Derivation Froessling Equation .pdf

Ergänzung zu N. Frössling - Über die Verdunstung
fallender Tropfen
Die von Frössling, N. in Gerlands Beiträge zur Geophysik, Band 52,
Seite 170-216, (1938) angegebene Gleichung

√ 
dm
Mp
= 4π ∆ ·
· r 1 + k · Re ,
dt
RT
wobei r eine Funktion der Zeit t ist, kann wie im Folgenden beschrieben,
umgeformt werden.
Mit Hilfe der Tropfenmasse m und der Definition der Dichte ρ nach
m
⇔m=ρ·V ,
V
sowie dem Volumen V einer Kugel gemäß
ρ=

4
· π · r3 ,
3
wobei r den Tropfenradius bedeutet, ergibt sich für die Tropfenmasse m
V =

4
m = ρ · π r3
3
und damit für die von Frössling ermittelte Gleichung

√ 
4
dr3
M p
πρ ·
= 4π ∆ ·
· r 1 + k · Re .
3
dt
RT
Der Faktor k ist gemäß folgender Gleichung definiert:

(1)

0, 276
k= √
3
σ
∆
σ=
ν
⇒ k = 0, 276 ·

 ν  13
∆

1

= 0, 276 · Sc 3 ,

1

wobei der Quotient aus kinematischer Viskosität ν und Diffusionskoeffizient ∆ als Schmidt-Zahl Sc bezeichnet wird.
Gleichung (1) kann nach durchmultiplizieren mit 1/ (4π) und Differentiation von
(xn)0 = n x n−1
d r(t) 3
= 3r2
⇒
dt
vereinfacht werden zu


1
1
M p
1
2
ρ · 3r = ∆ ·
· r 1 + 0, 276 · Sc 3 · Re 2 .
3
RT
Kürzen der Zahl 3, durchmultiplizieren der Gleichung mit 1/r sowie
ersetzen von r = d2 mit d als dem Tropfendurchmesser ergibt

1
1
M p 
d
ρ=∆·
· 1 + 0, 276 · Sc 3 · Re 2 .
(2)
2
RT
Bezeichnet man den Quotienten
RT ρ
≡β ,
M p

(3)

wobei β den Stoffübergangskoeffizienten bezeichnet, multipliziert beide
Seiten von Gleichung (2) mit 2 und führt die Sherwood-Zahl
βd
∆
ein, so ergibt sich schlussendlich die bekannte und geläufige Gleichung für
den Stofftransport an einer Kugel bei höheren Reynolds-Zahlen > 100,
Sh =

Sh = 2 + 0, 552 · Sc 1/3 Re 1/2

(4)

In diesem Bereich der Reynolds-Zahl findet bereits eine allmähliche
Grenzschichtablösung im Bereich des Tropfen- bzw. Kugeläquators statt.
Es bildet sich ein charakteristisches, turbulentes Rückstromgebiet hinter dem Tropfen bzw. der Kugel (eine sog. Wirbelschleppe). Die von
2

Frössling genannte Gleichung gibt den Stofftransport bzw. den Stoffübergang an der zur Strömungsrichtung zugewandten Seite der Tropfen- oder
auch Blasenoberfläche wieder. Genau betrachtet bezeichnet daher der
in Gleichung (3) bezeichnete Quotient β den auf die angeströmte Querschnittsoberfläche bezogenen Stoffübergangskoeffizienten. Anzumerken
sei, dass auch im Rückstromgebiet der -in diesem Fall angenommenenkugelförmigen Blase ein Stoffaustausch stattfindet. Dies wird als turbulenter Stoffaustausch bezeichnet. Für diesen Fall existieren keine analytischen Lösungen und daher ist Gleichung (4) nicht anwendbar, vielmehr
sind diese Stofftransportphänomene nur durch numerische Simulationen
zugänglich.

3