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Oseen, C. W., Über die Stokessche Formel und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik. II.pdf


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OSEEN, ÜBER DIE STOKES'SOHE FORMEL II.

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Die Reihen 6 definieren folglich für hinreichend kleine
Werte von 1l1 k' Funktionen von x, y, z, A, welche in Bezug
auf l analytisch sind. Die Reihen sind in Bezug auf x, y, z
gliedweise differenzierbar. Sie befriedigen die Integralgleichungen 5. 'Venn:

können wir l = 1 setzen.
Voraussetzung:

Wir schliessen, qass unter dieser

00

it' =

00

00

~U'n, v' = ~ V n,
1

0

1

W =

0

~W 1.n
0

unsre Integralgleichungen 1 - 3 befriedigen. Die Formel 4
definiert eine zugehörige, eindeutige und stetige Funktion q.
Es bleibt uns nur noch übrig zu zeigen, dass die Lösung,
deren Existenz wir nachgewiesen haben, sich für grosse Werte
von R so verhält, dass die Integrale:

J

u' Uii cos nx ds, .. ,

J

u ,dui1d
dn s, ..

s

J

f

u',,. P• ds,

du'a s, ..

f

Ui,n

q ds,

(i=l,2,3)

UiJdn

s

wenn die Fläche S ins Unendliche rückt, gegen Null konvergieren.
Aus dem obigen folgt unmittelbar:

1u'1, 1v' 1, 1w' 1< 1 :

~

~' 1< (1 + ~)1-a .

R ' 1 :' I· . · Ia{}

Aus Formel 4 folgt unter Benutzung unsres letzten Hülfssatzes:
a

1q1 < (1 + R)I-a .

Diese Ungleichungen, mit den Ungleichungen: