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Oseen, C. W., Über die Stokessche Formel und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik. II.pdf


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Page 1 23436

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2

.ARKIV FÖR l\'.IATEl\tIATIK,

ASTRONOM! 0. FYSIK. BD 7. N:O 1.

mik grundlegende Bedeutung besitzt, so habe ich es für
unerlässlich erachtet, nachzuprüfen, ob nach der Theorie
wirklich ein stationärer, singularitätenfreier Bewegungszustand möglich ist. Wie ich in meiner ersten Mitteilung hervorgehoben habe, ist es zu diesem Zweck nicht notwendig,
das komplizierte Problem von der Bewegung einer Kugel in
einer Flüssigkeit zu Jösen. Die Schwierigkeiten, auf wefobe
es hier ankommt, treten in ganz derselben Art in dem einfacheren Probleme auf, die durch ein translatorisch bewegtes,
von der Zeit unabhängiges System von Kräften hervorgerufene, stationäre Bewegung einer reibenden Flüssigkeit zu
berechnen. Wenn dieses Problem eine singularitätenfreie
Lösung besitzt, so lässt sich mit grosser Wahrscheinlichkeit
behaupten, dass dasselbe von dem STOKES'schen Probleme
gilt. In der folgenden Mitteilung soll nun gezeigt werden,
dass das so vereinfachte Problem unter gewissen, unten näher
angegebenen Bedingungen eine singularitätenfreie Lösung zulässt.
1. Mathematische Formulierung des Problems. Wir gehen
zunächst von den NAVIERschen Differentialgleichungen aus.
Indem wir diese auf ein Koordinatensystem beziehen, das
sich mit der konstanten Geschwindigkeit u 0 der x-Achse
entlang bewegt, bekommen wir:

.

. . .

.

. . . . . . .

mit den Nebenbedingungen: für R =Vx 2 + y 2 + z 2 = oo : u =
=-u 0 ,v=0,w=0. Dabei sind X, Y,ZdieKomponenten
der auf die Masseneinheit wirkenden Kraft. Wir nehmen
an, dass sie abteilungsweise stetige Funktionen von x, y, z
sind.
Da wir eine von t unabhängige Lösung unseres Problems
.

fhi

suchen, so haben wir Dt
zen sodann: u = -

it 0

=

Ov
Ow
iit = iJt = 0 zu setzen.

+ ii', v = v', w = w'.

Wir set-

Wir bekommen: