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Rybczynski, W. (1911) Über die fortschreitende Bewegung einer flüssigen Kugel in einem zähen Medium .pdf


Original filename: Rybczynski, W. (1911) Über die fortschreitende Bewegung einer flüssigen Kugel in einem zähen Medium.pdf

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J

0 ruchu post~powym kuli cieklej w osrodku lepkim. Über die fortschreitende Bewe_qung einer flüssigen Kugel .
in einem zähen Medium.
Note

de M. WITOLD RYBCZYNSKI,
presentee par M. M. Smolucb-Owski m.

C.

dans la seance du 9 Janvier 1911. ,

Das Problem, das wir im .folgenden behandeln werden 1), kann
man als eine Verallgemeinerung der bekannten, von Stokes gelösten
Aufgabe ansehen, indem wir die St ok e s'sche Annahme beibehalten, daß die Bewegung der Kugel so langsam sei, daß man den
Einfluß der Trägheit im Vergleich zu dem EinfJuß der Reibung
vernachlässigen kann, aber voraussetzen, d_8:ß _die Kugel kein starrer Körper ist, sondern aus einer reiben_den Flüssigkeit besteht.
· Da die Lage des Angriffspunktes der wirkenden Kräfte bei der
flüssigen Kugel nicht gleichgültig ist, so nehmen wir als Bewegungsursache die infolge der Dichtedifferenz beider Flüssigkeiten
wirksame Schwere an.
In dieser Form hat die .Aufgabe nicht nur eine theoretische,
sondern auch eine praktische Bedeutung, da sie uns unter anderen
z. B. den Fehler, den wir bei der Berechnung der Elektronenladung auf Grund der Fallgeschwindigkeit. von Nebeltropfen begehen,
zu korrigieren gestattet.
Wir gehen von den bekannten hydrodynamischen Grundgleichungen aus. Sie lauten m unserem Falle:
1)

Auf Anregung vo_n Herrn Prof. M. Sm o 1 u c h o w s k i. .

41

Über die fortschreitende Bewegung
für die innere Flüssigkeit

für die

( 1) . . .

Flüssig-

keit

d

dp = µv2u- ag
dX

äuß~re

I

. _}!_ == µ' v2u' -

dX

d

2p
- == µv2v
2y

1 _

µ'v2v'

dp = µv2w
dZ

lz =

µ'v2w'

2u'
dx

dV 1
dy

dX

I

2y
d I

+
dw
8y
dZ

du+ dv



a' g

+ +

2w'
dz =Ü

wobei p den ·Druck, u, v~ w die Ge~chwindigkeitskomponenten~ a
die F-lüssigkeitsdichte, µ den Reibungskoeffizienten bedeuten und
die gestrichenen Buchstaben sich . auf die äußere Flüssigkeit beziehen.
Wir wollen nun annehmen, daß die Lage der _Kugel im Raume
unverändert bleibt und die äußere Flüssigkeit sich im Unendlichen
mit der Geschwindigkeit U bew_egt . .
Dann wird _also im Unendlichen:

(2)

u' == V,

v' == O,

w' == 0.

-Die Bedingungen für die Grenzfläche beider Flüssigkeiten sind:
(3) . ·- .

u

== u',

v == v',

w == w'

und a11ßerdem müssen infolge des dynamischen Gleichgewichtes
die auf jedes Element der Grenzfläche wirken~en Kraftkomponenten gleir,h sein (Vgl. La m b, Hydrodynamics S. 537)1 ).
Die allgemeine, Kugelflächen angepaßte Lösung der Gleichungen (1) ist von ~amb angegeben worden (Hydr. S. 550), und zwar
in der Form:

Der Unterschied zwischen die en Grenzbedingungen und den von Du h e m
gegebenen ist nur scheinbar und heruht bloß auf der Bezeichnungsweise der
Größen Pxx· .. Bei Lam b enthalten sie zugleich den hydrostatischen Drnck p der
bei . Du h e m mit dem Buchstaben II bezeichnet ist (Vgl. D n h e m, Recherches ur
l'Hydrodynamique).
1)

42

W. Rybczyüski:

und analoger_ /durch zyklische Vertauschung von x, Y~ z sich ergebender Gleichungen für v, w, wobei Pn, ([Jn, Xn Kugelfunktionen
des n-ten Grades sind und Pn in unserem Falle gleich (p
agx) ist.
Aus der Vor~ussetzungj <laß die Bewegung symmetrisch in bezug auf die x-Achse ist, folgt:

+

(6) . . .

X== 0.

Setzen wir versuchsweise:

P'-2

== A

xs'

r

([)~

==

X

Ux,

([)' -2

== B 3r

'

so ist:

uI (6) . . .

A

I

==

(

3B) .
3B)
r5 xy
3B)
.
r5 xz.

- -A 3 - -- x 2
2µ'r
r5
+

= ( 2µ'r3 -

v'
w

(

A

2µ' r 3 -

A
B
U
µ'r + r3+

_i_ _

2

Hieraus ergibt sich für die zu der Kugelfläche normale Geschwindigkeit

(7) .

xu'

+ yv' + zw' == (~ _ _2B u) ·x.
r
µ'r . r +
r
3

Nun .nehmen wir an, daß die Kugel während der Bewegung ihre
~estalt behält (-was die später folgende Rechnung bestätigt)~ ~oraus
folgt daß jener Ausdruck für r == a (Radius der Kugel} verschwinden muß:

(8) ...

~_2B . U==O.
µ'a
a 3 -t-

Für die innere Flüssigkeit setzen wir:
([) 1

== Cx,

P1

== Ex.

Aus der Bedingung, daß an der Oberfläche .d er Kugel die normale
Geschwindigkeit verschwinden muß,- ergibt sich

C==- -

a2
lO Ex.

Über die fortschreitende Bewegung

43

Hieraus folgt:
u:::::::::: -Hx 2

(9)

+ 2Hr

2 -

Ha 2

v =-Hxy

.
.
w= - Hxz, wobei H

=

E
lOµ.

Aus. den Grenzbedingungen (3) - folgt mit Rücksicht auf (6) (8), (9): -

A

=

HaBµ' _3Uaµ'.
2
Ha 5
Ua 3
B==2-- -~c·

I

{10)

Die Grenzbedingung der Druckgleichheit an der Grenzfläche beider Flüssigkeiten lautet in der üblichen Bezeichnungsweise:
(11) ...

wobei

+ mpxy + npxz'
+ mpyy + npyz,
Phz == lpzx + n1,pzy + npzz
Phx == lp;x
phy === lpyx

und analoge Gleichungen für die gestrichenen p bestehen.
Auf Grund der bekannten, die Drucke Pxx-. pxy u. s. w. in einer
reibenden Flüssigkeit bestimmenden Ausdrücke -e rhalten wir hieraus
für die äußere Flüssigkeit:

' - 6Hµ'x2+ a'gx2
3 rr'
phx-. -a-- a- nµa
, _ 6Hµ'xy+ a'gxy
phya
a
, - -6Hµ'xz
phz=
a
(12)

+ a'gxz
a

für die innere Flüssigkeit:

phx -_ -

9µHx

a

2

_ - 9µHxy
phya
_ - 9µHxz
Phza

+ agx + 3µJ..J.a
2

a

+ agxy
.
a

+ -agxza

rr

+ 2a
Uµ'
3

44

W. Ry bczyüski:

und aus der Vergleichung dieser Ausdrücke gemäß (11) folgen die
Werte für
(13) .
(14) .

(15) .
(16) .

(a -

H

a' )g

= µ' (9A. + 6) '

U-

2

9

µ'

32
ga 32

(a -

a' ) a 3g

a - a'

2

.A~-----

3

B

== -

+3
+ 2'

'

(a- a')a 5 g2 ·
2 (92
6) µ' '

+

wobei 2 eine Abkürzung für µ/ µ' ist.
Somit ist das Problem gelöst, indem alle Bedingungen auf Grund
unserer Annahmen ·erfüllt sind_ was nun umgekehrt auch die Richtigkeit der Vora_u ssetzung, daß die Grenzfläche kugelförmig bleibt,.
beweist..
Von Interesse ist vor allem der für die Geschwindigkeit ·der
Kugel gewonnene Wert (14).
Im allgemeinen bewegt sich eine starre Kugel am langsamsten„ ·
da im Falle 2 == oo die Gleichung (14) die von Stokes gefundene Form annimmt.

a-a'

U==~ --,- ga 2 .

µ

Sunst ergeben sich immer größere Geschwindigkeiten als -nach der·
Ft>rmel von Stokes, so beträgt die Geschwindigkeit eines in der Luft
fallenden W assertropfens 1,284.000 a 2, das ist um 0·3°/ 0 mehr als
die nach Stokes berechnete, und für eine Luftblase in Wasser
beträgt der Unterschied fJOo/ 0 •
Um die Bewegung der Flüssigkeiten un.s deutlicher vorzustellen, wollen wir uns· einer geometrischen Illustration der Strömungslinien bedienen.
Berechnen wir die St~ömungsfunktion . 1/J, welche die Flüssig- '
keitsmenge bedeutet, die d ureh eine zur x-Achse senkrechte Krei.s fläche strömt, vermittels de.r Gleichungen~

-.

1 d't/J
Q dX'

1J= - -

./

[;ber die fortschreitende Bmvegung

45

wobei ·u, v die Geschwindigkeitskomponenten m den Richtungen

und e (senkrecht zur X-Achse) sind, indem wir beispielsweise
annehmen, daß µ = µ' ist.
Dann ergibt sich für die innere Flüssigkeit:

X

.

46 W. Hybczynski: Über die fortschreitende Bewegung
·

u

=-

-.

V== ·-

Ux 2
4a

2

Ur 2

+2 a

U

4'

2 -

Uxe

--

4a2'

1/J=if!2 ~ (a2-r2)

;

für die äußere Flüssigkeit:

.

u' = -

( 1 - f -a2) x 2 + U (1 - l -a - i -a3) ,
! -Ua
3
r
r2
r
r3

-V 1 =

(
a )
!o -Ua
r s 1 - iu -r 2

-

1./J' === -

2

1- n 2
2 ~

(

U 1-

XQ

'

a+ i -as)

_Q_ 4

r

4

rs



für r ~- a ist 1./J = 1/J' = 0, also ist die Grenzfläche aus Strömungslinien gebildet.
Die in der Figur gezeichneten Strömungslinien entstehen 9-urch
den . Schnitt der Flächen 1/J = constans mit der Meridianebene. . ·
Natürlich muß <lie durch die Schwer~ gelejstete Arbeit der
Energie, die durch die Reibung in beiden .F lüssigkeiten während
der Bewegung zerstreut wird, gleich sein, was ich auch durch explizite Berechnung vermittels der Ra y 1 e i g h'schen DissipationsFunktion bestätigt habe.


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