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Oseen. Note über die Berechnung der durch eine Kugel hervorgerufenen, stationären Bewegung einer reibenden Flüssigkeit .pdf


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ARKIV FÖR MATEMATIK, ASTRONOM! OCH FYSIK.
BAND 6.

N:o 3.

Note iiber die Berechnung der durch eine Kugel
hervorgerufenen, stationären Bewegung
einer reibenden Flüssigkeit.
Von

C. "W. OSEEN.
Mitgeteilt am 8. September 1909 durch A.

LINDSTEDT

und E.

PHRAGMEN.

Das Problem kann auf dem jetzigen Standpunkte der
Wissenschaft nur mit Hilfe der Methode der successiven Approximationen in Angriff genommen werden. Vorbedingung
für die Anwendung dieser Methode ist die Integration des
Systems:

ap

ftdu= fJx

+X,

ftdv=

au

iJv

ap

0y +

ap

Y, ftdw= fJz

+ Z,

fJw

~ +-a =O,
<1X + <1y
Z
~

mit vorgeschriebenen Werten von it, v, w auf der Oberfläche
der Kugel. Um dieses Problem zu lösen, kann man, wie
Herr KORN neuerdings betreffend das innere Problem gezeigt hat, 1 u, v, w in Reihen entwickeln, welche nach gewissen von Herrn KoRN eingeführten Funktionentripe]n fortlaufen. Die so erhaltenen Reihen sind übrigens im Falle
1

Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, XXV, 1908.

A.1·kiv föt· matematik, ast1·onomi och fysik.

Bd 6.

N:o 8.

1

2

ARKIV FÖR MATEMATIK,

ASTRONOM!

O. FYSIK. BD

6.

N:O

3.

X = Y = Z = 0 von sehr einfacher und schöner Banart. Man
kann aber auch das Problem mit Hilfe der verallgemeinerten
GREEN'schen Methode angreifen. Dies soll hier geschehen.
Wir beschränken uns dabei auf das äussere Problem.
Die von H. A. LoRENTZ eingeführten GREEN'schen Funktionen des obigen Systems sind :

ar
2

ar

fJ 2 r

ar

2

2

u1=ay2+ az2' V1=u2=-axöy' w1=ua=-axöz'

Um die GREEN'schen Funktionen der Kugel zu bestimmen,
haben wir also das System:

Dp

!tdu = ~ , ftdv
(1X

=

Bp
ap ou+Dv+Dw=O
:l
aY {) Z
uy ftdw = -0 Z , (1X

T,

mit den Nebenbedingungen: auf der Kugel: u=u 1 , v=vu
w = W1 oder u = U2' V= V2' w = W2 oder u = U3' V= V3' W='Wa
zu integrieren.
Die Gleichung der Kugel sei:
~2 =

x2

+ y2 + z2 =a2.

Dann muss:
Unsere Methode ist derjenigen Methode nachgebildet,
welche Herr ALMANSI in der Elasticitätstheorie der Kugel
angewandt hat. Wir suchen drei Potentialfunktionen U, V,
W, welche ausserhalb der Kugel regu]är sind, im Unendlichen verschwinden und auf der Kugel die vorgeschriebenen
Werte z. B. u 1 , v1 , w1 annehmen. Wir setzen sodann:
it =

Ocp

((?2-a2) ax

+ U,

V=

(~2-a2)

Bcp

ay +V,
w

Die Gleichung:

=

{Q2-a2) : : + W.

3

OSEEN, STATIONÄRE BEWEGUNG EINER REIB. FLÜSSIGKEIT.

ergibt:

,
( acp acp acp)
(n2!-a 2 )dcp+2 x-+y-, +z..
ax
öy
az

au av aw
+-+-+-=0
ax
ay
f}z
'

was uns erlaubt cp aus den (kompatiblen) Gleichungen:

a-cp+ ya-cp + za-cp) +<7-u+ a-v+ -aw
dcp=O, 2 (xiJx
=0
f}y
ßz
{)X
<Jy
{}z
zu bestimmen.
Die übrigens ziemlich einfachen Zwischenrechnungen
übergehend geben wir sofort die Resultate an.
Wir setzen:
x' 0

x 0 a9

y 0 a2
z0 a 2
y'
= -z'
~'
0
(?~ '
0 =
€?~ '

-

r'2 = (x - x'o)2

+ (y- Y'c,)2 + (z- z'o)s.

Die Funktionen Ux, Vx: W:c, P:c, welche ausserhalb der
Kugel (? 2 = a 2 überall mit Ausnahme des Punktes x 0 , y 0 , z 0
iJ2
regulär sind, sich in der Umgebung dieses Punktes wie ~J : +

ar
2

li 2 r
,
iJ Z 2

-

~,

<1X<1y

2

-

ßr

~{) ,
l1X

Z

-

(1)

(1y

.

.

{}
2 ri - - verhalten, 1m Unendlichen
0X r

verschwinden und auf der Kugel (? 2 = a 2 den Bedingungen
U:c = Vx = Wx == 0 genügen, sind dann:

2x 0 ( X-+
<7
--(J~
o <lx

<}
ß )(l)]
1 (X-X0 ) ---a
-+z
+-+
Yo iJy
o t7z r'
r
rs
l!o r'
2

2
2
(x - ·
x'o
)2 _ ax o"'o
(0 a 2)
(!~
r' 3
(! ~ r'

3

a
__

2

x' o) +

(J~ r' 8

2

2a x~(e~-a )(
3

+

a 2 )(x -

(n +.w9. a 3 x o,o

1

(! 0

Xo

<1


X

a
<J) (1)
+ Yo -a
+ Zo ~
---;
y
(1 Z
1

'

4

ARKIV FÖR MATEMATIK, ASTRONOM! 0. FYSIK.

+z

0

6.

N:O

3.

(!)]
+ (x- Xo)(Y-Yo)_ a (x-x'o)(y-y'o) _
iJz r'
r
(J~ r'
,0 )

3

3

8

+ 2a x y (!~((?~ 3

+

BD

z
0

0

(1 ·)

a 2 ) ( x-+
fJ
fJ
fJ ) -+
z
ol)x Yo ßy
o [) z. r' '

0

!_)z (!)]
+ (x-x )(z-z )_a (x-x' )(z-z'
r„
r
r'
3

0

0

3

[)

0) _

0

(? ~

3

2
a
a +z-„
") ·
+ 2a!t((!~-a
-- -)( x-+y-,

!!~

Ox

iJy

öz

Durch Permutation der Buchstaben erhält man Uy, V11,

Wy, Py; Uz, Vz, Wz, Pz.
Unter den Problemen, welche durch Anwendung der
obigen Formeln gelöst werden können, mag die durch die
stationäre Rotation einer Kugel um einen Durchmesser hervorgerufene stationäre Bewegung erwähnt werden.

Tryckt den 26 oktober 1909.
Uppsala. 1009.

Almqvist & Wiksells 'Boktryckeri-A.-B.

·


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