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Oseen, C. W., Über die Stokessche Formel und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik. I.pdf


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2

ARKIV FÖR MATEMATIK, ASTRONOMJ O. FYSIK. BD

6.

N:O

29.

zugehörigen Nebenbedingungen sind: für R =
Vx 2 + y'J + z 2 = oo : 'lt, = - u 0 , v = 0; w = 0; für R = a : u = 0,
v = 0, w = 0, wenn u 0 die Geschwindigkeit der Kugel, a ihr
Radius ist und wenn die x-Achse mit der Bewegungsrichtung
der Kugel zusammenfällt.
Wir nehmen an, dass die Bewegung der Flüssigkeit, von
der Kugel aus beurteilt: stationär ist. Die ersten Glieder
in den drei ersten Gleichungen fallen dann weg. Ferner ist
offenbar, dass wenn überhaupt drei Funktionen u, v, w existieren, welche die Differentialgleichungen und Nebenbedingungen befriedigen, und welche überall ausserhalb der
Kugel endliche, stetige Funktionen von x, y, z sind mit stetigen Ableitungen der zwei ersten Ordnungen, dann u, v, w,
Die.

ai) X'

a{) Z

. h zeitig
. . mit
. u 0 .._gegen
-,-u · · · - w u·· b era11 g1eic
müssen.

.

-

N u 11 a b ne h men

Es liegt dann nahe anzunehmen, dass wenn u 0

klein ist, die s. g. quadratischen Glieder u : : , ... , von höherer Ordnung klein sein müssen als die Glieder

~p, ... , du, ... ,

<1X

und dass man folglich die quadratischen Glieder vernachlässigen kann. Wenn man das tut, bekommen die Differentialgleichungen die verhältnismässig einfache Form:
Dp
(/p
,LLdu=T,
,udv=öy'
(1 X

fJp rJu
rlv
ßw
ttdw=T,
~+~+~=0.
<1 Z
(1 X
<1 y
(1 Z

1

Dieses System von Differentialgleichungen mit den Nebenbedingungen: für R = oo , u = - u 0 , v = 0, w = 0; für R = a,
·u = 0, v = 0, w = 0 ist leicht lösbar. Man findet . dass die
Funktionen:
3au (

a

2

~=

4

)

(

v=

~ ~o {1- ~:)

xy, w =

Rso 1- R2 x2 - Uo 1 -

3 ,uau0

p=2R3x

3a

la

3

4 R - 4 RS) '

)

1

~ ~o {1 - ~:) XZ , t

(2)

1

J

die Differentialgleichungen sowie die Nebenbedingun~en befriedigen. Aus diesen Formeln leitet man leicht den STOKE-