Oseen, C. W., Über die Stokessche Formel und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik. I (PDF)

ARKIV ],ÖR l\'1ATEMATIK, ASTRONOM! OCH- FYSIK.
BAND 6.

N:o 29.

••

Uber die Stokes'sche Formel und über eine ve1·wandte .Aufgabe in der Hydrodynamik.
Von

C. W'. OSEEN.
lVIitgeteilt am 14. September 1910 durch A.

und E.

LINDSTEDT

PRRAGMEN.

l. Die STOKES'sche Formel für den Widerstand, den
eine. Kugel erfährt, die sich mit konstanter, unendlich kleiner
Geschwindigkeit in einer reibenden, unzusammendriickbaren
Flüssigkeit bewegt, wurde von ihrem Autor auf die folgende Weise bewiesen. Die NAVIER'schen Djfferentialgleichungen für die Bewegung der Flüssigkeit, auf ein Koordinatensystem bezogen, welches seinen Anfangspunkt in dem
Mittelpunkte der Kugel hat und sich mit dieser bewegt,
lauten:

<1u
iJu
<7u
au)
iJp
~ ( öt +uiix+v<1y+wöz =-iix+ftdu,

aV

<7

V

f)

V

~"fit
( +itiJx +vöy

aw

~ ( i}t

<1w

+w

{}w

+ 'lt iJx + V iJy + W
au
ax

aV)

{) p

öz =-ay+ftdv,

iJw)
i}z

=

av

-

+ oy +

Arldv für matematik, asfronomi o. fysilc.

Op
i}z

+ fl dw' 1
J

<lw_o
i}z -

Bd 6.

~

(1)

•

N·o 29.

1

2

ARKIV FÖR MATEMATIK, ASTRONOMJ O. FYSIK. BD

6.

N:O

29.

zugehörigen Nebenbedingungen sind: für R =
Vx 2 + y'J + z 2 = oo : 'lt, = - u 0 , v = 0; w = 0; für R = a : u = 0,
v = 0, w = 0, wenn u 0 die Geschwindigkeit der Kugel, a ihr
Radius ist und wenn die x-Achse mit der Bewegungsrichtung
der Kugel zusammenfällt.
Wir nehmen an, dass die Bewegung der Flüssigkeit, von
der Kugel aus beurteilt: stationär ist. Die ersten Glieder
in den drei ersten Gleichungen fallen dann weg. Ferner ist
offenbar, dass wenn überhaupt drei Funktionen u, v, w existieren, welche die Differentialgleichungen und Nebenbedingungen befriedigen, und welche überall ausserhalb der
Kugel endliche, stetige Funktionen von x, y, z sind mit stetigen Ableitungen der zwei ersten Ordnungen, dann u, v, w,
Die.

ai) X'

a{) Z

. h zeitig
. . mit
. u 0 .._gegen
-,-u · · · - w u·· b era11 g1eic
müssen.

.

-

N u 11 a b ne h men

Es liegt dann nahe anzunehmen, dass wenn u 0

klein ist, die s. g. quadratischen Glieder u : : , ... , von höherer Ordnung klein sein müssen als die Glieder

~p, ... , du, ... ,

<1X

und dass man folglich die quadratischen Glieder vernachlässigen kann. Wenn man das tut, bekommen die Differentialgleichungen die verhältnismässig einfache Form:
Dp
(/p
,LLdu=T,
,udv=öy'
(1 X

fJp rJu
rlv
ßw
ttdw=T,
~+~+~=0.
<1 Z
(1 X
<1 y
(1 Z

1

Dieses System von Differentialgleichungen mit den Nebenbedingungen: für R = oo , u = - u 0 , v = 0, w = 0; für R = a,
·u = 0, v = 0, w = 0 ist leicht lösbar. Man findet . dass die
Funktionen:
3au (

a

2

~=

4

)

(

v=

~ ~o {1- ~:)

xy, w =

Rso 1- R2 x2 - Uo 1 -

3 ,uau0

p=2R3x

3a

la

3

4 R - 4 RS) '

)

1

~ ~o {1 - ~:) XZ , t

(2)

1

J

die Differentialgleichungen sowie die Nebenbedingun~en befriedigen. Aus diesen Formeln leitet man leicht den STOKE-

OSEEN,

3

ÜBER DIE STOKES'SCHE FORMEL.

sehen Ausdruck für den Widerstand gegen die Bewegung
der Kugel ab.
Ein Versuch, die STOKEs'sche Formeln durch Berücksichtigung der vernachlässigten quadratischen Glieder zu
verbessern, wurde im Jahre 1888 von Herrn WHITEHEAD gemacht.1 Der Versuch scheiterte an dem Umstande, dass es
sich unmöglich zeigte, Korrektionsglieder zu den Ausdrücken
für u, v, w zu bestimmen, welche die bezüglichen Differentia.Igieichungen befriedigen, fiir R = a und gleichzeitig für
R = oo verschwinden. Herr WHITEHEAD ist geneigt diesen
Umstand mit der Tatsache in Verbindung zu setzen, dass
bei der Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit Wirbel
aufzutreten pflegen, hebt aber hervor, dass sein Ergebnis
nicht ausreicht, um zu beweisen, dass solche Wirbel bei
der Bewegung einer Kugel stets auftreten.
Die STOKEs'sche Formel spielt bekanntlich eine grosse
Rolle in der neueren Korpusculartheorie. Dies hat zu einer
experimentellen. Prüfung derselben gefiihrt. 2 Diese hat gezeigt,
dass· fiir Körpern, welche mit genügender Genauigkeit sphärische Form besitzen, die Formel innerhalb gewisser Grenzen
in Bezug auf Grösse und Geschwindigkeit exakt ist, ein
Umstand, der offenbar gegen die Annahme spricht, dass die
Bewegung einer Kugel stets Wirbel hervorrufe.
Die Frage nach der Art der Bewegung, welche die fortschreitende Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit hervorruft,
wurde neuerdings eingehend von Herrn F. W. LANCHESTER
besprochen. 3
Dieser Autor nimmt an, dass für jeden
Körper eine Grenzgeschwindigkeit existiert, unterhalb deren
die durch die Bewegung des Körpers hervorgerufene Bewegung der Flüssigkeit singularitätenfrei ist, ohne diese
Annahme durch eine Analyse der Bewegungsgleichungen zu
begründen.
Bevor wir weiter gehen, müssen wir uns klar machen,
warum die Arbeit von Herrn WHITEHEAD zu einem negativen
Ergebnis führte. Der Grund ist einfach der, dass STOKES
bei der Ableitung seiner Formel Glieder vernachlässjgte,
welche in grosser Entfernung von der Kugel eine ausschlaggebende Bedeutung besitzen. Um dieses eiuzusehen, hat man
1

2
8

Quart. Journ. of Math. 1888.
Vgl. ZELENY und Mo KEEHAN, Physik. Zeitschrift 1910
LANCI!ESTER, Aerodynamics, London 1907.

s.

78.

4

.ARKIV FÖR l\iATEMATIK, ASTRONOM! 0. FYSIK. BD

nur nötig ans den Formeln 2 das Produkt u

~uX

6.

N:O

29.

zu bilden.

(1

Man bekommt:
_

2

3au 0 x

4 R3

(i- 3xR

2

2

)

+ ...
'

wo die nicht aufgeschriebenen Glieder in grosser Entfernung
von der Kugel gegen die ausgeschriebenen klein sind. Gleichzeitig ist:

Wie klein nun u 0 auch ist, so gibt es stets Gebiete in der
Flüssigkeit, innerhalb deren das Glied f!U
<lp
~

(1

X

oder ft LI u gross ist.

:~im Vergleich mit

Es ist demnach offenbar, dass eine

befriedigende Theorie nicht ohne weiteres die quadratischen
Glieder vernachlässigen kann.
2. Die Frage, welche in erster Linie eine Antwort verlangt, ist die: ist, ·\tvenn eine Kugel sich mit konstanter,
genügend kleiner Geschwindigkeit in einer Flüssigkeit bewegt,
eine singularitätenfreie, stationäre Bewegung der Flüssigkeit
mit den NAVIER'schen Differentialgleichungen (oder den entsprechenden Integralgleichungen) vereinbar1 Ähnliche Fragen
treten in grosser Zahl in der Hydrodynamik auf.
Der
Körper kann z. B. andere Formen als die Kugelform haben.
Was in der Frage wesentlich ist, ist folgendes: ist eine stationäre, singularitätenfreje Bewegung einer Flüssigkeit möglich,
wenn ein Teil derselben durch irgend welche äussere Mittel
translatorisch fortbewegt wird~ Die ungleich einfachste von
den vielen hieher gehörigen Fragen ist die folgende. Wir
nehmen an, dass auf eine Fliissigkeit ein System von Kräften
wirkt, deren Angriffspunkte sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer bestimmten Richtung fortbewegen. Die Frage
ist, ob eine singularit~tenfreie Bewegung der Flüssigkeit,
welche von ~inem Punkte betrachtet, der sich mit den Kräften fortbewegt, stationär ist, unter diesen Umständen möglich ist. Es ist nicht meine Absicht, diese Frage hier zu
beantworten. Ich hoffe bei einer anderen Gelegenheit auf

OSEEN, ÜBER DIE STOKES'SCHE

FORMEL.

5

sie zurückkommen zu können. Hier möchte ich die mathematischen Hülfsmitteln entwickeln, welche zu einer Beantwortung der Frage notwendig sind. Es wird sich herausstellen,
dass man dabei gleichzeitig eine befriedigendere Begründung
der STOKES'schen Formel gewinnt.
Wir beziehen die NAVIER'schen Differentialgleichungen auf
ein Koordinatensystem, welches sich in derselben Richtung
und mit derselben Geschwindigkeit wie die Angriffspunkte
der wirkenden Kräfte fortbewegt. Wir legen die x-Achse in
diese Richtung und nennen die Geschwindigkeit u 0 • Wir
haben dann, weil die Geschwindjgkeit in diesem Koordinatensysteme von der Zeit unabhängig sein soll:
,7

u

au

(! (u~+v-a
<1 X
y

r7u

f}

u) =X-~+,udii,
tJ p

+w-:-l1Z

+

iJx

<1 X

r1v ...L <hv =O

ay

1

(Jz

'

wo X: Y, Z die Komponenten der wirkenden Kräfte sind.
Wir setzen: u = - u 0 + u', v = v', w =w', p = p' und bekommen dann:
<7 u'
8X

<7 u'
<7 u'
+ (! (u'T
+
v'
~ +w'
X
y

fJ v'

{) v' + v'~
f} v'
fh/)
+ (! (u'-;-+w'-a
<1X
fJ y
Z,

-(!U·o -

-~u 0 ~
(1

X

(1

(1

r7 u')

<1 p'

Z

8X

~ =X- <1

=

+ ,udu', )

<7 p'
+,udv',
(1 y

Y-~

l

1

( (3)
-

(!

<1w'

u0 ~
<1 X

<Jw'
Bw'
fJw')
+ Q (u' d+
v'
~ + w' X
y
8Z
(1

=

r1p'

Z - -~(J Z

+ ,u d w',

1

J
mit den Nebenbedingungen:

ii' =

v' = w' = 0 für R

vernachlässigen zunächst die Glieder

~u' a„ u'
x
<1

ten also das System:

=

oo.

Wir

etc. und betrach-

6

ARKIV FÖR l\IATEMATIK, ASTRONOM! 0. FYSIK. BD

-

(! Uo

op'
a =X - aX +

{)u'
X

ßw'

Q'tt 0 -~-

-

(J X

ßp'

+

~

=Z-

(1

fl

Z

.d u

,
-

{) v'

~'llo ~ =
(1

,

X

<7v'
Y - ~
(1 y

6.

N:O

+ ,u.dv',

l

f(4 )

ßu'
<7 v'
<7w'
+
+
=0
i)x
ay
f)z

,udw,

29.

mit den Nebenbedingungen: für R = oo: u' = v' =w' = 0.
In den folgenden Rechnungen machen wir die Annahme, dass X, Y, Z stetige Funktionen von x, y, z sind.
Wir betrachten das Hülfssystem:

ap"

{) u"

Q'Uo dx = - - iJx

av"
i) p"
+ftdu", euo i)x = - ily

+ ,,

dv",l
(5)

<l w"'
QU 0 = -

0X

<J p''
-,f1Z

+

{} u"

fl .d w",

i} X

+ ail' +
iJy

ßw" = 0
iJ Z

f'

und 5 ergeben:

4

u (u" du'

1

+ v" d

v'

+ w" d

a

-, (u" p' - u' p") -

-

-

w' -

1i' du"

- v' d v" - w' .d w") -

a (v" p'-v' p") - -,a (w" p' -

ay~

öx

w' p'') +

i)z'

{)

+ nu
-, (u' 'lt"+ v' v" + w'w") + ii" X+ v'1 Y+w„Z=0
~
o {)x
und folglich:
~t

„ dv'11 d1.i
u
-+v
dn
dn

,..[
)

s

-J[( ii" cos n x

s

+ v'

cos ny

+w
„ dw'
dw"J
- - u, du"
- - - v, dv"
- - w, - dS dn

dn

dn

dn

+ v" cos ny + w" cos nz) p'-(u' cos nx +

+w' cos nz)p"]ds +

+ w' w") cos nx ds + J(u" X+

euoJ(u/ufl

v" Y

s

+ 1lv" +

+ w 11 Z) dlcJ =

0,

.Q

wo S ein System von Flächen ist, die ein Gebiet Q des
Raumes abgrenzen, n die äussere Normale in einem Punkte

von S, ds ein Flächenelement .und dccJ ein Volumenelement ist.
Es sei jetzt <D eine im ganzen x, y, z-Raume existierende
Funktion von x, y, z; x 0 , y 0 , z0 , welche mit ihren Ableitungen

7

OSEEN, ÜBER DIE STOKES'SCHE FORMEL.

der vier ersten Ordnungen nach x, y, z überall endlich und
stetig ist mit Ausnahme von dem Punkte x = x 0 , y = y,„
z = z0 • In der Umgebung dieses Punktes sei:

wo r 2 = (x - x 0 ) 2 + (y- y 0 ) 2
kleine Werte von r:

+ (z -

z0 ) 2 und wo für genügend

wo K und K 1 positive Konstanten sind.
wir an, dass <IJ die Gleichung:

End.lieh nehmen

(

1"7)
' I

befriedigt.
Wir benutzen die Gleichung 6 indem wir zunächst:

„

[)2 <D

u =U11={Jy2

+ ,72 <D

,,

{)2 </)

=U12=-öxoy'w

f)z2'v

„
=U1a=

In der Umgebung von dem Punkte x = x 0 , y
z0 haben wir dann:

setzen.

z=
u" =

! + (x-xo)2 + u „
r

r3

v"

= (x-xo)

1 '

= (x-x 0 )

r

(z-z 0 )

3

(y-yo)

rs

+ w 1 „' p" =

+ v"

= y0 ,

w" =

1 '

9 'l

"""'1"'

x-x 0
r3

Dabei ist für genügend kleine Werte von r:

wo K' und Ki' wieder positive Konstanten sind.

+p

11
1 •

8

ARKIV FÖR MA'l'EMA'l'IK, ASTRONOl\II 0. FYSIK. BD

6.

N:O

29.

Das System S ma.g jetzt aus einer geschlossenen Fläche
S', welche den Punkt x 0 , y 0 , z0 umschliesst, und aus einer
Kugel, welche ihren Mittelpunkt in diesem Punkte bat und
deren Radius r' genügend klein ist, damit die Kugel innerhalb S' liegt, bestehen. Auf dieser Kugel haben wir da.nn:
du"
1
(x - x 0 ) 2
-d
n =9+
r~
r4

(x - x 0) (y - y0 )

dv"

+ .. ,-d
n =

r4

+ ... ,

dw" (X-Xo)(Z-Zn)
dn =
r4

+ · · ··

Wir können jetzt in der Formel 6 den Grenzübergang r' = 0
ausführen. Wir haben, wenn u', v', w' stetige Funktionen
von x, y, z mit stetigen Ableitungen nach diesen Veränderlichen und wenn .p ebenfalls eine stetige Funktion ist:

(au')

(au')

u}(x,y,z)=it0 1 + iJx

(au')

(y-y 0 ) + az (z-z 0 )+Er,

(x-x 0 )+ iJy

0

0

du'=_ ({)u') x-x 0 _
dn
ax 0 r

(<71.t')
ay

p' (x, y, z)

y-y 0
r

p 0'

=

_(Du')

z- Z 0 +
{) z 0 r

E,

+ c,

limc=O.

r=O

Wir erhalten folglich, wenn die Integrationen stets über die
oben erwähnte Kugel ausgeführt werden
Jim

(l u 11 d'lt' + ... )d.s =

r'=o) \

dn

0, Jim
r'-O

limj(u" cos nx

r'=O

fi( u' du"+···) ds =
J dn
1

+ ... ) p' ds =

0,

9

OSEEN, ÜBER DIE STOKES'SCHE FORMEL.

lim ~u1 cos nx + ... ) p 11 ds =
'l·'-=Oj'
limf( u' u"

r'=-=0

+ v' v" + w' w")

8
3

-

- ff-

uu01,
'

cos nx ds = 0.

Wir haben ferner, wenn Q' derjenige Teil des Raumes ist,
der innerhalb S' liegt:
~~ f(u" X+ v'' Y

+ w" Z) dw = f(u 11 X+ u 12 Y + u 13 Z) dw.
!J'

r -0 Q

Folglich:
Sn: !l u' (x 0 , y 0 , x 0 )

f(u 0 X+

=

U 12

Y

+ it 13 Z) dw +

.Q'

+ f!U 0 f(u' u 11 + v'u12 + w'u 13 )

+f

cos nxds

a

a

(it'np 1-U 1 ,np')ds+

Dabei ist:

+ v'

u'n = u' cos nx
Uun =

+ w' cos nz,

+ U 12 cos ny + it

cos nx

U 11

cos ny

13

cos nz.

Man erhält auf dieselbe Weise:

f (U21 X + 'lt22 y + 'll23 Z) d +

8 '/( ,u v' (Xo' Yo' Zo) =

(U

!J'

+ f!Uof (u' u 21 + v' u 22 + w' U. 23 )

cos nxds

8

+f

(u'np 2 - ' l t 2 ,nP')ds+

~

J

21
du'
d8
+lt{[ 'll ,du
- - +···-·U21 - - · · ·

'

dn

dn

'

8'

8 11: ~iw' (x 0 , Yo, z0 ) =

f (U

31

+ U 32 Y + U 33 Z) d l<J +

X

Q,I

+ eu 0f

(u' it31

+ v'u + W 'lt
1

32

33 )

cos nxds + f(u'np 3 - ' l t 3 ,,,,,p')ds+

8

8

1[

+ 'll

S'

du31
dn

1
'l(, - - ·

du'- · · ·
+ ·· · - U31 dn

Jd

8

'

10 ARKIV FÖR lVIATEMATIK, ASTRONOl\11 0. FYSIK. BD 6. N:O 29.

wo:
'll21

U12

c=

= -

()2 (j)
{)x öy' U22 =

(J2 ([J
ßx2

{)2 <D

{)2 <]J
{)z2'

+

=

U23

'lta2 =

(}y {}z'

-

Es erübrigt die entsprechende Formel für p' zu bilden.
Wir setzen zu dem Zweck in Formel 6:
U

„ = ßaX (1)
r ' V „= ß(ly (1)r ' W „ = {jaZ (1)
r ' p„ =

eUo {jaX (1)
r.

-

Wir erhalten auf der Kugel r = r':

„ _ QU

X- X

u 11 = - - - -0 e t c., p rS

0

(x -

r

x0)

8

,

du"
(x- x 0 )
-=-2
, etc.
r4
dn

Folglich:

.
1Im
,.1

.-0

j('

u 11 -du'

dn

+ V „cl1l
+ w „ -dw')d 8 = dn

dn

j[(a{) u'x ) (
--

X - Xo

)+
2

0

r=r'

+

av') o (Y-Yo)2 + (''f)zw') o(z-zo)2Jdsr4 = - 3lj[(au')
ßx o +
(iJy
v') + (<lw'
) Jds
+ ({}uy
~
uz
r
:J

0

j'. . (u du"
+ · · ·)ds
r'=O
dn
1

lim

=

0

2

=

0'

0,

~-

t•=='IJ

fCu"
cos nx + · ··)p1ds=4n:p' 0 ,
1·'-0 „._„.,
lim

lim

„

(u 1 cos nx + · · ·) p" ds =-~u 0 u 0 '

r'=O •- /
r=r'

V

·'"'(x - X

j

r4

\2

°'

4

ds = - -- n:~it 0 U 0 1 ,
3

11

OSEEN, ÜBER DIE STOKES'SCHE FORMEL.

f

.
1im
r'.,..0

u 1 u ff

+ · · · ) cos

nx d s = ;-4 n u 0 ' ,

3

'l'=r'

Iimf·u} X+ v" Y

1·'=0

+ w" Z) dw =

1

QI

jl

Also:

J[ [) (1)

f
4np(x
0 ,y0 ,z0 )=

J[ ' [) (r1)
,
(1) +
[
f
~Uo

+

J[x iJax (!)r + y<1y,~ (I)r +

U

ßx

X<Jx;:

f} (})'
(J ( })] dcrJ+
+Yay?=
+ziJz;:

Q'

+V

,öy{) (rl) + ,{jz(l (r1) ]
W

COS

nx d·S -

S'

p -d dn r,

-

, oxa (1)]
ds + ~t {[ a (1) du' +
r
{) x r dn

~u 0 Un -

t.

-, -

-

•

81

8'

<I

+ Öy

-

(1)r dv'
(1) dw'
dn + dz r dn

, d

<1

-U

{)

dn ßx

(1)r - ,dn
d a (1)
oy r V

0

-w' dn
_!:___ ,
öz

(!)]
ds.
r

Wir müssen jetzt unsere Aufmerksamkeit auf die Herstellung der Funktion f/J richten. Wir betrachten zu dem Zweck
das Integral:

1IJ

1
21r.

1 1

1

·e _Quo(r-s+xo>
2,u.
=- (- - =-) d;·- d·17 ds,
r R
r

- -wo

R2 = (§-x)2 + ('r;-y )2 +

(~

_

z)2,

während:
r2 =

~x

- Xo)2

+ (y -

Yo)2

+ (z -

Zo)2.

Die Integration wird iiber den ganzen Raum erstreckt. Wie

12

ARKIV FÖR MATEMATIK, ASTRONOM! 0. FYSIK. BD

6.

N:O

29.

unmittelbar ersichtlich, definiert das Integral eine bestimmte,
stetige und stetig differenzierbare Funktion von x, y, z. Es
sei S 0 eine geschlossene Fläche mit übera11 stetigen Tangentenebenen; .Q0 dasjenige Raumgebiet, das innerhalb 8 0 liegt.
'Vir setzen dann:

iIJ -

1
- -2n:

1 (1
1)
e ouo(r-S"+xo>
2.n
~. : : - - - =- d§ d17 d~ = <D'
r R r

wo:
1

©' = _ __
2n

Jj

f... -

e

no

+ © + <Il",
11

guo<r-S"+:co)
dg d1 d·2,i,
_ 7 ~ ,
rR

und:

1).

IlIJ_ouocT--s+xol(I
2µ
e
=- - - =- d§ dr; d~,
2n:r R
r

<D 111 = - - -

!J'

die Integration über den Raum ausserhalb S 0 erstreckt.
<JJ" ist von x, y, z unabhängig. Wenn!' wie wir jetzt voraussetzen wollen, x, y, z ein Punkt innerhalb S 0 ist, so ist
ferner ©,,, beliebig oft in Bezug auf x, y, z derivierbar, und
die Ableitungen sind endlich und stetig, selbst dann, wenn
x=x 0 , y=y 0 , z=z 0 • Um das Verhalten unseres Integrals
in der Umgebung von dem Punkte x 0 , y 0 , z 0 zu studieren,
haben wir also nur die Funktion (]J1 zu untersuchen. Wir
haben:

Jif -

<7-,<JJ'
- = - -1Ox
2n

e

Qo

OUo(r2,u

s+xo~ :-.:--1 - <J

(1
-

r ax R

) dt;·- d17 d~·- =

-

13

OSEEN, frBER DIE STOKES'SCHE FORMEL.

J

_!__ e -

=

ouo(r-~+xo)
2,u,

,

cos nx ds- a~_.

rR

2n

So

(} Xo

Wir bezeichnen im folgenden mit V' eine beliebige Funktion
von x, y, z, x 0 , y 0, z0 , welche, wenn die Punkte x, y, z;
x 0 , y 0 , z 0 innerhalb S 0 liegen, stetig und in Bezug auf den
sechs Veränderlichen beliebig oft stetig differenzierbar ist.
Wir haben dann:

und ebenso:

a<D'
ö <Il
fJ ([)'
ily =-iJy0 +l/J, dz = - iJz 0 +t/J.

{) W'

Wir haben ebenso:

a

1

2rTJ'
\..V

T2°
(J X

=

1IJ

9-:"-' n

~

(J

-:--J

(. X

(R1 ) -.~'
(J

J -

(1

Xo

e - QUo(r-S-+xo)
2µ
-

~
1

d !; d17 d~
·-

·-

+ i/J

!lo

u. s. w.
Ich behaupte jetzt, dass, wenn die Punkte x, y, z; x 0 , y 0 , z0
innerhalb Q 0 liegen und wenn r > 0, <D' beliebig oft in Bezug
auf x, y, z; x 0 , y 0 , z0 stetig differenzierbar ist. Um dieses zu
beweisen, zerlegen wir .Q0 in zwei Teile .Q0 (I) und .Q0 C2 ), von
denen der erste den Punkt x, y, z, und der andere den Punkt
x 0 , y 0 , z0 enthält. Wir haben dann:

rT"'t.f
'l_J

=

n•f

Y.-'

+
(1)

rT\T
lP (2)

= - -12n

iI0

e-

J

Qo(l)

QU0 (r-~+xo)
2,u,

d .. d d'·
~ 1] ~
-

rR

14

ARKIV FÖR l\fATEl\lATIK, ASTRONOM:! 0. FYSIK.

BD

6.

N:O

29.

Offen bar ist W' (1) in Bezug auf x 0 , y 0, z0 beliebig oft
stetig differenzierbar und ll>'(2) ebenso in Bezug auf x, y, z.
Ferner ist:
<7<D'u> - - f)<JJ~
J

~J

-

( X

<1

X0

+ 't'Cl)
·111

U. S. \V.,

wenn l/Jci> in Bezug auf das Gebjet !J.0 Cl> dieselben Bedingungen erfüllt wie ·1.fJ in Bezug auf .Q0 • Wir haben folglich:
r7 2 (]J'o> ___ iJ 2 <D'c1>
1 ~ ö X (1~J X
l X
0

111

D2 <D'o>

__

+ 't'Cl) -

~J
<1 X

2
0

111.

+ 't'll)

u. s. w. Wir sehen mithin, dass ©'(1) auch in Bezug auf
x, y, z beliebig oft differenzierbar ist und natürlich ebenso
<JJ'c 2) in Bezug auf xl), y 0 , z0 • Damit ist die Behauptung bewiesen.
Um jetzt das Verhalten der Funktion ([J' in der Umgebung von den singulären Werten x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 zu
untersuchen, setzen wir:

JJf (-

1
<JJ'=--2n~

e

ouoCr-S"+xo)
2,u

ou

(}2'lt

2

-I+~(r-§+x,)---~ ( r 2n:
81u

- 0

Da die Funktionen :
e-:e - l e-:c - 1 + x e-x - 1 + x -

---

X2

X

f

x2

X3

für positive Werte von x endliche Maximalwerte besitzen, so
folgt leicht, dass man eine solche positive Grösse K finden
kann, dass die Funktion:

e

OUo(r-s+.xo)
n U
n2u 2
9
~
o (._
) ---..,
~
o (c
)2
-.t"
-1+-r-~+x
r-~+xu
0

2u
1

Su . .
1

= E

OSEEN, ÜBER DIE STOKES'SCH"E FORMEL.

15

folgenden Ungleichungen genügt:

IEI
' < K -s
r '

l{}EI
l{)EI l{)EI x-21<J2EI 1iJ{J2E
iJ x • iJ y ' i} z < r ' iJ x
x il y
2

'

Aus diesen Ungleichungen folgt sofort, dass das erste Integral in <D' und seine Ableitungen der drei ersten Ordnungen
nach x 0 , y 0 , z 0 endlich und stetig bleiben, wenn x, y, z sich
dem Punkte x 0 , y 0 , z0 nähert. Durch partielle Integration
sieht man, dass dasselbe von den Ableitungen nach x, y, z
gilt.
Um das zweite Integral in ©' zu unt.erBucben, betrachten
wir die Gleichungen

welche beide innerhalb .Q0 gelten. Aus diesen Gleichungen
folgt durch die gewöhnliche GREEN' sehe Beweismethode:

_!__ ('( (d§ ~r;d~ + _(/!_ dr

r= -

2nt/)

J

J \Rdn~,r1,~

rR

- r !:___

(!_)) ds,

dn R

~o

.Q

wo:
d

dns,'YJ,~ -

a

cos nx ag

+

cos ny

a

a

or; + cos nz a~·

Folglich:

Jirdg:t~ =-2n:r + t/J,
!20

Wir erhalten in derselben Weise:

fffx~~g dgdrid~=-n:r(x0 -x)

+·l/J

2o

u. s. w.

Das Ergebnis dieser Rechnungen ist, dass das

16

ARKIV FÖR MATEMATIK, ASTRONOM! 0. FYSIK. BD

6.

N:O

29.

zweite Integral in <D' folgendermassen geschrieben werden
kann:

wo x eine Funktion von x, y, z; x 0 , y 0 , z0 ist, welche mit
ihren Ableitungen der drei ersten Ordnungen in der Umgebung von den singulären Werten x = x 0 , y = y 0 , z == z0 endlich und stetig bleibt.
Zusammenfassend kann man sagen, dass unser Integral
sich in der Umgebung der singulären Werte in der oben verlangten Weise verhält.
Es erübrigt zu zeigen, dass unser Integral der Gleichung:

genügt.

Man hat aber:
QUo(1·-:r; +:Co)

d<D = dfJJ'= 2e-

2u

r

'

folglich, wie zu beweisen war:

(.u d

-

~U 0

i;:)

d <I> = 0.

Die Funktion <D lässt eine einfache und für viele (aber
nicht alle) Zwecke sehr bequeme Darste1lung zu. Die Punkte
x, y, z; x 0 , y 0 , z0 seien im Gebiete .Qu gelegen. Wir haben:
(/) = f/J'

+ <D" + ([J'"

und also:
f) (/)

r7 (JJ'

a<D'" a([)

l} (/)'

(l <Il'

a<D'"

tJ (fJ'"

<7 (]J 111

=d+f)-=-.-+-+(}X
X
X ' fj Xo
(j Xo
<l Xo
(j Xo

u. s.

\V.

'Vir haben also:
fl (/)
fl (//
rhJJ'
r7 (]J"
-+--=
-+-+-dx
iJx 0
dx
dx 0
oxJ
rJ ([J

+iJx- +·

iJx •
0

17

OSEEN, ÜBER DIE STOKES'SCHE FORMEL.

Das gebiet [2 0 mag jetzt in allen Richtungen ins unendliche wachsen. Wir haben:
() <D'
':J

<1

x

_!__Je -

f}(j)' -

+ <1-:J x

2n

0

otto(r-;+xo) cos

nx

rR

2,n

-

ds .

So

Folglich:

. (f) (/)' + ,,~
<D')
l X
Xo

hm -:-1

(1

Wir haben ferner:
f}<[J"

1

a iIJ~ e

--=--

iJ X 0

2 n () X 0

=0.

_

[!'llo(~-~~~
d§' dr/ d~'
2.tt·

r

2

'

wo:
und die Integration über dasjenige Raumgebiet ausgeführt
wird, welches man aus Q 0 durch eine Translation - x 0 , - y 0 ,
- z0 erhält. Also:
f}(].J''

1
2n

j

--=- e

i} X 0

_oito<r·-~+xo) cos nxds
2,u

r2

So

Folglich:
•
<7 <D"
bm-a =O.

Xo

Wir haben endlich, wie- man ohne Schwierigkeit sieht:

.
hm

(f)-a<D"' + -~J() <D"')
X
(1X 0

=

o.

Folg1ich:

Man beweist auf dieselbe Weise:
d :c,y,z <D - d Xo,Yo,zo <]J = 0 ·

Nun ist:
() tto( r-x+xo)

LfxyzfJJ
=
, ,
~·frk-iv

e2,(J,
2 - - -r-

för 11iafematik, astronomi o. fysik.

Bd 6.

N:o 29.

2

18 ARKIV FÖR MATEMATIK, .ASTRONOM! 0. FYSIK. BD 6. N:O 29.

andrerseits :
..d:eo

ll
1

'

'

2ft

,, (j)

+ ~IJ 'Uo

yo zo (jJ

-:J(JX

0

= -r '

folglich:
fjx

'J uo(r-:c+Xo)

(e -

f7 <D = 2 fl-

2„,

-- -- 1)

~Uor

und also:

') f

:&

<D (x, y, z) -

<D (x'~ y, z)

._,u

=

~u 0

d

i) ~.
r

Q Uo( 1·-:c+:co)

2.t" -- ·- -

(e -

:c'

Aus diesen Formeln folgt u. a.:

a
=dfJJ- _!!!_=
2

u

f) x2

11

guo(r-x+..'Vo)

2e -

~2

u = 12

2.n

r

-

2

rT„

!.JUo(1·-.x +xo)

r

iJ e- ·-------·--1
2,u
1
~'Uo fJx --- ---- --:;.--·
2tt

QUo(r-:c+:&o)

:1

'' ------'
e2n
1
= - -ft- -----iJ x iJ y
(! 'll 0 [) y
r
<1 w

'

~2 rT

2

{)

_

QUo(r-:c+:co)

e
2,u,
1
u - - - - - -- ---···--·-'---13 fJ x i) z ~ u 0 r7 z
r
(J

V..~

,ll

Wir kehren zu der Frage nach der durch die translatorische Bewegung einer Kugel hervorgerufenen Bewegung
einer reibenden Flüssigkeit zurück. Wir wollen dieses Problem
unter Vernachlässigung der Grössen zweiter Ordnung in 'Mo
lösen. Wir betrachten zu dem Zweck die Funktionen:
3.

3 a U0 e -

1

u =

Quo(R+x>

2µ

3 f La

f) e-

QUo(R +:c)

2µ,

+ ~ i)x

2R

8

3µa 8 e -

r

=

2Q {)y

w' = 3 !la _!!_ e 2e iJz

2µ

R

-

1-

-

I _a u 0

eUoCR+:c)
2µ

R

I

8

a U0

fl

(!)

iJx 9 R '

4

v

)

R
_ a u 0 _!:___

OUo(R+a:)

1

-

2

(8)

(1)

--4-rJx{)y R '
8

4

(!)
ax <1z R '
a2

J

OSEEN,
, =

p

ÜBER DIE
_

3 ,u U 0
2

STOKES'SCHE FORMEL.

_!!_ (!_)
iJx R

19

_ ~a it/· !!.:_ (·~)
3

ax 2 R .

4

Diese Funktionen genügen dem System 4 mit X= Y =Z=O
und den Nebenbedingungen: für R = oo : it' =v' =ul = 0, für
R = a: u' = u 0 , v' = 0, w' = 0, wenn man nämlich im letzten
Falle die Grössen von zweiter Ordnung in u 0 vernachlässigt.
Die durch die Formeln 8 definirt.e Bewegung der Flüssigkeit ergibt für den Widerstand, welchen die Flüssigkeit gegen
die Bewegung der Flüssigkeit ausäbt., denselben Wert wie
die von STOKES betrachtete, wenn man bei der Berechnung
nur die Glieder erster Ordnung in u 0 berücksichtigt. Aber
die hier betrachtete Bewegung weicht in ihrem ganzen Charakter von der STOKEs'schen ab. Man sieht das am Besten,
wenn man bemerkt., dass für grosse Werte von R, dje
Geschwindigkeit vor der Kugel wie

K'
Kugel dagegen wie R .

!

2

abnimmt, hinter der

In der von STOKES untersuchten

Bewegung herseht vor und hinter der Kugel vollständige
Symmetrie (vom Vorzeichen der Geschwindigkeit abgesehen).
Wenn u 0 gegen Null abnimmt, nähert sich unsere Verteilung
der Geschwindigkeiten überall der von STOKES betrachteten,
aber die Konvergenz ist keineswegs gleichmässig. Wie klein
auch u 0 ist, so gibt es stets Gebiete, in denen die hier betrachtete Bewegung ganz anders als die STOKES'sche verläuft.
Ich glaube, dass es jetzt deutlich ist, warum der Versuch
von Herrn WHITEHEAD scheitern musste.

Znsa111111e11fassung.
Bei der von STOKES gegebenen Ableitung der s. g.
STOKES'schen Formel werden Glieder vernachlässigt, welche
in grosser Entfernung von der Kugel ausschlaggebend sind.
Durch diesen Umstand wird es bedingt, dass der von Herrn
WHITEHEAD gemachte Versuch die von STOKES gegebenen
Formeln für die durch die Translation einer Kugel hervorgerufene Bewegung einer Flüssig~eit durch Berücksichtigung
der qvadratischen Glieder zu verbessern_, scheitern musste.
2. Um dem genannten Übelstand abzuhelfen, muss man
auch in erster Annäherung in den NAVIER'schen Differential1.

20

A.RKIV FÖR MATEMATIK. ASTRONO:M:I 0. FYSIK.

BD

6.

N:O

29.

gleichungen gewisse mit dem Faktor u 0 (u 0 = der Geschwindigkeit der Kugel) behafteten Glieder beibehalten. Zu dem
so erhaltenen linearen Systeme wurden die verallgemeinerten
ÜREEN'schen Formeln aufgestellt.
3. Mittelst den so gewonnenen Hilfämitteln wurde die
durch die genügend langsame Translation einer Kugel hervorgerufene Bewegung einer Flüssigkeit untersucht. Diese
Bewegung weicht in hinreichender Entfernung von der Kugel
selbst bei den kleinsten Werten von u 0 beträchtlich von der
STOKEs'schen Bewegung ab. Die STOKEs'sche Formel für
den Widerstand gegen die Bewegung der Kugel erleidet
dadurch keinen Eintrag in ihrer Gültigkeit.

Tryckt den 8 november 1910.
Uppsala 1910. Almqvist & Wiksells Boktryekeri-A.-B.