). Dadur h wird der Abstand zwis hen einzelnen Molekülen gröÿer als

5. Es soll laminare Strömung vorliegen, d.h. es sol-

r0

und

len keine Verwirbelungen auftreten, die bei ho-

sie beginnen, si h gegenseitig anzuziehen. Diese Anzie-

hen Strömungsges hwindigkeiten entstehen wür-

hungskräfte setzen die Oberä he wie eine Gummihaut

den. Dafür ist eine lange, dünne Kapillare not-

tangential unter Spannung (vgl. dazu Abb. 1 u. 2 auf

wendig.

Seite 3). Würde man die Haut ein Stü k aufs hneiden,
bräu hte man eine Kraft, um den S hnitt zusammen

Im entspre henden Teilversu h sind alle diese Bedingun-

zu halten. Über die Kraft

gen verwirkli ht. Aber selbst wenn ni ht alle vollständig

FO ,

die notwendig ist, um

erfüllt sind, dient das Hagen-Poiseuilles he Gesetz oftmals als sinnvolle Näherung.

1

Beispiele:
Das Blut in kleinen Körpergefäÿen ieÿt laminar, was die

9

Hier und weiter unter Oberä he wird die Grenzä he
Luft/Flüssigkeit gemeint.