PDF Archive

Easily share your PDF documents with your contacts, on the Web and Social Networks.

Send a file File manager PDF Toolbox Search Help Contact



Выродов Споры о физике после уроков .pdf



Original filename: Выродов - Споры о физике после уроков.pdf

This PDF 1.6 document has been generated by pdftk 2.01 - www.pdftk.com / itext-paulo-155 (itextpdf.sf.net-lowagie.com), and has been sent on pdf-archive.com on 11/01/2019 at 22:25, from IP address 46.219.x.x. The current document download page has been viewed 19 times.
File size: 15.6 MB (120 pages).
Privacy: public file




Download original PDF file









Document preview


Е. А. Выродов

Споры о физике
после уроков
v

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
B
Выродов Е. А.
Споры о физике после уроков
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----
В книге подробно разбираются удивительные и парадоксальные
сюжеты из школьной физики. Обсуждение каждого сюжета происходит в форме диалога между учителем и несколькими школьниками
на занятии физического факультатива. И обсуждения эти показывают, что даже в обычной, на первый взгляд, школьной задаче можно
обнаружить очень глубокие и нетривиальные физические взаимосвязи. Если, конечно, целью является научное понимание явлений, а не
только получение формального ответа.
Задача книги — передать дух физического мышления, дух науки. Она не дает ответ не на вопрос «Как решать задачи по физике?»,
а скорее поясняет «Зачем это делать?».
Для школьников старших классов и преподавателей физики.

Подготовлено на основе книги:
Выродов Е. А. Споры о физике после уроков. –– М.: МЦНМО, . ––
 с. –– ISBN ----

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. () ––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----

© Выродов Е. А., .
© Аристова А. В., иллюстрации, .
© МЦНМО, .

Предисловие
Эта книга –– для тех, кому интересна физика. Для тех, кто видит (или хотел бы увидеть) в этой науке нечто большее, чем школьный предмет или олимпиадную дисциплину. Для тех, кто понимает –– люди, создававшие эту науку, делали это совсем не для того,
чтобы помучить школьников ещё одним ЕГЭ или дать им возможность посоревноваться в решении задачек на скорость. Если вам
интересно разбираться в сложных вопросах, если получение ответа
в хитрой задаче для вас не самоцель, а лишь способ прийти к пониманию, то эта книга –– для вас.
Каждая глава книги написана в форме диалога между учителем
и несколькими школьниками, которые на занятии школьного факультатива обсуждают некий хитрый сюжет из элементарной физики. Сами сюжеты достаточно известны, это, как правило, задачи,
взятые из классических школьных задачников. Особенность этих задач –– в их парадоксальности. К каждой из них можно предложить
два или три решения, выглядящих вполне разумно, но приводящих
к разным ответам! Разобраться в этой ситуации, понять, какое же
из решений верное и почему неверны другие, оказывается иногда
очень непросто. Форма диалога потому и была выбрана автором,
что она позволяет показать движение мысли –– как в ходе обсуждения сложного вопроса из наивных, поверхностных мнений, ошибок,
прозрений, тяжёлого отчаяния от загадочности проблемы возникает наконец научное понимание. Ведь именно в этом движении от загадки к пониманию и состоит суть любой науки, именно оно делает
эту область человеческой деятельности магически притягательной
для тех, кому посчастливилось к ней приобщиться.
Для понимания сюжетов, обсуждаемых в книге, вполне достаточно знаний школьной программы. Но читатель должен быть готов к серьёзной работе –– ему предлагается вовсе не развлекательное чтение.
Автор надеется, что эта книга будет интересна и полезна школьникам-старшеклассникам, стремящимся к действительно глубокому изучению физики, а также его коллегам –– учителям, работающим с подобными школьниками.



Предисловие

Большое спасибо всем, кто на этапе работы над книгой высказал важные замечания по её форме и содержанию: А. Анохиной,
Л. Великовой, С. Горбушину, П. Калугину, Л. Мельниковскому, А. Шеню. Ася Аристова нарисовала к текстам чудесные, очень живые
иллюстрации –– огромное спасибо ей за это! И конечно же, автор
очень благодарен своим ученикам –– без них, без их искреннего интереса и готовности работать на наших занятиях эта книга была бы
просто невозможна.
Надеюсь, вам будет интересно вместе с ними разбираться в сложных и парадоксальных вопросах этой удивительной науки –– физики.

Занятие 

Камень, брошенный вверх,
или
Тише едешь –– быстрее будешь
Участвуют: Учитель, Ася, Ваня, Лёва.
У ÷ è ò å ë ü. Здравствуйте, ребята. Ну вот, сегодня –– первое занятие нашего факультатива. Давайте начнём с чего-нибудь не очень
сложного. Что у вас было на последних уроках физики?
В à í ÿ. Мы только начали механику. Кинематику. А последняя
тема была...
Л ¼ â à. Равноускоренное движение. Несколько скучных формул
про скорость и перемещение, ничего сложного. И ничего интересного тоже.
В à í ÿ. Ага.
У ÷ è ò å ë ü. Вам так показалось? Хорошо. Давайте попробуем решить такую задачу. Предположим, мы бросаем камень с поверхности земли вертикально вверх. Нужно, чтобы он поднялся до высоты,
например, 30 метров, причём оказался на этой высоте ровно через
6 секунд. Допустим, у нас есть информация, что именно через это
время там пролетит птичка, и мы хотим камнем в эту птичку попасть –– такие вот у нас хулиганские намерения.
А ñ ÿ. Нет, не надо птичку! Птичку жалко...
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо, хорошо, Асенька, не птичка. В общем, чтото там такое произойдёт на этой высоте, из-за чего требуется, чтобы
время подъёма камня было именно 6 секунд. Вопрос –– какова должна быть для этого его начальная скорость?
Л ¼ â à. Ну, в чём проблема? Напишем формулу для перемещения
камня. Сопротивлением воздуха мы, конечно, пренебрегаем?
У ÷ è ò å ë ü. Да. Для камня, брошенного рукой, это вполне допустимое приближение.
Л ¼ â à. Тогда его движение равноускоренное, с ускорением −g.
Если h –– высота подъёма, v0 –– начальная скорость камня, а t –– нуж-



Занятие . Камень, брошенный вверх

ное время, то
h = v0 t −

gt 2
.
2

В этой формуле нам известно всё, кроме начальной скорости. Выразим её и получим ответ:
v0 =

h gt
+ .
t
2

Можно и числа подставить. Высота у нас 30 метров, время –– 6 секунд, да? Тогда
v0 =

30 10 · 6
+
= 35 м/с.
6
2

Я здесь для простоты вычислений принял g примерно равным
10 м/с2 . Ничего?
У ÷ è ò å ë ü. Вполне нормальная точность. Все согласны с Лёвиным решением?
А ñ ÿ , В à í ÿ. Да, конечно.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо. Тогда давайте немного изменим данные в условии нашей задачи. Пусть высота будет та же, а вот требуемое время –– не 6 секунд, а 3. Какая тогда нужна начальная скорость?
Л ¼ â à. Слушайте, вы что –– хотите проверить, как мы владеем
арифметикой? Ясно, что задача та же самая, формула для ответа
никак не изменится, нужно только подставить в неё другие числа
и заново посчитать. Зачем это нужно, что мы нового поймём?
У ÷ è ò å ë ü. А вы всё-таки посчитайте, там кое-что забавное обнаружится.
Л ¼ â à. Ну ладно. Если высота та же, а время должно быть 3 секунды, то
v0 =

30 10 · 3
+
= 25 м/с.
3
2

Ну как, я хорошо владею арифметикой?
В à í ÿ. Так... Подождите...
У ÷ è ò å ë ü. По-моему, Ваня что-то заметил.
А ñ ÿ. И я, и я заметила!
Л ¼ â à. Что, у меня где-то ошибка?
А ñ ÿ. Нет, ошибки я не вижу, но посмотри, что получилось. Если
бросить камень со скоростью 35 м/с, то он поднимается за 6 секунд,
а если уменьшить начальную скорость до 25 м/с, то время подъёма
тоже уменьшается и становится 3 секунды!

Занятие . Камень, брошенный вверх



У ÷ è ò å ë ü. Вот-вот, чем медленнее летит камень, тем быстрее он
оказывается на нужной высоте. Так получается. Наверное, если его
совсем чуть-чуть подбросить, он просто мгновенно до этого уровня
долетит.
Л ¼ â à. Подождите, что за чушь?! Не может такого быть. Может,
всё-таки где-то ошибка?.. Да нет, простейшее уравнение... И числа
я все правильно подставил. В чём же дело?
В à í ÿ. Знаете, Учитель, ваше замечание насчёт «медленнее летит –– быстрее долетает» всё-таки не совсем верное. Ну, то есть, такое было бы совершенно невозможно, если бы камень летел с постоянной скоростью. А он движется равноускоренно. И уменьшили мы
во втором случае не вообще скорость камня (она у него изменяется
всё время движения), а начальную скорость. При равномерном движении время полёта, конечно, обратно пропорционально этой скорости, но формулы равноускоренного движения гораздо сложней...
У ÷ è ò å ë ü. Да, Ваня, это ты верно заметил. Но проблему твоё
замечание не решает. Ведь, казалось бы, и в первом, и во втором
случае камень замедляется силой тяжести совершенно одинаково,
и если мы уменьшаем начальную скорость, то и средняя скорость
тоже должна уменьшиться. А время полёта соответственно –– возрасти. Ну, это если по-простому, по здравому смыслу рассудить.
А вот формулы дают обратный результат. Чего-то мы здесь явно не
понимаем.
В à í ÿ. Слушайте, я, кажется, знаю, в чём дело. Смотрите, ведь
если мы подбросим камень с достаточно большой скоростью (так,
чтобы он поднялся выше 30 метров), то на нужной нам высоте он
побывает не один раз, а два –– на подъёме, по пути вверх, и на спуске, когда уже будет падать.
А ñ ÿ. Ну да, и что же?
В à í ÿ. А давайте последим за временем второго пролёта. Как
оно зависит от начальной скорости? Чем больше эта скорость, тем
дольше камень поднимается до верхней точки своей траектории
(потому что время подъёма равно v0 /g). С другой стороны, максимальная высота его подъёма тоже возрастает, а значит, ему дольше
приходится падать от верхней точки до заданного нами уровня.
В результате полное время его полёта (от броска до второго пролёта
нужной высоты) будет тем больше, чем больше начальная скорость.
А ñ ÿ. Здорово! Ровно то, что мы видим в нашей задаче! И представить себе это очень легко. Если мы бросим камень с какой-то со-



Занятие . Камень, брошенный вверх

вершенно огромной скоростью, так, что он на 100 километров над
землёй поднимется, то придётся очень долго ждать, пока он с этой
высоты назад свалится и наш -метровый уровень второй раз пролетит.
Л ¼ â à. Вот и ответ на наш вопрос! Теперь всё стало понятно.
У ÷ è ò å ë ü. Вы так думаете? А по-моему, основные вопросы здесь
только начинаются. Во-первых, Ваня своим рассуждением очень
убедительно показал нам, что время второго пролёта через заданный уровень всегда возрастает при увеличении начальной скорости. А в нашей-то задаче мы с каким пролётом имеем дело –– с первым или вторым?
Л ¼ â à. Очевидно, со вторым. Иначе не было бы этой странной
зависимости времени от начальной скорости.
В à í ÿ. Ну, очевидно это только для -секундного полёта. Про
-секундный... непонятно, может, это и первый пролёт.
У ÷ è ò å ë ü. И как же нам с этим разобраться?
Л ¼ â à. Хорошо, если хочется строгого ответа на этот вопрос ––
давайте найдём скорость, с которой камень пролетает нужную нам
высоту в нужный момент. Эта скорость равна
v = v0 − gt.
Для -секундного полёта (его начальная скорость равна 35 м/c) получается
v = 35 − 10 · 6 = −25 м/с.
А для -секундного (v0 = 25 м/с)
v = 25 − 10 · 3 = −5 м/с.
А ñ ÿ. А зачем мы ищем эту скорость?
Л ¼ â à. Нас не сама она интересует, а её знак. Смотрите, в обоих
случаях скорость оказалась отрицательной.
В à í ÿ. Да, ясно. Это означает, что камень в эти моменты летит
уже не вверх, а вниз, то есть мы имеем дело не с первым, а со вторым пролётом. И для шести секунд, и для трёх. Но, по-моему, в этом
можно убедиться гораздо проще, если найти время полёта камня до
верхней точки. Как уже говорилось, это время равно v0 /g (потому
что скорость в верхней точке обращается в ноль). Для первого случая (начальная скорость 35 м/с) получается 35/10 = 3,5 секунды.

Занятие . Камень, брошенный вверх



И сразу видно, что 6 секунд, для которых мы нашли эту скорость, ––
это может быть только второй пролёт, он происходит после достижения камнем верхней точки. То же самое –– для второго случая. Там
требовался пролёт через 3 секунды, начальная скорость получилась
25 м/с, значит, время подъёма до верхней точки 25/10 = 2,5 секунды. Очевидно, что это тоже второй пролёт.
А ñ ÿ. Смотрите, а можно ещё вот как разобраться. Давайте сделаем вид, что мы не знаем, когда наш камень оказывается на нужной высоте. Но если задана его начальная скорость, то это время
можно найти. Мы такую задачу на уроке решали. Нужно только
в Лёвином уравнении
gt 2

h = v0 t − 2

считать t неизвестным.
Л ¼ â à. Странная идея. Сначала мы потребовали определённого t
при заданном h и нашли из получившегося уравнения начальную
скорость. Теперь ты предлагаешь подставить в него эту скорость
и искать время. Но мы и найдём тогда то t, которое потребовали
с самого начала, разве не так?
А ñ ÿ. А вот и не так! Не совсем так. Смотри, это уравнение относительно t квадратное, у него два корня
t1,2 =

v0 ±

p

v02 − 2gh
,
g

то есть уравнение даёт нам оба пролёта камня через нужную высоту –– первый и второй. Один из этих корней, конечно, и есть то t,
которое мы хотели, но давайте посчитаем оба. Если подставить числа, то для v0 = 35 м/с получается t1 = 1 с, t2 = 6 с –– сразу видно,
что тот пролёт, который мы заказывали, –– второй, он соответствует
большему корню уравнения. А если v0 = 25 м/с, то корни t1 = 2 с,
t2 = 3 с. Нужный корень снова оказался б´
oльшим.
Л ¼ â à. Молодец, Ася, ты умеешь решать квадратные уравнения!
У ÷ è ò å ë ü. Ну, не надо иронизировать. Такое умение в науке довольно полезно, вообще-то. Асино рассуждение совершенно разумное и правильное, как и Ванино, и Лёвино. Но давайте вернёмся
к исходной задаче. Смотрите –– для того чтобы разобраться, какому же пролёту соответствует заказанное нами время, нам пришлось
проделать целое дополнительное исследование. А ведь это время мы



Занятие . Камень, брошенный вверх

заказали сами! Мы потребовали, чтобы камень оказался на заданной высоте в заданный момент. Кстати, мы уточнили при этом, какой именно пролёт мы хотим –– первый или второй?
Л ¼ â à. Нет, об этом в условии речи не было –– просто требовалось определённое время.
У ÷ è ò å ë ü. И формулы однозначно сказали нам, какая для этого
требуется начальная скорость, так? Но ведь камень пролетает этот
уровень два раза. Логично было бы предположить, что и задача наша должна иметь два ответа. Если потребовать, чтобы камень оказался на нужной высоте по пути вверх, –– одна начальная скорость,
а если вниз –– другая. Но ничего подобного не наблюдается –– Лёвино уравнение для каждого t даёт только одно значение v0 .
В à í ÿ. Я понял, что хочет сказать учитель. Получается, что мы
не можем заказать заранее номер нужного пролёта. Для каждого
времени подъёма получается какая-то начальная скорость, но какой
это будет пролёт –– не в нашей власти. Например, в нашей задаче
6 с и 3 с могут быть только временами второго пролёта. А если мы
закажем подъём за 1 с или за 2 с, то начальные скорости получатся
те же самые, но это будут уже первые пролёты –– Асино вычисление
это показывает.
А ñ ÿ. А кто же решает, какой пролёт мы получим?
В à í ÿ. Видимо, природа.
У ÷ è ò å ë ü. Вот-вот. Не знаю, как вас, а меня это возмущает. Как
это так –– какая-то «природа» за меня решает, сверху или снизу брошенный мной камень попадёт в птичку! Если через 6 секунд, то
обязательно сверху, видите ли, вторым пролётом. Нет, а я вот хочу
попасть снизу, и именно через 6 секунд. Разве это невозможно?
А ñ ÿ. Ну вот, вы опять про птичку!
У ÷ è ò å ë ü. Прости, Асенька, это я увлёкся. Мы же договорились –– никаких птичек и прочего хулиганства. Но всё-таки –– можно
ли бросить камень так, чтобы он пролетел уровень 30 м через 6 с,
причём первым пролётом, снизу вверх? Или это в принципе невозможно?
В à í ÿ. Невозможно. Это следует из наших формул. Для каждого заданного времени можно найти необходимую начальную скорость, но иногда это будет первый пролёт, а иногда –– второй, от нашего желания это не зависит.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо. Тогда возникает вопрос –– при каких же t
пролёт будет первым, а при каких вторым?

Занятие . Камень, брошенный вверх



Л ¼ â à. Я думаю, при больших t всегда будет получаться второй
пролёт. Большого времени полёта нельзя добиться с помощью маленькой начальной скорости, камень просто не поднимется до нужной высоты. Такое время можно получить, только подбросив камень
с очень большой скоростью, чтобы он долго поднимался и потом
ещё долго падал до нужного уровня. А маленькие t, соответственно,
можно получить только первым пролётом. Бросим камень, опять-таки, с огромной начальной скоростью –– он очень быстро поднимется
до нужной высоты.
В à í ÿ. Да, мне тоже так кажется.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо, ваша гипотеза понятна. Давайте только заметим, что пока это всего лишь правдоподобная гипотеза, которую
ещё нужно строго доказать. А чтобы это сделать, её нужно чётко
сформулировать. Большое время, маленькое –– слишком неопределённые понятия. Давайте скажем так: если требуемое время превосходит некоторую величину (обозначим её T), то реализовать его
можно только вторым пролётом. А если оно меньше этой величины,
пролёт будет обязательно первым. Можно так сформулировать вашу
гипотезу?
Л ¼ â à, В à í ÿ. Да, вполне.
У ÷ è ò å ë ü. Тогда –– два вопроса. Первый: как это строго показать? Второй: а чему же равно T?
В à í ÿ. Кажется, я понимаю, как ответить на эти вопросы. Причём на оба сразу. Давайте представим себе, что мы подбрасываем
камни много раз, постепенно увеличивая начальную скорость. Нарисуем графики –– как координата каждого камня (по вертикальной
оси, обозначим её через x) будет зависеть от времени.
А ñ ÿ. То есть x –– это высота камня над землёй в момент времени t? Тогда каждый график x(t) будет параболой с ветвями, обращёнными вниз.
В à í ÿ. Да, это очевидно из формулы для перемещения камня.
Проведём также пунктиром горизонтальную прямую, соответствующую нужной нам высоте h. Теперь смотрите. Если подбросить камень с очень маленькой начальной скоростью, он поднимется совсем невысоко и быстро упадёт на землю. До нашей высоты h он
не достанет. Такому полёту соответствует график . Что изменится,
если мы немного увеличим начальную скорость? Максимальная высота подъёма возрастёт, но по-прежнему будет меньше h (график ).
Сделаем тогда начальную скорость ещё больше. Максимальная вы-



Занятие . Камень, брошенный вверх

Рис. . Графики, нарисованные Ваней

сота ещё увеличится. Ясно, что при некоторой скорости наш график
коснётся пунктирной прямой –– максимальная высота подъёма камня станет равна h (график ). Обозначим через t0 момент времени,
когда он достигает этой высоты.
А теперь –– самое интересное. Что произойдёт с нашей картинкой, если ещё увеличить начальную скорость камня?
Л ¼ â à. Понятно что –– максимум параболы превысит уровень h,
и у графика возникнут две точки пересечения с пунктирной прямой. Это и есть два пролёта камня через нашу высоту. Причём у одного из них, очевидно, абсцисса t будет меньше t0 , а у другого ––
больше (график ).
У ÷ è ò å ë ü. Ну, я бы сказал –– почти очевидно. Почему точки пересечения расположатся именно так, а не иначе –– неплохо бы строго обосновать. Давайте вы дома попробуете это сделать. Но картинка Вани, во всяком случае, выглядит очень убедительно.
А ñ ÿ. Ага, и из неё сразу видно, что произойдёт, если мы будем
дальше увеличивать начальную скорость камня. Точка первого пересечения будет смещаться влево, а второго вправо, потому что время первого пролёта при этом уменьшается, а второго –– возрастает
(график ).
В à í ÿ. И это означает, что весь промежуток от 0 до t0 «заполнен» моментами первых пролётов камней, брошенных с разными
начальными скоростями. А моменты вторых пролётов заполняют
луч от t0 до бесконечности. Значит, если мы закажем время подъёма камня, меньшее чем t0 , то обязательно получим первый пролёт,

Занятие . Камень, брошенный вверх



а если большее, то второй. Наша гипотеза подтвердилась. А t0 –– это
и есть пограничное время T.
Л ¼ â à. Круто. Ваня, ты гигант!
У ÷ è ò å ë ü. А чему же всё-таки равно t0 ? От чего оно зависит?
А ñ ÿ. Ну, это ведь время подъёма до верхней точки, оно равно
v0 /g –– нам Ваня это уже объяснял. Зависит... от начальной скорости
камня, больше ни от чего.
Л ¼ â à. Но начальная скорость-то здесь не любая стоит, а та, при
которой максимальная высота равна h! Её можно выразить через h,
мы такую задачу на уроке решали. Подставим время подъёма до
верхней точки v0 /g в уравнение для высоты и получим
gt 2

v02

h = v0 t − 2 = 2g .
Отсюда v0 =

p

2gh, а наше замечательное время
Ç
t0 =

v0
=
g

2h
.
g

И зависит оно от p
заданной нами высоты. Для нашей задачи (h = 30 м)
получается t0 = 6 ≈ 2,45 с. Первый пролёт -метровой высоты
можно получить, только если потребовать, время меньшее чем эти
2,45 с.
А ñ ÿ. А в задаче было 3 секунды и 6 секунд! Вот у нас и получились вторые пролёты, всё правильно.
У ÷ è ò å ë ü. Ну, очень хорошо. Вот теперь, по-моему, всё действительно стало понятно. И обратите внимание –– разобраться в происходящем нам позволила идея Вани, который предложил не ограничиваться изучением движения одного камня при одной какой-то начальной скорости, а посмотреть, как изменяются характеристики
полёта, если начальную скорость плавно увеличивать. Такой подход
в физике почти всегда оказывается очень полезным. Ответ в задаче
со статически заданными условиями получить, конечно, можно, но
он мало что даёт для понимания явления. Ну, потребовали мы, чтобы камень оказался на высоте 30 метров через 6 секунд, ну получили, что для этого его нужно бросить со скоростью 35 м/с, и что с того? Получив ответ, обязательно нужно посмотреть, как он зависит
от исходных данных, что происходит с характеристиками явления,
если эти данные «пошевелить». Это позволяет обнаружить иногда
очень интересные вещи, и изучаемое явление становится намного
понятнее.



Занятие . Камень, брошенный вверх

Л ¼ â à. Зд´
oрово –– равноускоренное движение оказалось совсем
не скучной темой!
А ñ ÿ. А ещё хорошо, что птичка не пострадала!

Занятие 

Всем известный закон,
или
О пользе парадоксов

Участвуют: Учитель, Ася, Ваня, Лёва.
У ÷ è ò å ë ü. Здравствуйте. Знаете, ребята, я тут вот что подумал.
Механику вы на уроках только начали проходить, правильно? Давайте тогда с этой наукой немного подождём –– займёмся лучше
тем, что вы раньше изучали. Вот, например, есть такой замечательный закон Архимеда. Помнит его кто-нибудь?
А ñ ÿ. Да, конечно! Мы это ещё в седьмом классе проходили. На тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила,
равная весу вытесненной телом жидкости или газа. Правильно?
У ÷ è ò å ë ü. Да, формулировка совершенно верная. Попробуем
разобраться, что она означает и как этот закон работает. Например,
такой вопрос (очень, кстати, известный): в ведре с водой плавает
кусок льда. Что произойдёт с уровнем воды, когда лёд растает –– он
поднимется, опустится или останется прежним?

Рис. . Лёд в ведре с водой



Занятие . Всем известный закон

Л ¼ â à. Ну, совсем простой вопрос. Я ещё в прошлом году про
него в какой-то книге читал. Уровень не изменится. Смотрите, когда лёд плавает, он вытесняет некоторое количество воды. В воде
как бы «яма» образуется. Причём масса воды, вытесненной из ямы,
равна массе льда –– он ведь плавает, значит, сила Архимеда уравновешивает действующую на него силу тяжести. После плавления образуется вода такой же массы, как лёд, поэтому «яму» она заполнит
ровно –– без недостатка или избытка. А уровень, соответственно, не
изменится.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо. Теперь усложним задачу. Допустим, в лёд
оказалась вморожена свинцовая дробинка. Не слишком большая ––
кусок по-прежнему плавает, а не тонет. Вопрос тот же: как изменится уровень, когда лёд растает?
А ñ ÿ. А с дробинкой при этом что происходит? Куда она девается?
У ÷ è ò å ë ü. Просто опускается на дно ведра. Она ведь тяжелее
воды.
Л ¼ â à. Так, этот вопрос тоже в книжке был, я с ним разбирался.
Только... какой же там ответ получался-то? Слушайте, не помню.
Забыл.
А ñ ÿ. Эх ты, «не помню»! А подумать? Голова-то, она же не только
для запоминания. Давайте посмотрим. Допустим, масса льда в куске
равна m, а дробинки –– m1 . Тогда масса вытесненной из «ямы» воды
должна быть m + m1 –– кусок ведь плавает.
В à í ÿ. Ага, всю яму тогда удобно на две части разделить –– из
первой части вытеснена вода массы m, из второй m1 . Смотрите, первая часть после таяния льда будет полностью заполнена –– лёд ведь
массу m имеет, получившаяся из него вода как раз в этой части ямы
и разместится. А вторая часть...
А ñ ÿ. Она останется незаполненной! Воды-то больше нет.
В à í ÿ. Не совсем так. Ещё ведь есть дробинка. Когда лёд растает,
она опустится на дно и будет вытеснять объём воды, равный своему
объёму. Но этот объём... он, конечно же, меньше объёма второй
части ямы!
А ñ ÿ. Почему?
В à í ÿ. Потому что дробинка и вода, занимавшая эту часть, имеют одинаковые массы –– m1 . А плотность свинца, из которого дробинка сделана, намного больше плотности воды. Значит, объём дробинки V ′ меньше V1 –– того объёма, который осталось заполнить.
Погрузившись в воду, она вытеснит в яму объём V ′ , но V1 − V ′ так

Занятие . Всем известный закон



и останется незаполненным. Наполнять оставшуюся «ямку» придётся воде из остальной части ведра, значит, уровень понизится.

Рис. . Лёд с дробинкой в ведре с водой

У ÷ è ò å ë ü. Надо же, как вы бодро разобрались. Молодцы! А теперь посмотрите, как можно совсем по-другому решать эти задачи.
Представим себе, что наше ведро с водой и плавающим в ней
куском льда стоит на весах –– мы его взвесить решили. Сделаем для
упрощения рассуждений два предположения. Будем считать, вопервых, что само ведро лёгкое (его масса мала по сравнению с массой содержимого). Во-вторых –– что оно цилиндрическое (его боковые стенки вертикальны).
Л ¼ â à. А зачем нужны такие предположения?
У ÷ è ò å ë ü. Сейчас увидите. Так вот, ведро стоит на весах. Вопрос: изменятся ли показания весов, когда лёд растает?
Л ¼ â à. Конечно, не изменятся. Весы всегда показывают массу того, что на них поставлено. При плавлении льда вещество перейдёт
в другое состояние, но суммарная масса, находящаяся в ведре, от
этого не изменится.
У ÷ è ò å ë ü. Ага, это с одной стороны. С другой стороны –– ни одни реальные весы ведь никогда не измеряют непосредственно массу
тела.
Л ¼ â à. Как? А что же они тогда измеряют?
У ÷ è ò å ë ü. Вес, то есть силу, с которой взвешиваемый груз давит на их чашку. Именно эта сила приводит в действие механизм



Занятие . Всем известный закон

весов (например, сжимает калиброванную пружину). В результате
на шкале мы и видим её величину, только пересчитанную в единицы массы. Как если бы это была сила тяжести mg, а весы нам сразу показывали массу m. Поэтому их очень легко обмануть, надавив
пальцем на чашку –– они при этом ведь тоже какую-то «массу» покажут. Весы, измеряющие непосредственно массу (инертную массу),
сделать в принципе можно, но очень непросто. Обычные бытовые
весы никогда такими не делают.
Л ¼ â à. Ну, хорошо, а к чему вы это?

Рис. . Сила давления воды на чашку весов

У ÷ è ò å ë ü. Вот к чему. В нашем случае на чашку весов непосредственно давит ведро. Но если оно лёгкое, то давить оно всегда
будет с силой, равной силе давления воды на его дно. Эта сила равна
произведению давления воды p на площадь дна S. Допустим, высота
уровня воды равна h. Какое тогда давление у дна ведра?
А ñ ÿ. Это гидростатическое давление
p = p0 + ρgh,
где p0 –– атмосферное давление, ρ –– плотность воды.
У ÷ è ò å ë ü. Ну, атмосферное давление мы учитывать не будем ––
оно ведь одинаково действует на чашку и сверху, и снизу. Неуравновешенным остаётся только слагаемое ρgh. Тогда сила давления
на чашку
F = pS = ρghS.
А ñ ÿ. Я поняла! Поскольку при таянии льда показания весов не
меняются, сила F тоже не может измениться. Так как ρ, g и S те

Занятие . Всем известный закон



же самые, значит, и высота h должна остаться прежней. Уровень воды при плавлении льда не меняется –– как из Лёвиного рассуждения
и получалось!
Л ¼ â à. Здорово!
В à í ÿ. Так, а вы чему радуетесь-то?
А ñ ÿ. Ну как же, разные способы решения дают одинаковый ответ, это всегда приятно!
В à í ÿ. А вы не заметили, что рассуждение учителя даёт этот ответ (неизменность уровня) и для чистого льда, и для льда с дробинкой? Для него ведь безразлично, что именно находится в ведре.
Есть во льду дробинка или нет –– масса при плавлении всё равно не
изменится. Поэтому не может измениться давление воды, а значит,
и высота h. Но наши-то рассуждения давали этот ответ только для
чистого льда, в случае с дробинкой уровень понизиться должен!
А ñ ÿ. Ой! Действительно, не сходится. Как же так?
У ÷ è ò å ë ü. Ну, если возникла такая проблема, нужно вернуться
к рассуждению и внимательно посмотреть –– не изменится ли оно
на каком-то этапе, если учесть дробинку.
А ñ ÿ. Так, давайте посмотрим. Сначала мы заметили, что масса ведра с его содержимым при плавлении льда не меняется. Помоему, это и в случае с дробинкой так же будет. Она ведь не выскакивает из ведра, в нём же и остаётся. Значит, показания весов не
изменятся и в этом случае.
Затем мы сказали –– да, но весы-то реально чувствуют только силу давления воды на дно...
В à í ÿ. Ага! Вот оно!
А ñ ÿ. Что? Что ты заметил?
В à í ÿ. Последнее замечание ––
оно верно, только если в ведре вода
и (может быть) что-то в ней плавающее. А если это «что-то» опускается
на дно (как дробинка после таяния
льда), то возникает дополнительная
сила давления. Смотрите, дробинка
ведь тяжелее воды –– сила Архимеда,
Рис. . Силы, действующие на чашдействующая на неё, не может скомку весов при наличии дробинки
пенсировать силу тяжести. Поэтому,
опустившись на дно, она обязательно будет давить на него с силой
∆F, равной разности этих сил. В результате на дно будет действо-



Занятие . Всем известный закон

вать сумма сил давления воды и веса дробинки ∆F:
F = ρgh1 S + ∆F,
где h1 –– это новая высота уровня.
А ñ ÿ. Всё ясно! Чтобы показания весов не изменились, эта сумма
должна быть равна начальной силе давления:
ρghS = ρgh1 S + ∆F.
А отсюда сразу следует, что h1 < h. Часть силы давления заменяется
весом дробинки –– вот уровень и опускается. Смотрите, и здесь сошлось!
Л ¼ â à. Ну, вроде всё ясно. Я только одну вещь так и не понял.
А ñ ÿ. Какую?
Л ¼ â à. Зачем мы предполагали, что ведро
цилиндрическое, с вертикальными стенками?
Это где-то использовалось в рассуждении?
У ÷ è ò å ë ü. Использовалось, да. Попробуй
сам найти это место, Лёва. И заодно уж тогда
разберись –– как изменятся наши рассуждения,
если стенки ведра наклонные. Ответы-то, видимо, те же самые должны получаться. Или нет?
А сейчас я хочу вам ещё одну задачу предложить. Несложную, но очень важную для пони- Рис. . Ведро с пробкой
мания закона Архимеда. Представим себе, что
в днище ведра сделали отверстие и заткнули его цилиндрической
пробкой. Пробка очень лёгкая и держится в отверстии на слабеньком трении. К ведру подходят мальчик Вася и девочка Маша...
А ñ ÿ. Знакомая парочка! Вы их на уроках иногда используете,
чтобы вопрос задать. Сейчас Вася расскажет одно физическое рассуждение, Маша –– прямо противоположное, но тоже очень логичное. А мы должны будем сказать, кто же из них прав и почему не
прав другой. Но ответ легко угадать –– у вас всегда Маша права оказывается.
У ÷ è ò å ë ü. Правда? Непорядок, надо будет их в случайном порядке чередовать. Так вот, Маша и Вася подходят к ведру. Они собираются налить в него воду и хотят понять –– что при этом произойдёт с пробкой? Вася говорит: после наливания окажется, что
верхняя часть пробки (находящаяся внутри ведра) вытесняет некоторое количество воды. Значит, по закону Архимеда на неё должна

Занятие . Всем известный закон



действовать выталкивающая сила. Поэтому пробка начнёт двигаться вверх –– внутрь ведра. Маша не согласна: на пробку, говорит она,
сверху будет действовать давление воды p0 + ρgh, а снизу только атмосферное давление p0 . Давление сверху больше, чем снизу, –– значит, пробка вылетит из ведра вниз. Кто из них прав?
Л ¼ â à. Закон Архимеда –– закон природы. Странно, конечно, что
пробка внутрь ведра втягивается, но если по закону получается, значит, так и есть. Я –– за Васю! Тем более, его очередь оказаться правым.
А ñ ÿ. А в чём же тогда, по-твоему, ошибка рассуждения Маши?
Л ¼ â à. Ну, не знаю. Но если оно противоречит закону Архимеда –– ошибка точно есть!
В à í ÿ. А Васино рассуждение законам гидростатического давления противоречит, ты это заметил? Нельзя же один закон объявить
обязательным, а на другие глаза закрыть –– пусть нарушаются!
Л ¼ â à. Подождите, но если какое-то утверждение противоречит
заведомо верному закону –– значит, это утверждение ложное. По
правилам логики именно так.
В à í ÿ. А если обратное утверждение тоже приводит к противоречию с законом?
Л ¼ â à. Тогда вся наша наука никуда не годится –– её законы противоречат друг другу. И ничего разумного тогда про эту пробку сказать нельзя.
А ñ ÿ. Ага, и как же ты это себе представляешь? Пробка что, разведёт руками (или чем там она может развести) и скажет –– ну, не
знаю я, куда мне двигаться. Вверх, вниз или на месте оставаться ––
законы природы не позволяют это определить, потому что друг другу противоречат. Что за чушь! Ясно же, что что-то с этой пробкой
произойдёт, не может она сказать нам «не знаю» и исчезнуть! Значит, надо разобраться и понять, что же на самом деле будет и как
это со всеми законами согласуется.
У ÷ è ò å ë ü. Совершенно правильное замечание, Ася. И очень
образное, да. Когда в науке обнаруживается противоречие –– это
верный признак того, что мы чего-то не понимаем в устройстве природы. В такой ситуации не отбрасывать науку надо по формальнологическим причинам, а развивать содержательное понимание.
Когда в начале XX века выяснилось, что классическая электродинамика ну просто драматически противоречит классической механике (скорость электромагнитной волны оказалась не зависящей
от системы отсчёта), то выход из этой коллизии был найден фи-



Занятие . Всем известный закон

зиками в совершенно новом, неклассическом понимании свойств
пространства и времени. Теория относительности из этого противоречия возникла.
В нашем случае мы вряд ли можем рассчитывать на столь фундаментальные открытия, но лучше понять гидростатику вполне реально. Кстати, а вы вообще представляете, как возникает сила Архимеда и почему её величина равна весу вытесненной жидкости?
Закон-то Архимеда откуда берётся?
Л ¼ â à. Ну, в седьмом классе что-то рассказывали про кубик, погружённый в воду. Я не вникал –– это ведь только частный случай,
общий закон из него всё равно не следует.

Рис. . Доказательство закона Архимеда

У ÷ è ò å ë ü. А ты, значит, только самые общие доказательства
признаёшь? Ну, хорошо. В общем случае закон Архимеда получается
вот как. Допустим, в жидкость погружено тело совершенно произвольной формы. Как представить себе силы, с которыми она на него
давит? Поверхность тела, вообще говоря, кривая (неплоская). Разобьём её мысленно на участки –– настолько маленькие, что каждый
из них можно считать плоским. Сила давления на каждый участок
равна произведению его площади на давление жидкости в данной
точке. А направлена эта элементарная сила перпендикулярно плоскости участка. Теперь вопрос: какова же равнодействующая F этих
элементарных сил, то есть полная сила давления жидкости на тело?
Л ¼ â à. А она случайно не нулю равна? Смотрите, сверху силы
давления на тело вниз действуют, а снизу –– вверх. В сумме, наверное, ноль и получится.
У ÷ è ò å ë ü. Это совершенно неочевидно! Давление-то снизу больше, чем сверху, –– нижняя поверхность тела находится на большей
глубине. А чем глубже, тем больше гидростатическое давление ρgh.

Занятие . Всем известный закон



Л ¼ â à. Ну, тогда я не знаю. Чтобы эти элементарные силы сложить –– какая-то сложная математика нужна, явно. Они ведь все разные и направлены в разные стороны.
У ÷ è ò å ë ü. Да, эту задачу можно решить математически. И даже
математика тут понадобится не очень сложная, просто вы её ещё
не изучали. А можно получить ответ красивым физическим рассуждением, которое называется –– «зальём водой». Предположим, мы
вытащили наш предмет и заполнили освободившееся пространство
той же самой жидкостью. Какие силы будут действовать на получившееся «жидкое тело»?
А ñ ÿ. Сила F! Окружающая жидкость будет давить на него точно
так же, как раньше давила на наш предмет.
Л ¼ â à. А почему –– точно так же? Раньше она давила на твёрдое
тело, а теперь –– на кусок той же жидкости.
А ñ ÿ. Ну и что? Какая жидкости разница, на что давить? Форма
этого куска такая же, как у тела, давление окружающей жидкости
ни в одной точке не изменилось. Значит, все элементарные силы
давления будут такими же. Их равнодействующая F –– тоже.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо, а ещё какие силы будут действовать на этот
кусок жидкости?
А ñ ÿ. Сила тяжести Mg (M –– его масса). И... всё. Больше никаких
сил не будет.
У ÷ è ò å ë ü. Теперь осталось только заметить, что, сделав эту замену, мы получили сплошную однородную жидкость. Она, очевидно, находится в равновесии –– сумма сил, действующих на любую её
мысленно выделенную часть, равна нулю. Значит, для нашего куска
равнодействующая сил давления F должна уравновешивать его силу
тяжести Mg. Отсюда следует, что направлена эта сила вертикально
вверх, а величина её равна весу вытесняемой исходным телом жидкости. Всё, закон Архимеда получен.
Л ¼ â à. Как?! Так эта F и есть сила Архимеда?
У ÷ è ò å ë ü. Да, именно так её называют. Архимедова сила –– это
равнодействующая сил давления окружающей тело жидкости. И возникает она, как показывает наше рассуждение, просто из разности
гидростатических давлений сверху и снизу. Нижняя граница тела находится на большей глубине, чем верхняя, давление на неё больше ––
в результате суммарная сила F и оказывается направленной вверх.
Эту физику, кстати, прекрасно демонстрирует рассуждение с кубиком, которое вам рассказывали в седьмом классе. Зря ты, Лёва,



Занятие . Всем известный закон

в него тогда «не вникал». Частный случай –– да, но в физике не принято пренебрегать рассмотрением частных случаев. Общий случай
может оказаться (и, как правило, оказывается) настолько сложным,
что к нему вообще непонятно как подступиться. А изучение частной
ситуации может показать нам суть явления, тогда и с общим случаем будет понятно что делать.
В à í ÿ. Да, если бы мы про этот кубик вспомнили, всё сразу стало
бы ясно.
А ñ ÿ. Ты о парадоксе с пробкой?
В à í ÿ. Ну да. Теперь совершенно понятно, в чём ошибка Васиного рассуждения. Не работает тут закон Архимеда. Воду-то верхняя
часть пробки, конечно, вытесняет. И если бы вода под неё затекала –– было бы гидростатическое давление снизу, большее, чем сверху. Равнодействующая сил давления тогда бы действительно выталкивала пробку вверх. Но воды-то снизу нет! Пробка через отверстие
выходит наружу, и там на неё только атмосферное давление действует. А сверху –– атмосферное плюс какое-то ρgh. Откуда же тогда
сила Архимеда? Маша права, пробка вниз выскочит.
Л ¼ â à. Подожди, ты хочешь сказать, что если взять, например,
деревянный брусок и очень плотно прижать ко дну ведра с водой
(выдавив из зазора всю воду), то этот брусок не всплывёт? Что-то
не верится мне в это.
У ÷ è ò å ë ü. И тем не менее, Лёва, это именно так. Факт кажется
неправдоподобным, но только потому, что с деревянным бруском
и водой такой опыт почти невозможно проделать. Воду не удастся
полностью выдавить из зазора –– она смачивает дерево и дно обычного ведра. Капиллярные силы обязательно «затянут» её под брусок,
даже если зазор будет совсем крошечный.
Но можно взять ртуть, этот жидкий металл почти никакой материал не смачивает. При этом у него очень большая плотность,
в 14 раз больше, чем у воды. Плотность стекла, например, намного
меньше –– оно в ртути плавает, как дерево в воде. Однако если стеклянную пластинку положить на дно стеклянного сосуда, а потом налить туда ртуть –– пластинка останется на дне. Ртуть не смачивает
стекло, поэтому в тонкую щель между пластинкой и дном она проникнуть не сможет. Сверху гидростатическое давление возникнет,
а снизу –– нет. В результате ртуть не выталкивать пластинку будет,
а наоборот, прижимать её ко дну сосуда.
Л ¼ â à. Да... Никогда не думал, что такое может быть.

Занятие . Всем известный закон



А ñ ÿ. Вот! Видишь –– с парадоксами-то разбираться надо, а не отмахиваться от них. Тогда что-то новое понять можно.
Кстати, учитель –– а у вас ведь снова Маша права оказалась!
У ÷ è ò å ë ü. Да? Действительно... Ну, что ж я могу поделать ––
она, наверное, очень умная. Ладно, в следующий раз уж точно Вася
прав будет.

Занятие 

Встречный теплообменник,
или
Проблемы горячего водоснабжения
Участвуют: Учитель, Ася, Ваня, Лёва.
У ÷ è ò å ë ü. Здравствуйте, граждане.
Л ¼ â à. Ну что, сегодня мы снова чем-то из седьмого класса займёмся?
У ÷ è ò å ë ü. Нет, на этот раз –– из восьмого. Помните ли вы, что
такое удельная теплоёмкость?
В à í ÿ. Да, конечно. Это количество тепла, которое нужно передать единице массы вещества, чтобы нагреть его на один градус.
У ÷ è ò å ë ü. Ага, а если тело массы m, состоящее из вещества
с удельной теплоёмкостью c, нагревается на ∆t градусов, сколько
оно при этом получает тепловой энергии?
А ñ ÿ. Ну, это легко найти. Количество полученного тепла
Q = cm∆t.
В à í ÿ. А если тело остывает на ∆t градусов, оно ровно столько
же теплоты отдаёт другим телам. Это всё мы действительно в восьмом классе проходили.
У ÷ è ò å ë ü. Очень хорошо. Давайте тогда обсудим одну технологическую проблему (совершенно, кстати, реальную). Предположим, в наш дом по системе отопления поступает постоянный поток
горячей воды. Мы хотим с её помощью нагревать холодную воду,
текущую по водопроводу, –– чтобы иметь в доме горячую воду для
душа, мытья посуды и тому подобных вещей.
Л ¼ â à. А зачем так сложно? Можно ведь эту отопительную воду
прямо подвести к «горячему» крану умывальника.
У ÷ è ò å ë ü. Это далеко не всегда возможно. В системе отопления, как правило, циркулирует техническая вода –– она довольно
грязная. Кроме того, в неё ещё специальные химикаты добавляют.

Занятие . Встречный теплообменник



Использовать эту воду для умывания, а тем более для питья нельзя.
Она может быть только теплоносителем, передающим тепловую
энергию чистой водопроводной воде. Причём устройство, в котором это происходит, должно быть проточным –– два потока воды
должны в него непрерывно втекать, обмениваться теплом и вытекать. Как сделать такой теплообменник?
Л ¼ â à. Ну, в чём проблема-то? Положим рядом две металлические трубы, плотно прижмём их друг к другу. По одной пустим горячую техническую воду, по другой –– холодную водопроводную. Теплопроводность у металлических стенок очень высокая. Протекая по
трубам, горячая вода будет отдавать тепло, а холодная –– его получать. На выходе мы получим остывшую техническую воду и нагретую водопроводную.

Рис. . Теплообменник

В à í ÿ. Знаешь, а можно лучше сделать. В твоём устройстве труба с горячей водой ещё и воздух окружающий нагревает. Тепло при
этом теряется без всякой пользы. Чтобы этого не было, одну трубу нужно пропустить внутри другой, то есть сделать такую трубу
с двойными стенками. По внутренней трубке пусть течёт горячая
вода, а между стенками –– холодная. Тогда всё тепло, отдаваемое горячей водой, будет доставаться холодной –– ему просто деться больше некуда.
А ñ ÿ. Здорово! И никаких теплопотерь!
У ÷ è ò å ë ü. Ну, снаружи эту двойную трубу всё же придётся
закрыть теплоизолирующим материалом. Холодная вода ведь нагревается, ближе к концу теплообменника её температура может
превысить температуру окружающего воздуха и тепло начнёт передаваться от трубы к воздуху. Но вообще идея очень хорошая.
Примерно так и устроены реальные теплообменники. Только вместо одной внутренней трубки в них обычно делают несколько ––
чтобы увеличить площадь стенок, через которые передаётся тепло.
Устройство тогда работает более эффективно. Но это уже техни-



Занятие . Встречный теплообменник

ческие детали, дело не в них. Интересно было бы понять вот что.
Допустим, на вход нашего теплообменника поступает горячая вода
температурой 80 ◦ C в количестве 1 литр в секунду. И холодная вода
температурой 20 ◦ C, её расход –– 2 литра в секунду. Какие температуры имеют та и другая на выходе из устройства?
Л ¼ â à. Потери тепла можно считать пренебрежимо малыми?
У ÷ è ò å ë ü. Да, мы сделали хорошую теплоизоляцию.
Л ¼ â à. Тогда... слушайте, на этот вопрос так запросто не ответишь. Температуры на выходе зависят от того, сколько тепла горячая вода успела передать холодной, пока они протекали через теплообменник. Нужно знать длину трубы, толщину стенок, теплопроводность их материала, а может, и ещё что-то –– с ходу не сообразишь.
Если эти величины известны –– наверное, можно рассчитать количество переданного тепла и конечные температуры. Вы хотите, чтобы
мы это проделали?
У ÷ è ò å ë ü. Нет, подобный теплотехнический расчёт –– довольно
специальная задача, вряд ли нам стоит сейчас в неё углубляться.
Хотя инженер, конструирующий реальный теплообменник, именно
такие расчёты и должен проделать. Поставим вопрос по-другому.
Допустим, температура горячей воды на выходе известна –– мы её
измерили, она оказалась равной 60 ◦ C. Можно ли тогда вычислить
температуру, которую имеет на выходе холодная вода?
Л ¼ â à. Ну, в такой постановке это просто элементарная задача.
В наше устройство каждую секунду втекает 1 литр горячей воды при
температуре 80 ◦ C, а вытекает такое же количество, но при температуре 60 ◦ C. Масса 1 литра воды –– почти точно 1 кг. Значит, горячая
вода в секунду отдаёт холодной тепло
Q1 = c · 1 кг · (80◦ − 60◦ ).
Здесь c –– удельная теплоёмкость воды. Чему она равна –– можно и
вспомнить, но нам это не понадобится, по-моему. Холодной воды
поступает 2 литра (то есть 2 кг) в секунду, с температурой на входе
20 ◦ C. Если её температура на выходе равна t, то каждую секунду эта
вода получает тепло
Q2 = c · 2 кг · (t − 20◦ ).
Но если потери тепла отсутствуют, то Q1 должно быть равно Q2 ––
холодная вода получает ровно столько теплоты, сколько отдаёт го-

Занятие . Встречный теплообменник



рячая. Значит,
c · 1 кг · (80◦ − 60◦ ) = c · 2 кг · (t − 20◦ ).
Отсюда получаем, что
t = 30 ◦ C.
А ñ ÿ. И значение c не понадобилось, как Лёва и обещал!
В à í ÿ. Ну да, жидкость-то одна и та же –– и в холодной трубе,
и в горячей. Горячая вода в теплообменнике остывает на 20 ◦ C, а холодная, поскольку её расход вдвое больше, нагревается на вдвое
меньшую величину –– только на 10 ◦ C. Вот на выходе 30 ◦ C и получается.
У ÷ è ò å ë ü. Да, эту температуру можно получить простым рассуждением. А можно –– с помощью уравнений, как Лёва. Так или
иначе, на выходе мы имеем 60 ◦ C и 30 ◦ C. Интересно, а как изменятся эти температуры, если мы увеличим длину трубы, оставив
прежними все прочие параметры?
Л ¼ â à. Понятно как. Увеличив длину трубы, мы дадим протекающим потокам дополнительное время для теплообмена. Количество
переданного тепла возрастёт, значит, температура горячей воды на
выходе уменьшится, а холодной –– увеличится.
А ñ ÿ. Это можно вот как понять. Предположим, длина трубы увеличивается в два раза. Это значит, что к выходу нашего теплообменника мы приставляем ещё один точно такой же. В первом теплообменнике горячая вода, как и раньше, остывает до 60 ◦ C (нагревая
при этом холодную до 30 ◦ C). А второй тогда эти температуры имеет
на входе. Поскольку он тоже теплообменник, горячая вода в нём ещё
сильней остынет, а холодная –– нагреется.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо. А какие будут температуры на выходе, если
мы сделаем трубу теплообменника очень длинной?
Л ¼ â à. Что значит –– очень длинной? А, имеется в виду –– настолько длинной, что выходные температуры уже перестанут изменяться
при удлинении?
У ÷ è ò å ë ü. Ну да.
А ñ ÿ. А почему это они должны перестать изменяться?
Л ¼ â à. Потому что теплообмен будет происходить только до тех
пор, пока температура горячей воды больше, чем холодной. Если
длина трубы увеличивается, горячая вода всё сильнее остывает,
а холодная –– нагревается. Разность их температур при этом уменьшается, и теплообмен происходит всё медленнее. В пределе, для



Занятие . Встречный теплообменник

теплообменника очень большой длины, эта разность температур
будет стремиться к нулю.
А ñ ÿ. Понятно! Пока горячая вода на выходе хоть немножко теплее холодной, их температуры можно ещё сблизить, добавив кусок
трубы. Но если температуры практически сравнялись –– удлинять
трубу нет никакого смысла, потому что теплообмена уже не происходит. Значит, на выходе очень длинного теплообменника и та,
и другая вода будут иметь одну и ту же температуру t. А найти эту
предельную температуру можно из уравнения теплового баланса:
c · 1 кг · (80◦ − t) = c · 2 кг · (t − 20◦ ).

Слева –– тепло, которое отдаёт в секунду горячая вода, справа –– тепло, получаемое за то же время холодной водой. Отсюда находим
t = 40◦ C.
Вот! И до б´
oльшей температуры наш теплообменник холодную воду
не нагреет, каким бы длинным мы его ни сделали.
У ÷ è ò å ë ü. Так, понятно. Но вот последнее твоё замечание...
Нет, от нашего устройства действительно не стоит ждать большей
температуры. А вот реальная теплотехника умеет сделать теплообменник, в котором холодная вода на выходе имеет температуру
более высокую, чем горячая.
Л ¼ â à. Да? В нём, наверное, дополнительный источник тепла используется, какой-нибудь электрический подогреватель, так?
У ÷ è ò å ë ü. Нет-нет, холодная вода нагревается только за счёт
тепла, полученного от горячей.
Л ¼ â à. Подождите, но это же здравому смыслу противоречит! Горячее тело может отдавать тепло холодному только до тех пор, пока
имеет более высокую температуру. Как только температуры уравняются –– теплообмен прекратиться должен. В конце концов, есть
такой закон природы –– второе начало термодинамики, я читал про
него. Он запрещает нагревание горячего тела за счёт тепла, полученного от тела с меньшей температурой. И не только простой теплопроводностью такого нельзя добиться, но и любым, сколь угодно
хитрым способом. Вы хотите сказать, что можно сделать теплообменник, нарушающий фундаментальный закон природы?
У ÷ è ò å ë ü. Разумеется, нет. В устройстве, о котором я говорю,
тепло передаётся только от горячего тела к холодному. Но в результате холодная вода нагревается до температуры б´
oльшей, чем та, до
которой остывает горячая.

Занятие . Встречный теплообменник



Л ¼ â à. Фантастика какая-то! Невозможно такое сделать!

Рис. . Встречный теплообменник

В à í ÿ. Слушайте, кажется, я понимаю как этого добиться. Нужно в наше устройство потоки горячей и холодной воды подавать не
с одной стороны, а с противоположных концов –– чтобы они текли
навстречу друг другу. Тогда нагревающаяся вода будет в конце взаимодействовать не с остывшим теплоносителем, а с очень горячим,
только что вошедшим в теплообменник. А этот теплоноситель (горячая вода) на выходе будет встречаться с совсем холодной, ещё не
успевшей нагреться водой. Поэтому он сможет остывать хоть до её
(холодной воды) входной температуры. Тепло при этом будет передаваться в нужную сторону, даже если конечная температура горячей воды окажется ниже, чем конечная температура холодной, ––
они ведь на противоположных концах достигаются. В нашем случае
горячая вода может остывать, например, до 30 ◦ C –– при этом она всё
равно останется теплее, чем холодная вода на входе. Найдём тогда
температуру, до которой холодная вода нагревается. Уравнение теплового баланса
c · 1 кг · (80◦ − 30◦ ) = c · 2 кг · (t − 20◦ )
даёт
t = 45 ◦ C.
Это меньше, чем те 80 ◦ C, которые имеет на входе горячая вода. Значит, такая ситуация вполне возможна –– теплу нигде не приходится
переходить от холодного тела к горячему. А в результате горячая
вода остывает до 30 ◦ C, нагревая холодную до 45 ◦ C.
А ñ ÿ. Здорово!
Л ¼ â à. Вот это да! Никогда бы не подумал, что такое возможно.
У ÷ è ò å ë ü. Молодец, Ваня! В реальных устройствах используется именно такая идея. Они поэтому так и называются –– встречные
теплообменники.



Занятие . Встречный теплообменник

Теперь давайте вернёмся к вопросу о предельных температурах.
Если трубу такого теплообменника сделать очень длинной –– какие
температуры получатся на выходе?
Л ¼ â à. Ну, для теплообменника со встречными потоками это совсем простой вопрос. Даже вычислений никаких делать не нужно.
Ясно, что горячая вода теперь может остывать вплоть до 20 ◦ C –– начальной температуры холодной воды. А холодная вода имеет возможность нагреваться до 80 ◦ C –– температуры горячей воды на входе. Если трубу сделать очень длинной, то ровно эти температуры на
выходе мы и получим. Горячая и холодная вода как бы «обменяются» температурами.
У ÷ è ò å ë ü. Все согласны с Лёвой?
А ñ ÿ. Я согласна.
У ÷ è ò å ë ü. А ты, Ваня?
В à í ÿ. Сейчас... Что-то мне здесь не нравится... А, вот! Смотрите –– предположим, что Лёва прав. Тогда горячая вода в нашем
теплообменнике за секунду отдаёт тепло
Q1 = c · 1 кг · (80◦ − 20◦ ) = 60 · c Дж.
Численное значение этой величины в джоулях можно получить, если подставить c в Дж/(кг · град), но в этом нет необходимости. Найдём теперь, сколько тепла в секунду получает холодная вода. Если
Лёва прав, то это
Q2 = c · 2 кг · (80◦ − 20◦ ) = 120 · c Дж,
то есть вдвое больше, чем отдаёт горячая вода! Как же такое может
быть? Закон сохранения энергии-то в любом случае должен выполняться.
Л ¼ â à. Да-а... Проблема. Ну, а какими же, по-твоему, будут предельные температуры?
В à í ÿ. Нужно разобраться, как температуры на выходе изменяются при увеличении длины трубы. Допустим, конечная температура горячей воды равна t1 , а холодной t2 . Какими бы ни были эти
температуры, они связаны уравнением теплового баланса:
c · 1 кг · (80◦ − t1 ) = c · 2 кг · (t2 − 20◦ ).
Из этого уравнения видно, что горячая вода при любой длине теплообменника остывает вдвое сильнее, чем нагревается холодная, ––
так связаны изменения их температур из-за того, что расход холодной воды вдвое больше расхода горячей. Теперь смотрите –– по мере

Занятие . Встречный теплообменник



увеличения длины трубы t1 становится всё меньше, а t2 всё больше.
Максимально возможные отклонения этих температур от начальных значений одинаковы –– это 60 ◦ C (горячая вода в теплообменнике не может остыть ниже 20 ◦ C, холодная не может нагреться выше
80 ◦ C). Вопрос –– какая из них первой достигнет своего предельного
значения?
А ñ ÿ. Очевидно, t1 ! Когда горячая вода остынет на 60 ◦ C, холодная нагреется только на 30 ◦ C –– вдвое меньшую величину. Её температура будет 20 ◦ C + 30 ◦ C = 50 ◦ C, это ещё далеко не предельные
80 ◦ C!
В à í ÿ. Конечно. И дальнейшее увеличение длины трубы не изменит конечные температуры, поскольку горячая вода дальше остывать уже не может. Значит, в очень длинном встречном теплообменнике горячая вода будет остывать до 20 ◦ C, а холодная –– нагреваться
до 50 ◦ C. А 80 ◦ C мы не получим, увы.
А ñ ÿ. Надо же! А ведь совсем очевидным казалось, что можно
получить.
Л ¼ â à. Подождите, но это же чушь какая-то! По-вашему, из очень
длинного теплообменника будет вытекать холодная вода температурой 50 ◦ C, и никаким способом нельзя заставить её нагреться ещё,
хотя рядом с ней течёт горячая вода температурой 80 ◦ C? Как такое
может быть?! Тепло-то явно может ещё передаваться от горячей воды к холодной! Почему же она не будет дальше нагреваться?
В à í ÿ. Потому что для её нагревания выше 50 ◦ C горячая вода
должна (на выходе из теплообменника) остыть ниже 20 ◦ C, а это
невозможно. Либо нарушится закон сохранения энергии.
Л ¼ â à. Нет, ты не отвечаешь на мой вопрос. Закон законом, но
тепло-то почему дальше не будет передаваться? Давайте вспомним
Асино рассуждение. Если мы приставим к теплообменнику дополнительную трубу (увеличим его длину), то она будет с одного конца
получать -градусную холодную воду, а с другого –– -градусную
горячую. Ясно же, что холодная вода в этой трубе дополнительно
нагреется.
В à í ÿ. Гм... А ведь правда нагреется. Но тогда теплообменник
будет нарушать закон сохранения энергии. Как же так?
А ñ ÿ. А я поняла, поняла! Моё рассуждение для встречного теплообменника не работает! Дело в том, что...
У ÷ è ò å ë ü. Очень хорошо, Асенька. Я уверен –– ты всё поняла
правильно. Но мне бы хотелось, чтобы другие тоже подумали и разо-



Занятие . Встречный теплообменник

брались в этой проблеме. Давайте это будет вашим домашним заданием.
Л ¼ â à. Ладно, подумаем. Надо же –– как всё хитро с этой горячей водой. Всегда открывал кран и пользовался, а тут, оказывается...
проблемы физические.

Занятие 

Баржа и два буксира,
или
Не судите о блондинках опрометчиво

Участвуют: Учитель, Ася, Ваня, Лёва, Маша.
У ÷ è ò å ë ü. Здравствуйте, граждане. О, у нас сегодня новая участница. Как тебя зовут?
М à ø à. Маша. Только я не то чтобы участница... Вряд ли от меня польза будет на вашем факультативе. У меня по физике одни
тройки. Не понимаю я в ней ничего –– глупая, наверное. Мне уже
все предлагают в блондинку перекраситься, чтобы соответствовать.
Можно я просто посижу и послушаю?
У ÷ è ò å ë ü. Конечно, конечно. Если что-то будет непонятно ––
спрашивай. Кстати, я не думаю, что цвет волос как-то связан с пониманием науки, да и вообще с умом человека. Стереотипы это всё.

Рис. . Задача про баржу

Ну ладно, давайте ближе к делу. Сегодня мы попробуем разобраться в более сложной задаче, чем в прошлый раз. Представьте
себе баржу, плывущую по морю. Её тащат два буксира, связанные



Занятие . Баржа и два буксира

с баржей нерастяжимыми канатами. В некоторый момент угол между канатами равен α, скорости буксиров равны v и направлены
вдоль канатов. Чему равна в этот момент скорость баржи?
Л ¼ â à. Так, и что же здесь особо сложного? А, ну да, сложение векторов... Мы
это уже проходили. Чтобы найти скорость
баржи, нужно сложить скорости буксиров –– как векторы, разумеется. Построим параллелограмм на этих векторах, его
диагональ и будет искомой скоростью.
У ÷ è ò å ë ü. Допустим. А как найти её
величину?
Л ¼ â à. Легко. Этот параллелограмм в
нашем случае, очевидно, будет ромбом,
а его диагональ –– биссектрисой угла α. Рис. . Первое решение Лёвы
С векторами v она образует углы α/2. Поскольку диагонали ромба друг другу перпендикулярны, половинка
нужного нам отрезка равна v cos(α/2). А вся скорость баржи будет
α

u = 2v cos 2 .
У ÷ è ò å ë ü. Да, Лёва, с геометрией у тебя всё в порядке.
В à í ÿ. А вот со здравым смыслом –– не очень.
Л ¼ â à. Что? Почему?
В à í ÿ. Ты правда считаешь, что скорость баржи будет суммой
скоростей буксиров?
Л ¼ â à. Векторной суммой, да. Если один буксир сообщает барже
одну какую-то скорость, а другой ещё какую-то, то когда они вместе
потянут –– скорости сложатся. Это же очевидно!
А ñ ÿ. Ну, Лёва, помнишь, ты меня в третьем классе на санках катал? Если ты бежал со скоростью v, то и санки двигались с такой же
скоростью. И что, если бы ты был не один, а вас было двое, и второй
Лев бежал бы рядом с тобой тоже со скоростью v, то у моих санок
скорость была бы 2v? Что за чушь!
М à ø à. Два льва катают Асю на санках. Они бегут, стараются,
а санки их обгоняют и уезжают вперёд. Здорово!
Л ¼ â à. Подождите, но ведь два человека действительно будут тянуть санки вдвое сильнее, чем один. Как же так?
У ÷ è ò å ë ü. Понимаешь, Лёва, они действительно будут тянуть
сильнее, то есть сила, приложенная к санкам, возрастёт (если пер-

Занятие . Баржа и два буксира



вый будет тянуть с прежней силой). В таком случае скорость санок
и правда будет больше. Но тогда и запряжённым в них гражданам
придётся бежать быстрее! А если каждый из них бежит со скоростью v, то, сколько бы их ни было –– один, двое, пятеро, –– санки будут двигаться ровно с такой же скоростью. Просто те, кто тянут,
смогут меньше напрягаться (меньшую силу прикладывать).
Это очень важный момент. Силы, приложенные к одному телу,
действительно всегда складываются (как векторы). А вот скорости –– нет. По крайней мере, в нашем случае.
М à ø à. Это даже я понимаю.
Л ¼ â à. Хорошо, убедили. Но как же всё-таки скорость баржи найти? Так, направлена она будет по биссектрисе угла между канатами,
это уж точно... Ага, значит, нашу задачу можно заменить другой.
Насадим баржу на длинную прямую спицу –– она будет задавать направление её движения. А буксир (один!) пусть тянет её со скоростью v под углом α/2 к спице. Тогда баржа будет скользить по спице
с такой же скоростью, как в нашей задаче. Если мы добавим второй
буксир, то, как вы меня учите, скорость баржи не изменится, просто
можно будет уменьшить силу тяги каждого. Ну, и спицу тогда можно
убрать –– баржа всё равно будет двигаться в том же направлении.
В à í ÿ. Да, так проще представить. По крайней мере, не возникает соблазна складывать скорости.
Л ¼ â à. И ясно, как найти скорость баржи в этой картинке. Вектор скорости буксира v можно разложить на две составляющие –– перпендикулярную и параллельную
спице. Поскольку перпендикулярно спице баржа двигаться не может, её скорость
будет равна параллельной составляющей
скорости буксира, то есть
α
2

u = v cos .

Рис. . Второе решение Лёвы

Ответ такой же, как в первой версии, только без «двойки».
У ÷ è ò å ë ü. Понятно. Все теперь согласны с решением Лёвы?
А ñ ÿ, В à í ÿ, М à ø à. Да, похоже, всё правильно.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо. Тогда давайте проверим его ответ по предельным случаям. Идея простая: если мы, решив задачу, получили
общую формулу, то она ведь и во всех частных случаях должна работать, правильно? С другой стороны, некоторые из этих частных слу-



Занятие . Баржа и два буксира

чаев (как правило, соответствующие предельным значениям параметров задачи) могут оказаться настолько просты, что ответ в них
очевиден просто из здравого смысла, без всяких сложных вычислений. Тогда и общая формула, если она правильная, должна при
подстановке соответствующих значений давать тот же очевидный
ответ.
В à í ÿ. Но даже если это получится, отсюда ведь совсем не будет
следовать, что наша формула верна. Мало ли какую можно получить
формулу –– она может быть совершенно неправильной, но именно
в этих предельных случаях по случайности давать правильный ответ.
У ÷ è ò å ë ü. Разумеется. Если наш результат и выдержит такую
проверку, это совершенно не будет гарантировать его правильности. Но если даже в очевидных случаях ответ получится не тот ––
придётся искать ошибку.
Вот наша задача про баржу –– при каких значениях угла α ответ
в ней очевиден?
В à í ÿ. При α = 0, ясное дело. Тогда это просто два Льва и Асины
санки. Если буксиры тянут в одну сторону, скорость баржи просто
будет равна скорости каждого из них.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо, а что даёт Лёвина общая формула?
Л ¼ â à. Если я правильно помню, cos 0 = 1. Поэтому даёт она
u = v. Всё правильно!
У ÷ è ò å ë ü. Отлично, а ещё какие-нибудь значения α для проверки можно предложить?
А ñ ÿ. Можно попробовать α = 180◦ . Смотрите, если канаты разойдутся под таким углом, буксиры будут тянуть баржу в противоположные стороны. Ясно, что она просто остановится. А Лёвина формула...
да, она даёт правильный ответ: cos(180◦ /2) = 0, значит, и u = 0. Ура!
В à í ÿ. Здорово!
Л ¼ â à. Моя формула выдержала проверку на здравый смысл!
А вы ещё говорите, что у меня с ним плохо.
У ÷ è ò å ë ü. Ага, значит, все считают, что это предсказание Лёвиной формулы здравому смыслу соответствует?
А ñ ÿ, В à í ÿ, Л ¼ â à. Ну... да.
А ñ ÿ. По-моему, нам сейчас покажут, что мы –– дураки. Такое
у меня предчувствие.
В à í ÿ. Ага, у меня тоже.
М à ø à. Подождите...

Занятие . Баржа и два буксира



У ÷ è ò å ë ü. Да, Маша, что ты хочешь сказать?
М à ø à. Ну... не знаю... глупость, наверное... Но мне очень странной кажется одна вещь...
У ÷ è ò å ë ü. Какая?
М à ø à. Вот смотрите, пусть буксиры разошлись так, что канаты почти что по одной прямой направлены. То есть угол α совсем
чуть-чуть отличается от 180◦ . Тогда cos(α/2) будет очень маленьким, я правильно понимаю?
Л ¼ â à. Да, конечно.
М à ø à. Тогда, по Лёвиной формуле, баржа должна двигаться
очень медленно.
Л ¼ â à. Ну да, ведь когда канаты совсем выпрямятся, она остановится. Что здесь странного?

Рис. . Опыт Маши с цепочкой и кулончиком

М à ø à. А мне кажется, что всё должно быть наоборот. Вот смотрите, у меня есть цепочка, а к её середине подвешен кулончик. Так
это украшение называется, если кто не знает. Я берусь руками за
концы цепочки и начинаю их разводить в стороны. Кулончик поднимается.
В à í ÿ. Да, это почти что наша баржа. Только Машины руки (буксиры) движутся горизонтально, а не вдоль половинок цепочки. Но
когда цепочка уже почти прямая, это не важно.
М à ø à. Да. И вот когда она уже почти прямая, как же движется
кулончик? По-моему, он очень быстро движется, а вовсе не очень
медленно, как по формуле должно быть. Я руки развожу, и середине
цепочки в этот момент приходится очень быстро подниматься, чтобы успеть. Цепочка ведь растягиваться не может... Не могу я это, как
Лёва, научно объяснить... Но посмотрите –– когда цепочка выпрямляется, кулончик даже подпрыгивает!
Л ¼ â à. Ещё бы, ты руками очень резко дёргаешь!
М à ø à. Нет-нет, смотри, я сейчас очень медленно руки разведу...
Вот...



Занятие . Баржа и два буксира

А ñ ÿ. Всё равно подпрыгивает!
Л ¼ â à. Ну да, цепочка с кулончиком –– научный аргумент блондинки. Куда уж нам с нашими формулами!
А ñ ÿ. А ты не издевайся, не издевайся! Маша ведь дело говорит ––
не сходится твоя формула с её наблюдением.
В à í ÿ. Знаете, а я и в самих Лёвиных формулах одну странность
заметил. Вот эта проверка, на второй предельный случай...
Л ¼ â à. А что такое? Там, по-моему, всё железно сходится. Когда
канаты разойдутся в противоположные стороны, баржа двигаться
не сможет. И общая формула даёт u = 0 при α = 180◦ . Что тебе не
нравится?
В à í ÿ. А ты представь себе, что при этом с буксирами произойдёт.
Л ¼ â à. Как что? Остановятся, конечно. Канаты ведь нерастяжимы.
В à í ÿ. Вот именно! Теперь подумай сам, что мы сделали. Мы
решали задачу про движение баржи, причём буксиры в этой задаче
имеют какую-то скорость v. В этом предположении получен общий
ответ. И после этого мы подставляем в общую формулу значение α,
при котором само условие задачи становится невыполнимым! Ясно
ведь, что когда канаты разойдутся, то либо буксиры остановятся, либо канаты порвутся. Но чтобы и α было равно 180◦ , и буксиры двигались, и канаты остались целыми –– такого просто не может быть!
И какой смысл тогда имеет тот «», который нам даёт общая формула? Она ведь получена в предположении, что всё это выполняется.
У ÷ è ò å ë ü. Молодец, Ваня! Я очень рад, что один из вас сам заметил эту тонкость. Здравый смысл здесь нас обманывает –– точнее,
его нужно внимательней применять. Когда угол между канатами
станет 180◦ , баржа, конечно же, остановится. Но при этом сами
условия нашей задачи станут несовместимыми друг с другом. Поэтому тот «», который даёт Лёвина формула в этом случае, никак нельзя считать соответствующим здравому смыслу. Главный вопрос –– а что же ему нужно считать соответствующим? Что должен
давать правильный ответ, если в него подставить «запрещённое»
значение α = 180◦ ?
Л ¼ â à. Хм... непонятно.
В à í ÿ. А по-моему, совершенно понятно. Катастрофу он должен какую-то давать, вот что. Если значение α = 180◦ является для
нашей задачи «запрещённым», то правильная общая формула должна просто отказаться работать в этом случае, а вовсе не выдавать
нам спокойно «», как Лёвина.

Занятие . Баржа и два буксира



Л ¼ â à. Так, я понял. Именно спокойствие моей формулы при таком α вам кажется противоречащим здравому смыслу. В чём же тогда ошибка моего решения?
У ÷ è ò å ë ü. Знаете, я бы предложил на время оставить нашу задачу. Давайте разберёмся в одном общем кинематическом вопросе, а потом уже к ней вернёмся. Представим себе твёрдую палочку, движущуюся в пространстве произвольным образом. Ну, например, я взял эту палочку в руку и подбросил. Она летит в воздухе
и как-то кувыркается. Обозначим её концы точками A и B. Допустим, в какой-то момент скорость точки A равна v1 и направлена
под углом α к палочке, скорость точки B равна v2 и образует с продолжением палочки угол β. Вопрос: эти четыре величины связаны
друг с другом или совершенно произвольны? Другими словами, если известны три из них (например, v1 , α и β), то можно ли найти
четвёртую –– v2 , или она может быть какой угодно?
Л ¼ â à. А почему бы этой v2 и не быть какой угодно? Палочка ведь
произвольным образом движется...
У ÷ è ò å ë ü. Значит, эти параметры могут быть любыми –– такая
гипотеза? Тогда я могу потребовать, чтобы v1 и v2 были чему-то там
равны (не нулю), угол α был равен 0, а угол β –– 180◦ . А такое может
быть?

Рис. . Задача про палочку

Л ¼ â à. Сейчас... Надо представить... Так, но это означает, что
концы палочки движутся навстречу друг другу! Нет, конечно, такого
быть не может. Палочка ведь твёрдая, она не может ни сжиматься,
ни растягиваться.
У ÷ è ò å ë ü. И в противоположные стороны они не могут двигаться, по той же причине. Значит, условие неизменности расстояния между концами палочки всё-таки запрещает некоторые спо-



Занятие . Баржа и два буксира

собы их совместного движения. Но тогда логично предположить,
что это условие и в общем случае требует какой-то связи между
параметрами движения концов. Как найти эту связь?
А ñ ÿ. А Маша придумала, как это сделать! Давай, Маш, расскажи,
не бойся.
М à ø à. Ну, я просто подумала –– вот посмотрим, например, на
точку A. Её скорость мы можем разложить на две составляющие ––
направленную вдоль палочки и перпендикулярную ей, как Лёва это
делал со скоростью буксира. Перпендикулярная составляющая расстояния AB не меняет –– только двигает точку A вбок. А параллельная составляющая (она равна v1 cos α, правильно?) как раз направлена в сторону точки B, она стремится уменьшить расстояние между точками...
Л ¼ â à. Всё ясно! Тогда, чтобы палочка сохраняла свою длину,
точка B должна убегать от точки A с такой же скоростью!
М à ø à. Конечно. А скорость убегания точки B –– это параллельная палочке составляющая v2 , она равна v2 cos β. Значит, расстояние
между точками не будет меняться, если
v1 cos α = v2 cos β.
Если известны v1 , α и β, из этой формулы можно найти v2 .
У ÷ è ò å ë ü. Молодец, Маша! Результат абсолютно верный. Правда, рассуждение твоё нельзя назвать вполне строгим –– это, скорее,
правильная догадка.
В à í ÿ. Точно. Непонятно, например, почему перпендикулярные
палочке составляющие скоростей не меняют расстояние между точками. Если точка A и будет двигаться только «вбок», то расстояние
AB всё равно ведь будет увеличиваться, разве не так?
У ÷ è ò å ë ü. Увеличиваться-то оно будет, но только во втором порядке по прошедшему времени. А параллельная палочке составляющая скорости изменяет это расстояние уже в первом порядке. Что
означают эти загадочные слова –– не будем сейчас разбираться. Считайте это заданием на будущее. Я это только к тому, что рассуждение Маши можно сделать строгим, только это не очень просто
на нашем уровне математических познаний. Но, может быть, мы
сможем эти математические трудности обойти? Вместо того чтобы
их преодолевать? Элементарная (школьная) физика довольно часто
делает подобные фокусы. Может ли кто-нибудь предложить другое

Занятие . Баржа и два буксира



рассуждение, дающее Машин ответ, но при этом не вызывающее
неприятных вопросов типа Ваниного?
В à í ÿ. А знаете, можно попробовать перейти в другую систему
отсчёта.
М à ø à. Как это?
В à í ÿ. А вот смотри: представим себе, что мы сидим на конце
палочки A и движемся вместе с ним. В физике это и называется
перейти в систему отсчёта точки A. Посмотрим теперь на точку B.
С какой скоростью она движется в этой системе отсчёта?
М à ø à. Не знаю... Не могу представить.
Л ¼ â à. При переходе в систему отсчёта, движущуюся относительно исходной с некоторой скоростью, эта скорость вычитается (как
вектор) из скоростей всех точек. Точка A, на которую мы пересаживаемся, имела скорость v1 . А точка B –– v2 . Поэтому вектор скорости
точки B в новой системе отсчёта будет
v = v2 − v1 .
В à í ÿ. Совершенно верно. С другой стороны –– а как вообще может двигаться палочка в этой системе отсчёта? Точка A у неё покоится с нашей точки зрения, мы ведь на ней сидим.
М à ø à. Тогда она может только крутиться вокруг этой точки!

Рис. . Чертёж Вани

В à í ÿ. Конечно. Значит, точка B в этой системе отсчёта движется
по окружности с центром в точке A. Её скорость (вектор v) должна
быть направлена по касательной к этой окружности, то есть перпендикулярно палочке. Осталось только нарисовать чертёж и посмотреть, что из него следует. Смотрите, я сложил по правилу треугольника векторы v2 и −v1 . Так... Давайте ещё проведём из точки C



Занятие . Баржа и два буксира

отрезок CD, перпендикулярный вектору v. Ага, поскольку вектор v
перпендикулярен AB, отрезок CD параллелен палочке. Тогда угол
между CD и вектором −v1 равен α, а угол между CD и v2 равен β.
Правильно, Лёва, ты у нас главный геометр?
Л ¼ â à. Правильно. Это легко доказать.
В à í ÿ. Смотрите, у нас возникло два прямоугольных треугольника –– с гипотенузами v1 и v2 . У них общий катет CD. Если его найти из одного треугольника, он равен v1 cos α, а если из второго ––
v2 cos β. Значит... Маша права, эти произведения равны друг другу!
У ÷ è ò å ë ü. Да, это именно то рассуждение, которое я имел в виду. Оно подтверждает Машину догадку, но обходит непростые математические вопросы. Почему именно обходит, а не отвечает на
них –– попробуйте разобраться сами. Ответ, во всяком случае, получен.
Л ¼ â à. Ответ на ваш вопрос про палочку –– да. Но я, честно говоря, не понимаю –– какое отношение он имеет к нашей барже?
У ÷ è ò å ë ü. А вы посмотрите внимательно –– не видно ли такой
«палочки» в задаче про баржу?
А ñ ÿ. Видно! Видно! Я поняла!
Л ¼ â à. Что ты поняла? Где там палочка?
А ñ ÿ. Да канаты же! Они ведь нерастяжимые, длина их не меняется, значит, каждый из них можно считать палочкой. Теперь смотрите –– одним концом канат привязан к буксиру, поэтому скорость
этого конца равна v и направлена как? Правильно, вдоль каната,
под углом 0◦ к нему. Скорость второго конца –– это скорость баржи u, угол между ней и канатом α/2. Тогда по «закону палочки»,
который нам доказали Маша и Ваня, должно быть
α

v cos 0 = u cos 2 .
Поскольку cos 0 = 1, скорость баржи
u=

v
.
cos α/2

Ответ очень похож на Лёвин, только на косинус не умножается, а делится.
В à í ÿ. Смотри-ка, закон работает! Давайте тогда этот новый ответ проверим на здравый смысл. Какие там у нас были предельные
случаи? Так, α = 0... получается правильно, u = v.
Л ¼ â à. Мой ответ в этом случае то же самое давал.

Занятие . Баржа и два буксира



В à í ÿ. Ну да, на единицу можно умножить, а можно и разделить –– одно и то же получится. Давайте теперь второй случай посмотрим. Если α = 180◦ , то cos(α/2) = 0. На ноль делить нельзя, значит, скорость u не определена.
Л ¼ â à. Вот она, Ваня, твоя катастрофа, радуйся!
У ÷ è ò å ë ü. Ну, я бы здесь действительно порадовался. Новый
ответ совершенно правильно реагирует на значение α, делающее
задачу невозможной.
А ñ ÿ. Ага, и поведение Машиного кулончика теперь стало понятным! Чем ближе α к 180◦ , тем меньше косинус, а значит, больше
скорость u.
У ÷ è ò å ë ü. Она не просто больше, она стремится к бесконечности (неограниченно нарастает при α, стремящемся к 180◦ ). Поэтому кулончик и подпрыгивает в самом конце, как бы медленно Маша
ни разводила концы цепочки.
М à ø à. Он что, правда до бесконечной скорости разгоняется?
У ÷ è ò å ë ü. Нет, конечно же. Это невозможно, у него для этого
энергия должна стать бесконечной. Просто скорость очень большой
становится.
М à ø à. Но ведь по Асиной формуле она должна бесконечной
стать. Как же так?
У ÷ è ò å ë ü. Очень хорошо, что ты заметила эту проблему. Видимо, в самом конце что-то меняется в движении этой системы (цепочки и кулончика), и это позволяет ей выйти из-под власти Асиной
кинематической формулы. Давай ты сама попробуешь понять, как
это происходит.
М à ø à. Хорошо.
У ÷ è ò å ë ü. Ну что же, я очень рад, что мы разобрались в задаче. Советую всем дома ещё раз сравнить решения Лёвы (он просто
брал составляющую скорости буксира) и Аси (с «законом палочки»).
И подумать –– как же правильно и почему.
А для тебя, Маша, у меня есть отдельное замечание. По-моему,
ты на себя наговариваешь, рассказывая про свою глупость и непонимание физики. Действительно важные для этой науки вещи ты
совсем неплохо видишь. А если задачки на контрольных пока не
очень хорошо получаются –– так это ещё вполне можно исправить.
А ñ ÿ. Точно! А тому, кто тебе советует в блондинку перекраситься, скажи –– пусть сначала научится в физике как ты разбираться.
А то мы ему самому кое-что подарим.



Занятие . Баржа и два буксира

М à ø à. Что?
А ñ ÿ. Краску для волос!

Занятие 

Цепочка на блоке,
или
О науке и спорте
Участвуют: Учитель, Ася, Ваня, Лёва, Саша.
У ÷ è ò å ë ü. Здравствуйте, ребята.
А ñ ÿ. Смотрите, кто к нам сегодня пришёл! Это Саша. Он крутой
олимпиадник, на городской олимпиаде первое место занял.
У ÷ è ò å ë ü. Здорово! Надеюсь, Саша, тебе интересно будет поучаствовать в наших занятиях.
Сегодня мы обсудим довольно хитрую задачу. Её нельзя отнести
к какой-то определённой «теме», как задачи ваших контрольных.
Просто задача по физике. Всё, что вы знаете и чем владеете в этой
науке, –– то и нужно попробовать применить.
Представим себе неподвижный блок,
подвешенный к потолку. Через блок перекинута однородная цепочка. Один её
конец свисает до пола и даже отчасти лежит на нём (в виде кучки звеньев). Другой опускается до поверхности стола высотой h и тоже образует достаточно большую кучку. Вопрос –– если мы отпустим
цепочку из состояния покоя, как она будет двигаться?
Л ¼ â à. Блок, конечно, невесомый и
вращается без трения?
Рис. . Цепочка на блоке
У ÷ è ò å ë ü. Да, эта идеализация здесь
вполне допустима.
Л ¼ â à. Цепочку тоже можно считать невесомой?
У ÷ è ò å ë ü. А вот это, по-моему, не очень осмысленный вопрос.
Кто понимает –– почему?
А ñ ÿ. Я понимаю! Смотри, Лёва: что имеется в виду, когда в школьной задачке про два груза на блоке говорится, что нить невесома?



Занятие . Цепочка на блоке

Только то, что она лёгкая по сравнению с грузами. Совсем нулевой
ведь её масса быть не может. Но если грузы, например, имеют массы 1 кг и 2 кг, а масса нити 1 г, то её можно не учитывать и считать
нить невесомой.
Л ¼ â à. Ну да. И что же?
А ñ ÿ. А в нашей задаче никаких грузов нет! Только цепочка,
и ничего к ней не подвешено. Это значит, что её массу принципиально нельзя считать малой (нулевой). По сравнению с чем она
будет малой? Даже если цепочка весит 1 г, 0,1 г или 0,001 г –– всё
равно именно её масса будет всё определять. Я правильно говорю?
У ÷ è ò å ë ü. Да, Ася, совершенно правильно. Размерная величина
(масса, например) не может быть просто малой, а только –– малой
по сравнению с другой величиной. Если блок невесомый (его масса
мала по сравнению с массой цепочки), то пренебрегать этой последней в принципе нельзя.
Ну ладно, так как же будет двигаться цепочка?
В à í ÿ. В покое она не останется, это уж точно. Смотрите –– тот
конец, что свисает до пола, длиннее (а значит, тяжелее), чем тот,
который со стороны стола. Сила тяжести на него действует б´
oльшая,
он перевесит, и цепочка начнёт двигаться. Левая часть будет подниматься, а правая опускаться.
У ÷ è ò å ë ü. Хорошо, а как будет изменяться её скорость? Или она
будет постоянной?
В à í ÿ. Скорость... скорость у неё всё время будет возрастать.
Ведь, как бы цепочка ни сдвинулась, правая её часть всегда будет
на h длиннее, чем левая. Я имею в виду те части, которые висят
на блоке, а не лежат на полу и на столе. Будет иметься постоянный
перевес одной части над другой, поэтому цепочка непрерывно будет
разгоняться. Она, похоже, равноускоренно будет двигаться, с постоянным ускорением.
У ÷ è ò å ë ü. Звучит логично. Но в задачнике, из которого я взял
эту задачу, вопрос поставлен довольно неожиданным образом. А
именно: чему равна установившаяся скорость цепочки? Тем самым
утверждается, что через некоторое (возможно, большое) время цепочка перестанет разгоняться и её движение станет равномерным.
Скорость этого равномерного движения и требуется найти.
В à í ÿ. Установившаяся скорость? Не понимаю. По-моему, никогда она не установится. Всё время возрастать будет.

Занятие . Цепочка на блоке



У ÷ è ò å ë ü. Может быть, разобраться нам помогут мощные олимпиадные силы? Саша, какие у тебя есть идеи?
С à ø à. Так, это задача на движение тела с распределённой массой. Нам на сборах такие рассказывали. Надо применить... ну,
например, закон сохранения энергии. Допустим, цепочка за некоторый промежуток времени сдвинулась так, что масса звеньев, лежащих на столе, уменьшилась на ∆m. Тогда ровно такая же масса
добавится к кучке на полу. Ага, значит, потенциальная энергия цепочки уменьшится на ∆mgh.
А ñ ÿ. Подожди, так было бы, если бы поднявшиеся со стола звенья тут же оказались на полу. Но они ведь должны сначала до блока
доехать, а потом опуститься. Это когда ещё будет! А сразу после
начала движения этот кусок цепочки ещё над самым столом находится. И потенциальная энергия у него не уменьшилась, а возросла
немножко.
С à ø à. Вообще-то хорошо бы слушать, что я говорю. Сказано
ведь –– энергия цепочки, всей цепочки, а не её поднявшегося куска.
Одни звенья поднимутся, другие опустятся, вся цепочка сдвинется.
Но результат (изменение потенциальной энергии) будет такой, как
если бы масса ∆m просто переместилась со стола на пол.
А ñ ÿ. Я поняла. И грубить совершенно не обязательно.
С à ø à. Так, потенциальная энергия уменьшится на ∆mgh. Куда
эта энергия перейдёт? Обычно она в кинетическую энергию переходит... Но если скорость цепочки установилась, то её кинетическая
энергия не изменяется. В любой момент и масса движущейся части,
и её скорость одни и те же.
В à í ÿ. Да почему ж она установится, эта скорость?
С à ø à. Откуда я знаю –– почему? Если в задаче спрашивают, значит, установится. И чтобы ответ получить, надо предположить, что
скорость цепочки не меняется. Так, куда же тогда девается энергия?
Ага, на правом конце звенья цепочки по очереди сталкиваются с полом. А какой там происходит удар –– упругий или неупругий?
У ÷ è ò å ë ü. Ну, можно было бы сказать, что он абсолютно неупругий, но это на самом деле лишнее условие. Достаточно того, что
реальное столкновение звена цепочки с полом не может быть абсолютно упругим. Хотя бы часть механической энергии при таком
ударе будет переходить в тепло. А значит, если звено и отскочит от
пола, то потом, подпрыгнув несколько раз, оно всё равно рано или
поздно остановится.


Related documents


PDF Document         3
PDF Document          1982
PDF Document uaz ru 8
PDF Document izmene zakona o dobrobiti
PDF Document untitled pdf document 1
PDF Document dogovor na sozdanie prilizhenia 2


Related keywords